Goldbach-sejtés

A Goldbach sejtés a matematikai állítás, amely a következőképpen szól:

Bármely 3-nál nagyobb páros egész szám felírható két prímszám összegeként .

Christian Goldbach 1742-ben fogalmazta meg a számelmélet és a matematika egyik legrégebbi megoldatlan problémáját . Megosztja a Riemann-hipotézist és az iker-első sejtést Hilbert problémáinak 8-as számáról , amelyet 1900-ban fogalmazott meg.

A szemközti ábra a 2N = p + q egyenlet körökkel ábrázolt megoldásait mutatja, ahol 2N páros szám 4 és 50 között, p és q pedig két prímszám: a 2N számokat vízszintes vonalak és a prím a p és q számokat a piros és a kék vonal képviseli. Goldbach sejtése megfelel annak a ténynek, hogy amennyire lefelé nyújtjuk az ábrát, bármely szürke vízszintes vonal legalább egy kört tartalmaz:

4	=	2 + 2				(1 megoldás)
6.	=	3 + 3				(1 megoldás)
8.	=	3 + 5				(1 megoldás)
10.	=	3 + 7	= 5 + 5			(2 megoldás)
12.	=	5 + 7				(1 megoldás)
14	=	3 + 11	= 7 + 7			(2 megoldás)
	$\ vdots$
50	=	19 + 31	= 13 + 37	= 7 + 43	= 3 + 47	(4 megoldás)

Goldbach sejtése a H Schinzel hipotézishez kapcsolódó sejtés speciális esete .

Eredet

A 1742. június 7 , Christian Goldbach porosz matematikus levelet ír Leonhard Euler svájci matematikusnak , amelynek végén a következő sejtést javasolja:

Bármely szigorúan 2-nél nagyobb szám felírható három prímszám összegeként.

(Goldbach 1-et bevallott prímszámként; a modern sejtés kizárja az 1-et, és ezért a 2-et 5-szel helyettesíti.)

Kelt válaszában 1742. június 30, Euler emlékezteti Goldbachot, hogy ez a kijelentés egy korábbi nyilatkozatból következik, amelyet Goldbach már közölt vele:

Bármely páros szám felírható két prímszám összegeként.

(A korábbiakhoz hasonlóan a "számot" "szigorúan 0-nál nagyobb egész szám" értelemben kell értelmezni, és a modern sejtés a 0-t 2-re cseréli.)

A sejtés gyengébb változata szerint minden 9-nél nagyobb vagy egyenlő páratlan szám három prímszám összege.

Heurisztikus igazolás

A matematikusok többsége úgy véli, hogy a Goldbach-sejtés igaz, leginkább statisztikai szempontokra támaszkodva, amelyek a prímszámok eloszlására összpontosítanak : minél nagyobb a szám, annál több lehetőség áll rendelkezésre két vagy három másik szám összegeként való ábrázolására, és a leginkább "kompatibilis" lesz az, amelyiknek legalább egy ilyen ábrázolása teljes egészében prímszámokból áll.

A heurisztikus valószínűségi érvelés nagyon durva változata (Goldbach sejtésének erős formája mellett) a következő. A prímszám tétel azt állítja, hogy egy nyers véletlenszerűen kiválasztott $m$ egész számnak esélye van prímnek lenni. Tehát, ha $n$ nagy páros egész szám , $m pedig$ 3 és $n$ $/ 2$ közötti szám , akkor arra számíthatunk, hogy annak a valószínűsége, hogy $m$ és $n - m$ egyaránt prím, egyenlő . Ez a heurisztikus érvelés sok okból nem szigorú; tegyük fel például, hogy azok az események, amelyek $m$ és $n - m$ elsődlegesek, statisztikailag függetlenek egymástól. Ha mégis folytatjuk ezt a heurisztikus érvelést, akkor megbecsülhetjük, hogy egy nagy páros egész $n,$ mint két páratlan prím összege, megírási módjainak száma összesen kb. ${\ tfrac {1} {\ ln m}}$ ${\ tfrac {1} {\ ln m \ ln (nm)}}$

\ sum _ {m = 3} ^ {n / 2} {\ frac {1} {\ ln m}} {\ frac {1} {\ ln (nm)}} \ kb {\ frac {n} {2 \ ln ^ {2} n}}.

