Logikai axióma

Az axiomatikus módszer lehetővé teszi az első rendű logikai törvények halmazának meghatározását a logikai axiómákból és a dedukciós szabályokból oly módon, hogy az összes logikai törvény vagy axióma, vagy az axiómákból származtatott képlet véges számú alkalmazással. levonási szabályok.

Ez a pusztán szintaktikus bemutatás egyenértékű a modellelmélet szemantikai bemutatásával , amely lehetővé teszi a logikai törvény valódi képletként történő meghatározását minden lehetséges világban. Ez az egyenértékűség a teljességi tétel tárgya .

A Principia Mathematica logikai axiómái

A logikai törvényeket Whitehead és Russell (1910) rendszerében hat axióma-séma és két levonási szabály, a leválás szabálya és az általánosítás szabálya adja.

Axióma diagramok

Ezek az axióma sémák a következők. p, q és r helyettesíthetők az első rendű predikátumok kiszámításának bármely képletével (szabad változókkal vagy anélkül) .

ha (p vagy p), akkor p: ${\ displaystyle (P \ lor P) \ Rightarrow P}$

ha p akkor (p vagy q): ${\ displaystyle P \ Rightarrow (P \ lor Q)}$

ha (p vagy q), akkor (q vagy p): ${\ displaystyle (P \ lor Q) \ Rightarrow (Q \ lor P)}$

ha (ha p, akkor q), akkor (ha (p vagy r), akkor (q vagy r)): ${\ displaystyle (P \ Rightarrow Q) \ Rightarrow ((P \ lor R) \ Rightarrow (Q \ lor R))}$

ha (minden x olyan, hogy p), akkor p ': ${\ displaystyle (\ forall x, p (x)) \ Rightarrow p '}$

ahol p 'származik p-ből, ha egy p-ben lévő nem kötött y változót helyettesítjük az összes p x-ben előforduló szabad előfordulással.

ha (minden x olyan, hogy (p vagy q)), akkor (p vagy minden x olyan, hogy q): ${\ displaystyle (\ forall x, (p \ lor q (x))) \ Rightarrow (p \ lor (\ forall x, q (x)))}$

ahol p olyan képlet, amely nem tartalmazza x-et szabad változóként

A levonás két szabálya

A leválás vagy a modus ponens szabálya azt mondja, hogy a két pr p (és ha p akkor q) premisszából levezethetjük q-t.

Az általánosítási szabály azt mondja, hogy a p egyedi feltételezésből következtethetünk (minden x olyan, hogy p)

Egyenértékűség a természetes dedukcióval

Be tudjuk bizonyítani, hogy a természetes dedukció értelmében az összes hipotetikus igazság vagy ezekből a diagramokból nyert axióma, vagy pedig következmény, amely véges számú lépésben levezethető ezekből az axiómákból.

A természetes dedukcióval formalizálható összes bizonyíték Whitehead és Russell logikai számításában (elsőrendű) és fordítva formalizálható.

A rendszer teljessége

Gödel bebizonyította a teljességi tételt, amely azt állítja, hogy ez a hat axióma séma és a levezetés e két szabálya elegendő az összes logikai törvény megszerzéséhez.