Morse-Kelley halmazelmélet

A Morse-Kelley halmazok elmélete (néha rövidítve MK-ként) olyan axiomatikus elmélet, amelyet első sorrendben fejeznek ki, amelynek tárgyai osztályok , vagyis a Zermelo-Fraenkel ( ZFC ) halmazelméletéhez közel álló jelentést határoznak meg, de " azonos tulajdonságú halmazok gyűjteményei ”, amelyek nem tekinthetők paradoxon büntetés alatt álló halmazoknak, például az összes halmaz gyűjtése. Ebben hasonlít a von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) halmazainak elméletéhez , és különbözik a Zermelo-Fraenkel elméletétől, amely lehetővé teszi, hogy egy olyan osztályról beszéljünk, amely nem halmaz csak a metaelmélet révén, az azt meghatározó tulajdonság. A von Neumann-Bernays-Gödel-elmélet azonban csak olyan tulajdonságokat enged meg meghatározni a halmazegyetemben, amelyek maguk is halmazokként vannak meghatározva; a megértési axiómák ezen osztályának korlátozása (osztályok esetében) az NBG-t finoman axiomatizálható elméletté teszi , és amely ugyanazokat a tisztán meghatározott állításokat mutatja be, mint a Zermelo-Fraenkel-elmélet. A Morse-Kelley-elmélet megszünteti ezt a korlátozást: az elmélet nyelvén kifejezett bármely tulajdonság meghatározza az osztályt a halmazegyetemben, ez aztán a szokásos halmazelmélet ZFC megfelelő kiterjesztése .

Az elmélet Anthony Morse (en) és John L. Kelley matematikusoknak köszönheti a nevét , utóbbi Skolem-Morse elmélet néven elsőként adta ki annak egyik változatát Általános topológia című könyvének mellékleteként . Az a lehetőség, a korlátozás feloldásával a séma megértés Neumann osztály elmélete szintén figyelembe vették mellett Skolem által Quine és mások. Fraenkel , Bar-Hillel és Levy egy 1958-ban megjelent könyvben, amely a halmazelmélet különböző megközelítéseit taglalja, Quine és Morse rendszernek nevezi , és Hao Wangnak is tulajdonítja .

Axiómák

Az MK és az NBG által kijelölt két elméletnek ugyanaz az ontológiája: a diskurzus univerzuma osztályokból áll; ha egy osztály legalább egy osztály eleme, akkor „halmaznak” nevezzük, különben „megfelelő osztály”, ami tehát nem eleme egyetlen osztálynak sem. A primitív állítások formája az egyenlőség [X = Y] vagy a tagság [x∈Y].

Az osztályok megértési sémáját leszámítva az MK axiómái megegyeznek az NBG axiómáival, mindkét esetben változatos megfogalmazással vagy az axiómák részleteiben. Az írás bizonyos konvencióknak engedelmeskedik:

Az "M" -től eltérő nagybetűk bármely osztály változóit jelölik;

Kisbetűk jelzik a halmaz változóit;

Az ekvivalens „x halmaz”, „létezik Y, így x∈Y” kifejezés rövidül „M (x)” vagy „Mx” kifejezésre;

A megértés és az extenzivitás axiómái biztosítják az üres osztály létét, és a végtelenség axiómája által itt biztosított halmaz létezésével egy egyedi üres Ø halmazt, amelyet a következők határoznak meg:

{\ displaystyle \ forall x (x \ not \ in \ varnothing)}

és egy egyedülálló univerzális V. osztályból (Von Neumann univerzuma az alapító axióma jelenlétében ), amelyet a következők határoznak meg:

{\ displaystyle \ forall x (M (x) \ balra egyenes x \ V-ben)}

Az extenzivitás axióma azt állítja, hogy két azonos elemű osztály egyenlő:

{\ displaystyle \ forall X \, \ forall Y \, (\ forall z \, (z \ X-ben \ baloldali egyenes z \ Y-ben) \ rightarrow X = Y)}

Az alap axióma kimondja, hogy minden nem üres osztály legalább egy elemétől elszakad:

{\ displaystyle \ forall A [\ létezik x \ x \ A-ban \ rightarrow \ létezik b (b \ in A \ land \ forall c (c \ in b \ rightarrow c \ not \ in A))]}

