A predikátumok kiszámítása

A számítás az elsőrendű predikátumok vagy számítás a kapcsolat , vagy az elsőrendű logika , vagy quantificational logikai vagy egyszerűen levezethető egy hivatalossá nyelv matematika által javasolt Gottlob Frege , a végén a XIX th században , és elkezdi a XX . Század . Az elsőrendű logikának két része van:

a szintaxis meghatározza az alapvető szimbolikus szókincset, valamint azokat a szabályokat, amelyek lehetővé teszik a komplex állítások összeállítását,
a szemantika úgy értelmezi ezeket az állításokat, hogy kifejezik a tartomány elemei közötti kapcsolatot, más néven modellt .

Szintaktikai szinten az elsőrendű nyelvek két fő nyelvi osztályt állítanak szembe:

a tartomány elemeinek azonosításához vagy megnevezéséhez használt alkotóelemek: változók , konstansok szimbólumai , kifejezések ;
az elemek közötti tulajdonságok vagy kapcsolatok kifejezésére használt alkotóelemek: predikátumok és képletek .

Az állítmány olyan nyelvi kifejezés, amely a tartomány egy vagy több eleméhez kapcsolható egy mondat kialakításához. Például a "Mars egy bolygó" mondatban a "egy bolygó" kifejezés olyan állítmány, amely a "Mars" névhez (állandó szimbólumhoz) kapcsolódva egy mondatot alkot. És a "Jupiter nagyobb, mint a Mars" kifejezésben a "nagyobb, mint" kifejezés olyan állítmány, amely a két névre, a "Jupiter" és a "Mars", egy mondat alkotására vonatkozik.

A matematikai logikában, amikor egy állítmány egy kifejezéshez kapcsolódik, akkor azt mondjuk, hogy egy tulajdonságot (például egy bolygó lét tulajdonságát) fejez ki, és amikor két vagy több kifejezéshez kapcsolódik, akkor azt mondjuk, hogy kapcsolatot fejez ki ( mint például a nagyobb lét viszonya). Így tudunk oka a nyilatkozatok, mint „Minden szép” és a „Van olyan, hogy minden , a barátok ”, amely kifejezett jelképesen eredmények a képlet: $x$ $x$ $y$ $x$ $y$

{\ displaystyle \ forall x ~ \ mathrm {nice} (x)}

és .

{\ displaystyle \ létezik x \ összes y ~ \ mathrm {barátok} (x, y)}

Meg kell azonban jegyezni, hogy az elsőrendű logika nem tartalmaz konkrét összefüggést (mint például a rend, a befogadás vagy az egyenlőség viszonyát); valójában csak arról van szó, hogy tanulmányozzuk, hogyan kell beszélni és érvelni a matematikai nyelv kifejezéseivel.

Az elsőrendű logika jellemzői:

használata változók tetszik , stb az értelmezési terület elemeinek jelölésére; $x$ $y,$
a használata predikátumok (vagy kapcsolatok ) a elemek;
logikai csatlakozók használata (és, vagy magában foglalja stb.);
a használatát két kvantorokkal , egy univerzális ( „bármi”, „mindent”, jegyezte ∀ ), a másik egzisztenciális ( „létezik legalább egy ... olyan, hogy” tudomásul veszi ∃ ).

Az elsőrendű egalitárius predikátumok kiszámítása hozzáteszi a predikáták kiszámításához a reláció, az egyenlőség szimbólumát, amelynek értelmezése az az állítás, hogy két elem azonos, és ennek megfelelően axiomatizált. A kontextustól függően egyszerűen beszélhetünk a predikátumok kiszámításáról az egalitárius predikátumok kiszámításához.

Elsőrendű logikáról beszélünk , szemben a magasabb rendű logikával , ahol a változók mellett predikátumokon vagy függvényeken is számszerűsíthetünk. Ezenkívül ez a cikk csak a klasszikus elsőrendű logikával foglalkozik , de meg kell jegyezni, hogy létezik intuitionista elsőrendű logika is .

Bevezetés

Míg a propozíciós logika egyszerű deklaratív állításokkal foglalkozik, az első rendű logika emellett kiterjed a predikátumokra és a kvantálásra.