Mivel ez a mennyiség az $n$ növekedésével a végtelenségig hajlamos , arra számíthatunk, hogy bármely kellően nagy páros egész számnak nemcsak két reprezentációja van, hanem valójában nagyon sok van belőlük.

A fenti heurisztikus érv valójában némileg pontatlan, mivel figyelmen kívül hagy néhány összefüggést annak valószínűsége között, hogy $m$ és $n - m$ elsődleges. Például, ha $m$ páratlan, akkor $n - m$ is, és ha $m$ páros, akkor $n - m$ is, de a prímszámok mind páratlanok, kivéve 2-t. Hasonlóképpen, ha $n$ osztható 3-mal és ha $m$ már prímszám különbözik a 3-tól, akkor $n - m$ is prím 3- mal, így valószínűsége, hogy prím, valamivel nagyobb, mint bármelyik egészé. Nagyobb körültekintéssel folytatva ezt a típusú elemzést Hardy és Littlewood 1923-ban sejtették (ez a híres Hardy-Littlewood elsőszámú $n-$ páros sejtés része ), hogy bármely $c \geq 2$ esetén az ábrázolások száma d 'nagy $n$ egész szám . formájában összege $c$ prímszám és legyen egyenértékű a $n = p_ {1} + \ cdots + p_ {c}$ $p_ {1} \ leq \ ldots \ leq p_ {c}$ $\ balra (\ prod _ {p} {\ frac {p \ gamma _ {c, p} (n)} {(p-1) ^ {c}}} \ jobbra) \ int \ korlátozza _ {2 \ leq x_ {1} \ leq \ ldots \ leq x_ {c} \ tetején x_ {1} + \ ldots + x_ {c} = n} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d } x_ {c-1}} {\ ln x_ {1} \ ldots \ ln x_ {c}}}$ ha a termék vonatkozik az összes prímszámokat $p$ , és az a szám egyenlet megoldásai a moduláris aritmetika , kitéve a korlátok . Ezt az aszimptotikus képletet Vinogradov munkájából bebizonyították $c$ $\geq 3 esetén$ , de ez még mindig $c$ $= 2 feltételezés$ . Ez utóbbi esetben a fenti kifejezés nulla, ha $n$ páratlan, és ha $n$ páros, akkor leegyszerűsödik $\ gamma _ {c, p} (n)$ $n \ equiv q_ {1} + \ cdots + q_ {c} \ mod p$ $q_ {1}, \ ldots, q_ {c} \ not \ equiv 0 \ mod p$ $2 \ Pi _ {2} \ balra (\ prod \ korlátozza _ {p | n \ tetején p \ geq 3} {\ frac {p-1} {p-2}} \ jobbra) \ int _ {2} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ ln ^ {2} x}} \ kb 2 \ Pi _ {2} \ balra (\ prod \ limits _ {p | n \ tetején p \ geq 3} {\ frac {p-1} {p-2}} \ jobbra) {\ frac {n} {\ ln ^ {2} n}},$ hol van az iker prímszámok állandója $\ Pi _ {2}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} \ balra (1 - {\ frac {1} {(p-1) ^ {2}}} \ jobbra) = 0 {,} 660 ~ 161 ~ 815 ~ 8 \ ldots.}$ Ezt az aszimptotikus képletet néha kiterjesztett Goldbach-sejtésnek nevezik . Goldbach erős sejtése valójában nagyon hasonlít az iker-prímszámokhoz , és feltételezzük, hogy mindkét sejtés hasonló nehézségű.