A pár axióma egy olyan halmaz létezését állítja, amelynek pontosan két megadott halmaza van:

{\ displaystyle \ forall x \, \ forall y \, [(M (x) \ land M (y)) \ rightarrow \ létezik z \, (M (z) \ land \ összes s \, [s \ in z \ balra nyíl (s = x \, \ lor \, s = y)])]}

A pár axióma lehetővé teszi a Wiener-Kuratowski párok meghatározását a szokásos módon: ( x , y ) = {{ x }, { x , y }}

Az újraegyesülés axióma azt állítja, hogy a halmaz elemeinek osztálya halmaz; itt nem kell ennek az osztálynak a létezését postulálni, csak azt, hogy ez halmaz; valójában létezését az osztályok megértési sémája alapján állapítják meg; ennek eredményeként az axióma megfogalmazása eltér a Zermelo-tól , a változó pedig univerzálisan - nem pedig egzisztenciálisan - számszerűsítve: $s$

{\ displaystyle \ minden a \, \ összes s \, [(M (a) \ land \ forall x \, [x \ s s \ baloldali nyíl létezik y \, (x \ y y \ land y \ a) ]) \ rightarrow M (s)]}

A részhalmaz axiómája kimondja, hogy az a halmaz részhalmazainak osztálya halmaz; a újraegyesítési osztályra vonatkozó fenti megjegyzés ugyanúgy vonatkozik ide, ipso facto létezik az a részhalmazainak osztálya, így a p változó univerzálisan kvantált:

{\ displaystyle \ forall a \, \ forall p \, [(M (a) \ land \ forall x \, [x \ in p \ lefttrightarrow \ forall y \, (y \ in x \ rightarrow y \ in a) ]) \ jobbra nyíl M (p)]}

A végtelen axióma megerősíti, hogy létezik egy olyan y halmaz, amelynek Ø eleme van, és olyan, hogy minden z esetén, ha z y elem, akkor z U {z} esetén ugyanaz :

{\ displaystyle \ létezik y [M (y) \ land \ lakkozás in y \ land \ forall z (z \ in y \ rightarrow \ létezik x [x \ in y \ land \ forall w (w \ in x \ leftrightarrow [w = z \ lor w \ in z])])]}

(∅ ∈ y kifejezhető üres halmaz létezésének feltételezése nélkül).

A helyettesítő axióma ugyanazt az elképzelést fejezi ki, mint a ZF megfelelő sémája: minden funkcionális reláció és minden x halmaz számára létezik az x elemeinek képhalmaza ezzel a relációval; de itt, hasonlóan az NBG-hez, diagram helyett egyszerű axióma (a fent definiált párokat használjuk):

{\ displaystyle \ forall F [[\allall x, y, z \ in VF (x, y) \ land F (x, z) \ rightarrow \; y = z] \ rightarrow \; [\ forall x \ in V \ létezik y \ V-ben \ összes z \-ben V-ben [z \ -ban y \ baloldali nyíl \; \ létezik t (t \ x-ben \ land (t, z) \ F-ben]]]}

A axióma a választás lehet venni korlátozni készletek, mint például, hogy a ZFC: bármely beállított egy létezik olyan függvény F (készlet párok kielégíti a szokásos állapot) definiált egy , megfelelő bármely x nemüres eleme egy , az F ( x ) ∈ x (egy olyan változat, amely erősebb elméletet ad, és ennek az axiómának az osztályokra vagy az univerzális osztályra való kiterjesztése, lásd: következő szakasz).

Most eljutottunk a Morse-Kelley-elmélet fő elvéhez: az osztályok megértésének sémájához .

Legyen φ ( x ) bármely olyan formula az MK nyelvén, amelyben az x változó szabad. A φ ( x ) paraméterei lehetnek eigenclasses és halmazok is; és az φ ( x ) -be kötött változók bármely osztály változói lehetnek, és nem csak halmazok; egyedül ezen tulajdonságánál különbözik az MK az NBG-től.