Az állítmány bemenetként egy vagy több entitást vesz a diskurzus tartományából, és kimenetként igaz vagy hamis. Tekintsük a "Szókratész filozófus" és "Platón filozófus" két mondatot. A propozíciós logikában ezeket a mondatokat függetlennek tekintjük, és például olyan változókkal jelölhetjük, mint p és q. Az "egy filozófus" állítmány mindkét mondatban megjelenik, amelyek közös szerkezete az "a filozófus". Az a változó az első mondatban "Socrates", a második mondatban pedig "Platon". Míg az elsőrendű logika lehetővé teszi az olyan predikátumok használatát, mint például a "filozófus" ebben a példában, a propozíciós logika nem.

A predikátumok közötti kapcsolatok logikai összekötők segítségével állapíthatók meg. Vegyük például az első rendű képletet: "ha a filozófus, akkor a tudós". Ez a képlet feltételes állítás, amelynek hipotézise "a filozófus", a következtetés pedig "a tudós". Ennek a képletnek az igazsága az a-val jelölt objektumtól függ, és az állítmányok értelmezésétől "filozófus" és "tudós".

A kvantorok alkalmazhatók a képletben szereplő változókra. Az előző képlet a változója univerzálisan számszerűsíthető, például az első sorrendű mondattal: "Ha az a filozófus, akkor az a tudós". Ebben a mondatban az "mindegyikre" egyetemes kvantor kifejezi azt az elképzelést, hogy az "ha a filozófus, akkor az a tudós" állítás érvényes az a összes választására.

Az "mindenki számára a, ha a filozófus, akkor az a tudós" tagadás logikailag egyenértékű az "Van olyan, hogy a filozófus és a nem tudós" kifejezéssel. Az "létezik" egzisztenciális kvantor azt az elképzelést fejezi ki, hogy az "a filozófus és az a nem tudós" állítás érvényes az a bizonyos választására.

Az állítmányok "filozófus" és "tudós" mindegyiknek egyetlen változója van. A predikátumok általában több változót is igénybe vehetnek. A "Szókratész Platón tanítója" elsőrendű mondatban a "tanítója" állítmány két változót vesz fel.

Történelem

Immanuel Kant azt hitték, hogy a logika az ő ideje, hogy az Arisztotelész volt, teljes és végleges befejezték a tudomány (előszót a második kiadása a tiszta ész kritikája , 1787). A XIX . Század logikusai rájöttek, hogy Arisztotelész elmélete keveset vagy semmit sem mond a kapcsolatok logikájáról. Gottlob Frege és még sokan mások pótolták ezt a hiányt az első rendű predikátumok kiszámításának meghatározásával.

Kurt Gödel 1929-ben (doktori disszertációjában) bebizonyította, hogy az predikátumok kiszámítása teljes, abban az értelemben, hogy véges számú alapelvet adhatunk ( logikai axiómák , logikai axiómák sémái és dedukciós szabályok ), amelyek elegendőek a mechanikus következtetéshez minden logikai törvény (lásd Gödel teljességi tételét ). A szemantikai és a predikátumok kiszámításának szintaktikai bemutatása között ekvivalencia van. Bármely általánosan érvényes állítás (azaz a használt nyelv bármely modelljében igaz) tétel (vagyis levezethető számításból, logikai szabályok és axiómák rendszeréből , egyenértékű a Hilbert rendszerrel , a természetes dedukcióval vagy a számítással szekvenciák ), és fordítva. Az elsőrendű logika tehát teljes abban az értelemben, hogy a bizonyítások logikai helyességének problémája ott megoldódik. Azonban továbbra is fontos kutatás: modellelmélet , bizonyítási elmélet , érvelés-gépesítés ...

Szintaxis

Meghatározás

Ez a szakasz röviden bemutatja az állítmányszámítás formális nyelvi szintaxisát.

Ábécéért adjuk magunkat:

meg azokat a szimbólumokat nevezett változók , mindig végtelen: , , stb ; $x$ $y$ $z$
meg azokat a szimbólumokat hívott állandók , esetleg üres: , , stb ; $nál nél$ $b$ $vs.$
egy sor funkció szimbólumok: , , stb ; $f$ $g$ $h$
egy sor szimbólumok predikátumok : , , stb $P$ $Q$ $R$

Minden függvény szimbólumnak és minden predikátum szimbólumnak van arituma : ez az argumentumok vagy objektumok száma, amelyekre alkalmazzák. Például a "kék" állítmány arituma egyenlő 1-vel (azt mondjuk, hogy unáris vagy monádikus ), míg a "légy barát" predikátumnak kettője van (azt mondjuk, hogy "bináris vagy kettős ). $B$ ${\ displaystyle barátok}$

A szimbólumok ( bármi is ) és ( vannak ), úgynevezett kvantorok . $\ mindenkinek$ $\ létezik$
A ( nem ), ( és ), ( vagy ) és ( implicit ) szimbólumok , amelyek olyan összekötők , amelyek a propozíciókkal is rendelkeznek . $\ nem$ $\ föld$ $\ lor$ $\ nak nek$
Az írásjelek ")" és "(".