A kutatás állapota

Kapcsolódó tételek

A Goldbach-sejtés igazolására irányuló kutatások során számos számelméleti szakember gyengébb tételekkel állt elő, mint a sejtés. Az alábbi táblázat a kutatás néhány jelentős szakaszát mutatja be. Az f megemlítés Goldbach gyenge sejtéseivel kapcsolatos tételeket jelzi: „minden 9-nél nagyobb vagy egyenlő páratlan szám három prímszám összege. ":

Év	Szerzői	Tétel		Részletek
1920	Viggo Brown		Bármely elég nagy páros egész két olyan szám összege, amelyek mindegyike legfeljebb 9 prímtényezőből áll.
1923	Hardy és Littlewood	f	Feltételezve, hogy a Riemann-hipotézis bizonyos általánosításai igazak , minden elég nagy páratlan szám három prímszám összege.
1924	Hans rademacher		Bármely elég nagy, egyenletes egész két, legfeljebb 7 prímtényezőből álló egész szám összege.
1931	Lev Schnirelmann		Bármely> 1 egész szám legfeljebb 20 prímszám összege.
1937	Ivan Vinogradov	f	Bármely nagy páratlan egész szám három prímszám összege. Következmény: Bármely elég nagy páros egész szám négy prímszám összege.
1937	Nyikolaj Csudakov (en)		Szinte minden páros egész szám két prímszám összege.
1938	Johannes van der corput
1938	Theodor Estermann
1947	Rényi Alfréd		Van olyan állandó K, hogy bármely páros egész szám egy prímszám és egy legfeljebb K prímtényezővel rendelkező szám összege.
1951	Jurij Linnik (en)		Létezik olyan K állandó, hogy bármelyik elég nagy egész szám két prímszám és legfeljebb 2 K hatvány összege.
1966	Chen Jingrun		Bármely meglehetősen nagy páros egész szám egy prímszám és egy legfeljebb két prímtényezővel rendelkező szám összege.
1975	Hugh Montgomery és Robert Charles Vaughan		A legtöbb páros egész szám két prímszám összege.
1995	Olivier Ramaré		Bármely páros egész szám legfeljebb hat prímszám összege. Következmény: Bármely páratlan egész szám legfeljebb hét prímszám összege.	[ online olvasás ]
1997	Jean-Marc Deshouillers , Gove Effinger , Herman te Riele és Dimitri Zinoviev	f	Az általánosított Riemann-hipotézis magában foglalja a gyenge Goldbach-sejtést.	[ online olvasás ] [PDF]
2002	Roger Heath-Brown és Jan-Christoph Schlage-Puchta		Linnik (1951) eredménye K = 13-val érvényes.
2012	Terence tao	f	Bármely> 1-es páratlan egész szám legfeljebb öt prímszám összege. Következmény: Olivier Ramaré, 1995 eredménye.	Részletes cikk (igazolás ellenőrzés alatt)
2013	Harald helfgott	f	Bármely> 5-ös páratlan egész szám három prímszám összege. Következmény: Terence Tao eredménye, 2012.	Részletes cikk (igazolás ellenőrzés alatt)

Digitális ellenőrzések

2014-ben a közzétett numerikus ellenőrzések a következő következtetésekre vezettek:

a Goldbach-sejtés minden páros egészre vonatkozik 4,10 18-ig (Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog és Silvio Pardi);
a gyenge Goldbach-sejtés minden páratlan egész számra vonatkozik, 8875,10 30-ig (HA Helfgott és David J. Platt).