Aztán van egy Y osztály:

{\ displaystyle \ quad Y = \ {x \ mid \ varphi (x) \}}

amelyek elemei pontosan azok, amelyekre happens ( x ) történetesen igaz. Ha Y nem szabad változó a φ ( x ) -ben :

{\ displaystyle \ forall W_ {1} \ ldots W_ {n} \ létezik Y \ forall x [x \ in Y \ balra egyenes (\ varphi (x, W_ {1}, \ ldots W_ {n}) \ land Mx) ]}

Vita

A Morse-Kelley-elmélet szigorúan erősebb, mint a ZFC és konzervatív kiterjesztése az NBG . Valójában következetessége e két elméletéhez vezet. De ha hozzáadjuk a ZFC-hez egy erősen hozzáférhetetlen bíboros létezésének axiómáját , az így kapott elmélet konzisztenciája magában foglalja az MK-t.

Az osztályok megértési sémája nem redukálható az elsőrendű axiómák véges listájára, ellentétben az NBG szűkített változatával, és a Morse-Kelley-elmélet nem véglegesen axiomatizálható (ellentétben az NBG-vel).

Ami az NBG-t illeti, az osztályok lehetővé teszik a választás elvének vagy a globális választás axiómájának kifejezését, vagyis a választást az egész univerzumban, egy funkcionális osztály létezését, amely minden nem üreshez társítja ennek az elemnek az elemét. készlet. Ezt az axiómát, amely nem következménye a halmazok közönséges választásának axiómájának, Kelley fogadta el axiomatizálásához.

Az NBG-hez hasonlóan az osztályok lehetővé teszik von Neumann miatti méretkorlátozás ( (en) korlátozás ) axiómájának kifejezését, amelynek ugyanazok a következményei vannak, mint az NBG-nél (helyettesítés, szétválasztás, a globális választás axióma és találkozás).

A Morse-Kelley osztályelmélet lényegében ugyanazokra az elvekre épül, mint a ZFC, az NBG és ezek variánsai. Ez a három elmélet ugyanazokkal a módszerekkel tanulmányozható, de valamivel egyszerűbben a ZFC elméletei esetében. Mivel a Morse-Kelley elmélet lehetővé teszi az osztályról közvetlenül beszélni (míg a ZFC-ben az osztály fogalma csak közvetetten érhető el, a metaelméletben), az NBG elmélet megértési sémájának szintaktikai korlátozása nélkül, ami nem feltétlenül túl természetes, egyesek a tankönyvek előszeretettel fejlesztik belőle a halmazelmélet alapjait.

Sablonok

Történelmi

Az elméletet először John L. Kelley dolgozta ki 1955-ben Általános topológia című munkájának mellékleteként . Az Anthony Morse által 1965-ben A halmazok elmélete által kifejlesztett rendszer egyenértékű, és egy egészen sajátos formális nyelven van kifejlesztve, eltérve az elsőrendű logika szokásos jelöléseitől.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia „ Morse - Kelley halmazelmélet ” című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(in) Elliott Mendelson (en) ( ford. Az ókori görögből), Bevezetés a matematikai logikába , Monterey, Chapman & Hall ,1997, 3 e . , 341 p. ( ISBN 978-0-534-06624-6 , LCCN 86011084 ), 287. o
(in) Kenneth Kunen , Set Theory: An Introduction to Independence igazolásokat , Észak-Holland, 1980 ( ISBN 978-0-72042200-9 ) , p. 36
mint Monk 1980 vagy Rubin 1967 , akik változatot dolgoznak ki elemekkel , tárgyakkal, amelyek osztályokba tartoznak, de nem halmazok.

Bibliográfia

Abraham Fraenkel , Yehoshua Bar-Hillel és Azriel Levy , 1973 (1958). A halmazelmélet alapjai . Észak-Hollandia.
John L. Kelley , általános topológia. Függelék, Elementary Set Theory , 1955, Van Nostrand, nád. Springer, 1975.
John Lemmon (en) , Bevezetés az axiómás halmazelméletbe , 1986, Routledge & Kegan Paul.
David Lewis , Osztályok részei , 1991, Oxford: Basil Blackwell.
James Donald Monk , Bevezetés a halmazelméletbe , Krieger,1980
Anthony Morse (en) , A halmazok elmélete , 1965, Academic Press.
Andrzej Mostowski , „Néhány impresszív definíció az axiomatikus halmazelméletben”, Fundamenta Mathematicae 37 (1951), 111–24.
Jean E. Rubin , a matematikus elmélete , San Francisco, Holden Day,1967

Kapcsolódó cikkek