Meg lehet elégíteni egyetlen kvantorral és két logikai csatlakozóval, és meghatározva belőlük a többi csatlakozót és kvantort. Például a következő . $\ mindenkinek$ $\ nem$ $\ föld$ ${\ displaystyle \ létezik x \; P (x)}$ ${\ displaystyle \ lnot (\ forall x \; \ lnot P (x))}$

Az elsőrendű predikátumok kiszámításának képleteit indukció határozza meg:

${\ displaystyle P (t_ {1}, \ pontok, t_ {n})}$ ha relációjel melyek argumentumainak száma n és t 1 , ..., T n a kifejezések (ilyen képlet nevezzük atom , vagy egy atomi képlet ); $P$
¬ e, ha e képlet;
( e 1 ∧ e 2 ), ha e 1 és e 2 képletek;
( e 1 ∨ e 2 ), ha e 1 és e 2 képletek;
( e 1 → e 2 ), ha e 1 és e 2 képletek;
$\ forall x \; e$ ha e képlet;
$\ létezik x \; e$ ha e képlet.

Az állítást képletnek nevezzük , amelyben az összes változót kvantor kapcsolja össze (ezért nincs szabad változója).

Példák

1. példa

Ha konstansként adjuk meg magunknak a két 0 és 1 szimbólumot a + és. Bináris függvények szimbólumaihoz, és a bináris függvények predikátumaihoz a = és <szimbólumokat használjuk, akkor a használt nyelv számtani nyelvként értelmezhetö. x és y, amelyek változókat jelölnek, x +1 kifejezés , 0 + 1 + 1 zárt tag , x < y +1 képlet, 0 + 1 + 1 <0 + 1 + 1 + 1 zárt képlet.

2. példa

Ha tetszőleges változókészletet adunk magunknak, konstansot jelölünk e- vel , bináris függvény szimbólumot jelölünk * -nel, unáris függvény-szimbólumot jelölünk -1-vel , bináris reláció-szimbólum =, akkor a használt nyelv úgy értelmezhető, mint a csoportelmélet . Ha x és y változókat jelöl, akkor x * y kifejezés, e * e zárt tag, x = y * y képlet, e = e * e -1 és ( e -1 * e ) -1 = ( e -1 ) -1 zárt képlet.

Predikátumok, zárt képletek, csiszolt képletek, szabad változók, kötött változók

Ha egy változó egy olyan al-képlethez tartozik, amelyet kvantor előz meg, vagy azt mondják, hogy ez a kvantor kapcsolja össze. Ha egy változót egyetlen kvantor sem köt, akkor az ingyenes. $x$ $\ forall x$ $\ létezik x$

Fontos a szabad változó és a kötött változó megkülönböztetése. A kapcsolt változónak nincs saját identitása, és bármely más változó nevével helyettesíthető, amely nem jelenik meg a képletben. Így azonos, de nem, és még kevésbé . $\ létezik x (x <y)$ $\ létezik z (z <y)$ $\ létezik x (x <z)$ $\ létezik y (y <y)$

A zárt képlet olyan formula, amelyben az összes változó összekapcsolódik. Az állítmány egy képlet, amely egy vagy több szabad változót tartalmaz. Az állítmányokat fogalmaknak tekinthetjük. Így a számtani nyelv zárt képlete. a z változó predikátuma . $\ for x x létezik y (x <y)$ $\ forall x (x <z)$

A képlet akkor mondható udvariasnak, ha egyrészt egyetlen változónak sincs szabad és összekapcsolt előfordulása, másrészt egyetlen összekapcsolt változóra sem vonatkozik egynél több mutáció (azt mondjuk, hogy egy jel akkor mutáns, amikor megerősíti a kapcsolt változó hipotézise).

Szemantika

Az állítmányok számításának képleteinek igazságának elméletét Tarski szemantikájának nevezte .