A kultúrában

A 2007 , Luis Piedrahita és Rodrigo Sopeña elő a spanyol film La Cellule de Fermat ( La Habitación de Fermat ), mely egy fiatal matematikus, aki hamisan állítja, hogy bizonyította a sejtést, és egy régi matematikus, aki demonstrálta.
Az új Uncle Petros és a Goldbach-sejtés [ részlete kiadásban ] által Apostolos Doxiadis , elmondja a fiktív történet egy matematikus, aki szentelte szakmai életét a Goldbach sejtés egyedül, így pazarolja szellemi erőforrásokat és üzembe magát - még távol tudományos életét és családját. A regény mindenekelőtt megragadja az alkalmat, hogy kulturális megvilágításba helyezze a századforduló néhány matematikusát és logikusát ( Kurt Gödel , Alan Turing , Srinivasa Ramanujan , Godfrey Harold Hardy …) és a különböző műveik közötti kapcsolatokat.
Doxiádis könyvének reklámozása érdekében Tony Faber brit kiadó 2000-ben egymillió dolláros díjat ajánlott fel a sejtés bizonyítékaként. A díjat csak azzal a feltétellel tudták odaítélni, hogy a bizonyítékot korábban közzétették2002. április. Soha nem állították.
Az új Le Théorème du Perroquet által Denis GUEDJ , tartalmaz egy matematikus, aki mélyen az Amazonas, sikerül bizonyítania Goldbach-sejtés. Nem hajlandó átadni az emberiségnek, kutatásának égetésével öngyilkos lesz. De először meg kell tanulnia a papagáját. A mafiosziak szeretnék kisajátítani a madarat, de utóbbi hallgat. Elkeseredve megölik. A regény az erdőben ér véget, ahol a sérült papagáj elmondja a demonstrációt a többi állatnak. Így a férfiak számára ismeretlen marad.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Goldbach sejtése " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

De ezzel a helyettesítéssel a modern sejtés kissé erősebb, mint az eredeti.
Valójában a két sejtés ekvivalens: ha bármely 2-nél nagyobb páros szám három prím összegeként írható fel, akkor az egyik szükségszerűen 2, majd bármely 0-nál nagyobb páros kettő összegeként írható elsődleges. Ne feledje, hogy Euler változatát mutatja be Goldbachnak, mint amelyet tőle kapott: „… tehát Ew. vormals mit mir communirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus by eine summa duorum numerorum primorum sey… ” , XLIV . levél .
Más szavakkal: az adott hipotézis szerint Goldbach gyenge sejtése minden elég nagy páratlan számra érvényes.
Nikolai G. Chudakov " A Goldbach probléma ", Proceedings of the Szovjetunió Tudományos Akadémia SSSR , vol. 17,1937, P. 335-338.
Vinogradov munkája szerint és abban az értelemben, hogy az ebben a formában írható páros számok aránya 1-re hajlamos.
(in) JG Van der Corput , " Goldbach feltételezéséről " , Proc. Akad. Nedves. Amszterdam , vol. 41,1938, P. 76-80.
(in) T. Estermann , " Goldbach problémája: Bizonyíték, hogy szinte minden pozitív egész szám két prémium összege " , Proc. London Math. Soc. , vol. 44,1938, P. 307-314 ( DOI 10.1112 / plms / s2-44.4.307 ).
Pontosabban van két pozitív állandók c és C olyan, hogy minden elég nagy számú N , minden páros egész szám kisebb N összege két prímszám, és legfeljebb kivételek. Különösen a páros egészek halmazának, amelyek nem két prímszám összege, nulla a sűrűsége. $CN ^ {1-c}$
(in) O. Ramaré , " állandó Ez van Šnirel'man " , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. , vol. 22, n o 4,1995, P. 645-706 ( online olvasás ).
(in) Deshouillers, Effinger, ti Riele és Zinovjev, "teljes Vinogradov A 3-féle tétel a Riemann-hipotézis alatt", American Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 1997, 3. o. 99-104.
(in) Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog és Silvio Pardi, "A páros Goldbach-sejtés empirikus igazolása és a prémium rések kiszámítása 4.10 18-ig " , Math. Comp. , vol. 83,2014, P. 2033-2060 ( DOI 10.1090 / S0025-5718-2013-02787-1 , olvassa el online ).
(in) HA Helfgott és David J. Platt, " A Ternary Goldbach 8.875.10 feltételezés 30- ig történő numerikus ellenőrzése " , Exper. Math. , vol. 22, n o 4,2013, P. 406-409 ( DOI 10.1080 / 10586458.2013.831742 , arXiv 1305.3062 ).