A matematika , Zermelo tétel , más néven rendben tétel , annak az eredménye, set -elmélet , bizonyította 1904-ben Ernst Zermelo , aki azt állítja:
Zermelo-tétel - Bármely halmaz felruházható jó rendű szerkezettel , vagyis olyan sorrenddel, hogy bármelyik nem üres rész kisebb elemet is beengedjen .
Zermelo tétele, a választott axióma és Zorn lemma ekvivalens:
Legyen E jól rendezett halmaz, P ( E ) pedig részei halmaza . Ezután definiálunk egy választási függvényt a P ( E ) \ {⌀} -en úgy, hogy E minden nem üres részéhez társítjuk a legkisebb elemét (egy ilyen függvény megléte az axiómaválasztás egyik lehetséges állítása).
Vagy E a halmaz, vagy M az összes rendezett reláció E része . M maga is fel lehet ruházni részleges sorrendben: azt mondjuk, hogy egy jó érdekében o 1 kisebb, vagy egyenlő, mint egy jó érdekében o 2 , ha o 1 egy kezdeti szegmense a o 2 . Ezután ellenőrizzük, hogy az ezzel a relációval kapott M induktív halmaz. Bármely M lánc elfogad egy felső határt (ami akár egy felső határ is): azt a relációt, amelynek gráfja a lánc rendjeinek gráfjainak egyesülése. Ellenőrizzük, hogy ez a reláció valóban jó rend reláció (kihasználjuk azt a tényt, hogy a lánc kezdeti szegmensenként rendezett). Tehát M maximális elemet ismer be. Egy ilyen maximális elem ekkor jó rend az egész E fölött (egyébként kiterjeszthetjük jó utódrenddé, ami ellentmondana a maximumnak).
Zorn lemma tehát magában foglalja a választás axiómáját (közvetlen bizonyítást ugyanezen elv alapján a Zorn lemmájáról szóló cikk is tartalmazza ). Kölcsönösen:
Miután Zermelo a Mathematische Annalen-ben megjelent , Emile Borel ugyanazon folyóirat következő kötetében egyet nem értését fejezi ki azzal kapcsolatban, hogy Zermelo a választott axiómát alkalmazta . Öt vitarevél következik Emile Borel , Jacques Hadamard , René Baire és Henri Lebesgue között .