Az értelmezési tartomány első rendű nyelvének értelmezése, amelyet nyelvi modellnek is neveznek , leírja az elsőrendű alkotóelemek által felvett értékeket (változók, konstansok szimbólumai, kifejezések), valamint az állítmányokkal kapcsolatos kapcsolatokat. Minden állításhoz igazságértéket rendelünk. A formális nyelvek értelmezésének tanulmányozását formális szemantikának vagy modellelméletnek nevezzük . Az alábbiakban ismertetjük az elsőrendű logika standard vagy tarski szemantikáját. Vannak más típusú szemantikák, ideértve a játék szemantikáját is , amelyeket ebben a cikkben nem részletezünk.

Modell

Az elsőrendű nyelv M modellje egy szerkezet: ez egy olyan elemkészlet (úgynevezett tartomány), amelyben értelmet adunk a nyelv szimbólumainak. Általában, ha a nyelv bináris predikátummal rendelkezik az egyenlőség szimbólum = számára, akkor annak értelmezése a struktúrában egyenlőség.

Az igazság feltételei

A modell igazságértéket ( igaz vagy hamis ) ad a nyelv bármely zárt képletének. Az igazság feltételeit a képletek strukturális indukciója határozza meg. Például a szemközti modellben:

${\ displaystyle \ létezik x \ forall y ~ \ mathrm {like} (x, y)}$ igaz az M modellben, mert van egy elem (a madár), amelyet mindenki szeret;
${\ displaystyle \ létezik x \ forall y ~ \ lnot \ mathrm {like} (x, y)}$ az M modellben igaz, mert van olyan elem (a cseresznye), amelyet senki sem szeret.

Kielégítő képlet

Egy képlet kielégíthető, ha van olyan M modell, amely igazat ad. Például kielégítő. ${\ displaystyle \ létezik x \ forall y ~ \ mathrm {like} (x, y)}$

Érvényes képlet

Azt mondjuk, hogy a nyelv F képlete akkor érvényes, ha ez a képlet igaz bármely nyelvmodellben, amelyet megjegyezünk . Például a képlet egy érvényes képlet. Egy M modellben, ha igaz, van valami a tartományban, ami mindenkinek tetszik. De akkor mindenkit szeretnek, ezért a képlet igaz az M modellben. Ha minden M modellben igaz, a képlet érvényes. $\ vDash F$ ${\ displaystyle \ exist x \ forall y ~ \ mathrm {likes} (x, y) \ to \ allall y \ pastāv x ~ \ mathrm {likes} (x, y)}$ ${\ displaystyle \ létezik x \ forall y ~ \ mathrm {like} (x, y)}$ $x$ ${\ displaystyle \ forall y \ létezik x ~ \ mathrm {like} (x, y)}$

A képlet azonban nem érvényes. Valójában egy két elemű { a , b } modellben, ahol csak a szerelmek értelmezik a és b csak b szerelmeket, a képlet igaz, míg hamis. Az implikáció tehát hamis a modellben, és a képlet nem érvényes. ${\ displaystyle \ összes y \ létezik x ~ \ mathrm {tetszik} (x, y) \ létezik x \ összes y ~ \ mathrm {tetszik} (x, y)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {tetszik}}$ ${\ displaystyle \ összes y \ létezik x \; ~ \ mathrm {like} (x, y)}$ ${\ displaystyle \ létezik x \ forall y \; ~ \ mathrm {like} (x, y)}$

Szemantikus következmény

Azt mondjuk, hogy F egy T elmélet szemantikai következménye, ha bármely modell, amely kielégíti a T összes képletét, F-t is kielégíti.

Levonási rendszer

A predikátumok kiszámításakor a képleteket egy számításból származó levonások segítségével is levezethetjük. A dedukció abból áll, hogy a hipotézisektől vagy axiómáktól kezdve a logikai szakaszokban haladunk az előre meghatározott szabályok szerinti következtetésig. Ezeknek az axiómáknak és szabályoknak többféle bemutatása lehetséges.

