A modell-elmélet , a Löwenheim-Skolem tétel , állította a Leopold Löwenheim 1915 és teljes mértékben igazolták 1920-ban Thoralf Skolem , megállapítja, hogy ha egy sor zárt képletek elsőrendű logika elismeri egy végtelen modell , akkor elismeri a modell bármely a végtelen kardinalitás, amely nagyobb vagy egyenlő a nyelv és a képletkészlet kardinalitásával. Az eredményt gyakran két tétel formájában mutatják be : az emelkedő Löwenheim-Skolem-tétel és a leszálló Löwenheim-Skolem-tétel .
Vegyük fontolóra, hogy a nyelv megszámlálható (gyakran ésszerű feltételezés, különösen az adatfeldolgozásban, és az adatfeldolgozás egyes logikai munkáiban tett feltételezés). A Löwenheim-Skolem-tétel ekkor állítható: ha egy képlet kielégítő, akkor kielégítő a leginkább megszámlálható modellben. Vagy általánosabban: ha a zárt képletek (megszámlálható) T halmaza kielégíthető, akkor T a legszámlálhatóbb modellben is kielégíthető.
Legyen σ az első rendű nyelv aláírása , amely egyenlőséget tartalmaz. Legyen κ végtelen bíboros, így | σ | ≤ κ. Legyen M végtelen modell az σ aláíráson. Ekkor létezik a kardinalitás κ N modellje , amely:
Különösen M és N ekkor elvileg egyenértékűek.
Legyen σ, κ, M, mint a felemelkedő tétel hipotézisében: | σ | ≤ κ és | M | <κ. Add állandó c egy bármely elemét egy , a domain a M és hívás σ + aláírás σ kiegészített ezek állandók c a . Vagy M + definiáljuk, mint a modell M , de ahol az egyik értelmezi minden egyes konstans c van az elem a tartomány M . Legyen T + a zárt képletek halmaza igaz M + -ban az σ + aláírás nyelvén (ez az M elemi diagramja ).
Most tekintsünk egy sor E sarkalatos és κ konstans d i minden i in E . Mi majd úgy az elmélet T " tartalmazó T + , és a képletek d i ≠ d j az i ≠ j . Bármilyen véges részét T 0 a T „ kielégíthető: például a T 0 enged teret, mint egy modell a modell M” , határozzuk meg, hogy M + , amelyben értelmezzük az állandók d i úgy, hogy a d i beavatkozó a T 0 értelmezik külön elemek; ez lehetséges, mivel T 0 véges és M végtelen. A tömörség tétel , a T „ elismeri a modell N” , amelynek dómén legalább Cardinal κ definíció szerint a T „amely egy elemi kiterjesztése M , mivel a T” tartalmazza az alapvető rajz T + a M . A tétel az Skolem Löwenheim le, létezik N ' elemi alapfelépítményét N' , és tartalmazza M , tehát elemi kiterjesztése M . Legyen N az σ aláírásra korlátozott N '' modell ; ez a keresett modell.
Az ereszkedő részt például a teljességi tétel vagy legalábbis a teljességi tétel bizonyításának modern változataiban használt Henkin tanúi általi teljesítésével mutatjuk be .