A matematika , a elmélete Zermelo-Fraenkel , rövidítve ZF , az axiomatikus az elsőrendű logikában a halmazelmélet ahogy alakult az utolsó negyedévben a XIX th században a Georg Cantor . Az axiomatizációt a XX . Század elején számos matematikus fejlesztette ki, többek között Ernst Zermelo és Abraham Fraenkel, de Thoralf Skolem .
Ez axiomatizálása megszökik a paradoxonok egy túlságosan naiv halmazelmélet , mint például a Russell-paradoxon , hogy elutasította a korlátlan séma megértése (a tény, hogy minden tulajdonság határoz meg, hogy a tárgyak, amelyek az ingatlan), annak érdekében, hogy ne vezessen néhány speciális esetben hasznos. Ezért vannak olyan osztályok , matematikai objektumok gyűjteményei, amelyeket az összes tag által megosztott tulajdonság határoz meg, amelyek nem halmazok.
A ZF elméletben és annak kiterjesztéseiben ezek a megfelelő osztályoknak nevezett osztályok nem felelnek meg az elmélet tárgyainak, és csak közvetett módon kezelhetők, ellentétben a von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) osztályok nagyon hasonló elméletével .
Különleges státusza miatt általában úgy gondoljuk, hogy a választott axióma nem része a ZF meghatározásának, és ZFC-vel jelöljük az ennek hozzáadásával kapott elméletet.
A szokásos matematika elméletileg teljes egészében a ZFC elmélet keretein belül fejleszthető, adott esetben axiómák, például nagy bíborosok axiómáinak hozzáadásával bizonyos fejlesztésekhez (például a kategóriaelmélethez ). Ebben az értelemben a matematika alapjainak elmélete .
1963-ban Paul Cohen a ZFC-elmélettel válaszolt Cantor kérdésére a kontinuumhipotézisről , megmutatva, hogy ez nem ennek az elméletnek az axiómáinak következménye, és hogy a választott axióma nem a ZF-elmélet következménye. Az általa kidolgozott, erőltetett módszer a halmazelmélet számos fejlesztésének eredete. A halmazelméleti szakemberek munkájának túlnyomó része legalábbis ez idő óta a ZF-elmélet, annak kiterjesztései, vagy esetenként korlátozásai körébe tartozik.
A felépíthetőség , Kurt Gödel által 1936-ban az NBG elmélet részeként kifejlesztett módszer annak bemutatására, hogy a kontinuumhipotézis és a választott axióma nem volt ellentmondásban a halmazelmélet többi axiómájával, azonnal alkalmazkodik a ZF elméletéhez.
Ernst Zermelo v. 1900
Adolf Abraham Halevi Fraenkel
Zermelo elmélete a Zermelo által 1908-ban publikált elmélet modern bemutatása , kifejezetten vagy hallgatólagosan, az egyenrangú elsőrendű logika keretein belül. Gyakran megjelenik a bevezető halmazelméleti könyvekben. A következő axiómák vannak:
A Hartogs tétel , látható, mint a létezés minden sor egy egy sor szabályos , akik nem fecskendeznek egy , bizonyítja az elmélet Zermelo.
Zermelo elmélete eredetileg a választás axiómáját is tartalmazta . Elméletileg (Z) Zermelo tétele és Zorn lemma ebből a kiegészítő axiómából levezethető, ezért egyenértékűek vele.
A Zermelo-Fraenkel elmélet kiterjeszti a Zermelo elméletet, és emellett magában foglalja:
A helyettesítő axiómák rendszere különösen lehetővé teszi az ordinálisok elméletének kidolgozását .
A megértési axiómák sémáját a helyettesítő axiómák sémájából vezetik le (és ezért különösen az üres halmaz létezését, elismerve, hogy bármely halmaz univerzumnak van legalább egy eleme).
A pár axiómáját a részek axiómájából és a pótlási sémából vezetjük le .
A megalapozó axióma a szerzők szerint az elmélet része vagy nem. Független a többiektől, és nem szükséges a rendek elméletéhez.
Ez a következőket is tartalmazza:
Más axiómák is hozzáadhatók a ZFC elméletéhez, mint pl