A természetes dedukció . A logikai alapelveket ott a lehető legközelebb mutatják a természetes érveléshez. Tizenhárom szabály felsorolásából áll. Lehetne kisebbre csökkenteni, de az elvek nyilvánvalósága kevésbé lenne természetes.
A szekvenciák kiszámítása .
Az állásfoglalás .
A logikai axiómák . Számos ekvivalens axióma rendszer javasolható. Ez a megközelítés, amelyet szinte minden logikus alkalmazott a Whitehead és Russell Principia Mathematica óta , mind metamatematikai, mind történelmi jelentőséggel bír. Az axiómák egyik legrövidebb rendszere a következő hármasból áll: A propozíciók számításának axiómái $f \ to (g \ to f)$ $(f \ to (g \ to h)) \ to ((f \ to g) \ to (f \ to h))$ $(\ lnot f \ to g) \ to ((\ lnot f \ to \ lnot g) \ to f)$ a kvantorral kapcsolatos axiómák $\ mindenkinek$ $\ forall x (f \ to g (x)) \ to (f \ to \ forall xg (x))$ ahol x nem szabad f-ben $\ forall xf (x) \ - f (a)$ ahol x-nek nincs szabad előfordulása az alakzat f jól formált részében (ez elkerüli a kínos helyettesítést, ha például f ( x ) formájú ). $\ mind a, h$ ${\ displaystyle \ létezik a, a <x}$ A modus ponens uralkodik ha bebizonyítottuk és , akkor bebizonyítottuk $f \ g-ig$ $f$ $g$ Az általánosítás szabálya ha bebizonyítottuk , akkor be is bizonyítottuk (mivel az első bizonyítás x- je önkényes szerepet játszik). $f (x)$ $\ forall xf (x)$

De ha a minimális axiómák rendszereinek keresése rávilágít azokra az alapelvekre, amelyeken minden érvelés alapulhat, az nem mutatja az általánosabb logikai elvek természetes bizonyítékainak természetét.

A párbeszéd logikája egy másik megvilágításba helyezi a logikai törvények természetét is.
Lásd még Curry-Howard levelezést .

Bármi legyen is az előadás megközelítése, az axiómák és a szabályok kódolhatók, így egy gép ellenőrizni tudja az F. képlethez vezető levonás érvényességét vagy sem. Ha a levonás helyes, az F képletet tételnek hívjuk . Azt is mondjuk, hogy bizonyítható , amit megjegyezünk . $\ vdash F$

Tulajdonságok

Teljesség

A teljességi tétel szerint F érvényes, ekvivalens F bizonyítható. Inkább erős teljességről beszélünk: ha F egy T elmélet szemantikai következménye, akkor F T-ből bizonyítható.

Dönthetetlenség

Nem minden logikai rendszer határozható meg, más szóval, bár tökéletesen definiáltak, nem mindig létezik algoritmus annak kimondására, hogy egy képlet tétel-e vagy sem. Sőt, történelmileg a számíthatóság elmélete arra épült, hogy pontosan megmutassa azok eldönthetetlenségét. Mielőtt ezeket az eredményeket kifejlesztenénk, íme egy összefoglalás arról, hogy mit tudunk a logikai rendszerek eldönthetőségéről és eldönthetetlenségéről.

Tételszámítás: eldönthető és teljes. A döntésképesség szempontjából tehát van egy hatékony eljárás annak eldöntésére, hogy a propozíciós számítás képlete kielégítő-e, vagyis hogy a propozíciós változókhoz igaz értékeket rendelhetünk, amelyek igazgá teszik, de a SAT-problémának nevezett probléma , az NP-teljes , azaz minden ismert determinisztikus algoritmusok, hogy találjanak megoldást vannak exponenciális idő tekintetében a változók számát (lásd a cikk SAT probléma ).
A monádos elsőrendű predikátumok kiszámítása, vagyis unariális kapcsolatokká redukálva és funkciók nélkül: eldönthető és teljes, propozíciós számítássá redukcióval.
Az elsőrendű predikátumok kiszámítása : redukálható a diadikus predikátumok kiszámítására, vagyis legfeljebb bináris predikátumokkal (amint ez a halmazelmélet esetében primitív szimbólumként csak tagsággal és egyenlőséggel rendelkezik): félig eldönthető és teljes .
A másodrendű predikátumok kiszámítása : [ kvid annak eldönthetőségére], és részleges teljességi tétel a képletek egy alosztályára .
Magasabb rendű predikátumok kiszámítása :

A predikátumok kiszámítása félig eldönthető, abban az értelemben, hogy egy gép egymás után felsorolhatja a tételeket. De a javaslatok számításától eltérően általában nem eldönthető abban az értelemben, hogy nincsenek "mechanikus" eszközök, amelyek, ha F képletet adunk magunknak, eldönthetjük, hogy F tétel-e. A félig eldönthetőség nem enged következtetést levonni: F szembesítése a tételek listájával akkor ér véget, ha F valóban tétel, de a befejezésre várva a priori nem tudjuk, hogy a tételek kiszámításának nincs-e nem került elég messzire ahhoz, hogy F-t tételként azonosítsuk, vagy hogy ez a számítás nem ér véget, mert F nem tétel.

