Kezdő szakasz

A matematika , és pontosabban annak érdekében, elméletben , egy kiindulási szakaszt (más néven kezdeti szegmens vagy inferiorly zárt részhalmaza ) egy rendezett halmaza ( X , ≤) egy részhalmaza S az X olyan, hogy ha x jelentése a S , és ha y ≤ x , akkor Y jelentése a S .

Dually , úgynevezett graduális szakasz (vagy részhalmaza zárt superiorly ) egy részhalmaza F olyan, hogy ha x jelentése a F , és ha x ≤ y , akkor y jelentése a F .

Példák

Abban az esetben, egy teljesen rendezett halmaz , a kiindulási szakaszok időközönként  ; különösen a valós számok R halmaza esetén az üres és az R-vel nem azonos kezdő szakaszok a két alak egyikének intervallumai ] –∞, a ] és ] –∞, a [ .

A kapcsolat felvétele , minden alcsoportjánál, megadott X jelentése egy felső sor minden részén Y minden Y , mint X ⊂ Y .

Definíció szerint az inklúziós reláció szempontjából a topológiai térben lévő pont szomszédságainak halmaza a tér részeinek halmazának egy befejező szakasza.

Tulajdonságok

A következő tulajdonságlistában mindenhol helyettesíthetjük a kezdő szakaszt a befejező szakaszra (szükség szerint a maximum és a minimum cseréjével stb.)

• Minden megrendelt készlet önmagának kezdő szakasza.
• A kezdő szakaszok családjának kereszteződése és egyesülése kezdő szakasz.
• A kezdő szakasz kiegészítése egy befejező szakasz.
• Rendezett halmaz ( X , ≤) alapján az X kezdő szakaszainak családja, beillesztéssel rendezve , egy teljes rács , az O ( X ) kezdetű rács .
• Adott rendezett X halmaz tetszőleges Y részhalmaza alapján az Y- t tartalmazó végződő szakaszok metszéspontja a legkisebb, amelyek ating Y-t jelölnek .
  • Hasonlóképpen, a legkisebb, Y- t tartalmazó felső halmazt ↓ Y- vel jelöljük .
• Az X befejező szakaszát akkor mondjuk főnek, ha of { x } alakú , ahol x az X eleme  ; Ennek a terminológiának két fontos alkalmazása felel meg az ideálok és az ultraszűrők esetének .
• A befejező szakasz minimális elemeinek összessége antikain .
  • Ezzel ellentétben, bármelyik antichain A meghatároz egy befejező részt: { x | létezik olyan y az A úgy, hogy x ≥ y }. Az ereszkedő láncfeltételt kielégítő részparancsok esetében az antiláncok és a befejező szakaszok közötti megfelelés bijekció (de ez általában nem áll fenn részleges sorrend esetén).

A rendes ügyek

A sorszám azonosítható a szigorúan alacsonyabb rendű rendeletekkel. Ezután minden sorszámot azonosítunk az összes rendes osztály kezdő szakaszával, beillesztés szerint rendezve.

Lásd is

• Ideális (rendeléselmélet)
• Intervallum
• Burali-Forti paradoxona

Hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  Felső sor  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

• N. Bourbaki , A matematika elemei - halmazelmélet , ch. III, 1. bek., 2. sz., 1. o. 3, a részrendelések definíciói és első tulajdonságai.
• (en) J. Blanck, „  A topológiai terek tartományábrázolása  ”, in Theoretical Computer Science , vol. 247., 2000, p. 229–255
• en) KH Hoffman, "  Az alacsony elválasztási axiómák (T 0 ) és (T 1 )  " ,2001
• (en) BA Davey és HA Priestley, Bevezetés a rácsokba és rendbe , Cambridge University Press ,2002, 2 nd  ed. , 298  p. ( ISBN  0-521-78451-4 , online olvasás )