Ez azonban a használt nyelvtől függ, különösen a primitív szimbólumok (az aláírás) megválasztásától. A monád egalitárius predikátumok kiszámítása (csak unáris predikátum szimbólumokkal és függvény szimbólummal nem rendelkezik) eldönthető. A legalább egy bináris predikátum szimbólumot tartalmazó nyelv egalitárius predikátumainak kiszámítása (algoritmikusan) eldönthetetlen.

A szintaktikus töredékek eldönthetők, mint az elsőrendű monádikus logika vagy a Bernays-Schönfinkel osztály .

Tömörség

Lásd a tömörítési tétel .

Expresszivitás

A tömörségtétel érdekes alkalmazása, hogy nincsenek olyan képletek, amelyek "a tartomány végtelen" kifejezést jelentenék.

Löwenheim-Skolem tétel

Lásd a Löwenheim-Skolem-tételt .

Hiányosság

Más értelemben az "ésszerű" elméletek, amelyek lehetővé teszik az intuitív aritmetika kellő formalizálását, mint például Peano számtana vagy halmazelmélete , nem teljesek : létezik olyan bizonyíthatatlan állítás, amelynek negációja szintén nem bizonyítható. (Lásd Gödel befejezetlenségi tétele ).

Megdönthető töredékek

Az elsőrendű logika képletének kielégíthetőségével kapcsolatos probléma eldönthetetlen. De azáltal, hogy a képletek bizonyos osztályaira szorítkozik, az elégedettség problémája eldönthetővé válik. Az alábbi táblázat néhány eldönthető töredéket sorol fel.

Töredékek
Az aritás monád töredékei és függvényszimbólumai 1
Csak két változóval rendelkező töredék
Bernays-Schönfinkel osztály , osztály funkció és egyenlőségjelek nélkül ${\ displaystyle \ létezik ^ {} \ forall ^ {}}$
Osztály funkció szimbólumok nélkül ${\ displaystyle \ pastāv ^ {} \ forall ^ {2} \ létezik ^ {}}$
Osztály funkció szimbólumokkal ${\ displaystyle \ pastāv ^ {} \ minden \ létezik ^ {}}$
Osztály funkció és egyenlőség szimbólumokkal ${\ displaystyle \ létezik ^ {*}}$
Monád töredék az aritás és az egyenlőség függvényszimbólumaival
Osztály az első aritás és az egyenlőség szimbólumaival ${\ displaystyle \ pastāv ^ {} \ minden \ létezik ^ {}}$

Változatok

A propozíciók kiszámítása az első rendű logika szintaktikai töredéke, ahol nincsenek változók, és ahol az összes predikátum 0 aritású .

A modális logika javaslattételi és leírási logikája az elsőrendű logika szintaktikai töredéke . Ezenkívül bármely első rendű képlet, amely invariáns a bisimulációval , egyenértékű a modális logikai képlettel: ez a Van Benthem-tétel . Az elsőrendű logikát kiterjesztették az elsőrendű modális logikára is . A függőség logikája ( függőségi logika ) egy logikai általánosítás annak az első sorrendnek, amelyben a változók közötti függőségeket kifejezetten leírják a nyelvben .

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

Rekurzívan axiomatizálható és koherens.

Hivatkozások

Immanuel Kant, " A tiszta ész kritikájának előszava " a https://fr.wikisource.org oldalon ,1787
" logician - Wikiszótár " , a fr.wiktionary.org címen (megtekintve : 2020. május 25. )
" Logika (matematika) / Természetes dedukció - Wikiverzió " , a fr.wikiversity.org oldalon (hozzáférés : 2020. május 25. )
(in) A klasszikus döntési probléma | Börger Egon | Springer ( online olvasás ) , Th. 6.02 p. 240

Függelékek

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Stephen Kleene, Matematikai logika , Armand Colin, 1971 vagy Gabay 1987 ( ISBN 2-87647-005-5 )
R. David, K. Nour és C. Raffalli, Bevezetés a logikába. A tüntetés elmélete. Korrigált tanfolyamok és gyakorlatok , Dunod, 2001 ( ISBN 2-10-006796-6 )