A matematika , a Riemann-sejtés egy sejtés megfogalmazott 1859 a német matematikus Bernhard Riemann , hogy a nem-triviális nullákat a Riemann-féle zéta funkció mind a valós része megegyezik a 1/2. Bemutatása javítaná a prímszámok eloszlásának ismeretét, és új területeket nyitna meg a matematika számára .
Ez a sejtés az egyik legfontosabb megoldatlan kérdés a matematikai XXI . Század eleje, egyike annak a huszonhárom híres problémának, amelyet Hilbert 1900-ban javasolt , az ezredforduló hét problémájának egyike és Smale tizennyolc problémájának egyike . A többi hat millenniumi problémához hasonlóan a bemutatandó sejtés pontos megállapítását részletes leírás kíséri, amely kiterjedt információt nyújt a probléma történetéről, annak fontosságáról és a vele végzett munka állapotáról; ezen az oldalon található informális megjegyzések közül sok származik belőle.
A Riemann-féle zéta funkció határozza minden komplex számok s valós része szigorúan nagyobb, mint 1
Leonhard Euler (anélkül, hogy nevet adna neki) csak az érv valós értékeire vonatkozik (de azért is ), többek között a bázeli probléma megoldása kapcsán . Ez azt mutatja, hogy az euleri termék adja ahol a végtelen szorzat az összes p prímszámra vonatkozik , de nem feltétlenül konvergál: cikkének 7. tételében Euler bizonyítékot szolgáltat erre az esetre (miközben ezt megjegyzi ), és általánosságban megállapítja a Tételében. 8. Ez az eredmény magyarázza a zeta függvény érdeklődését a prímszámok eloszlásának tanulmányozása iránt (Euler következtet az esetből , például ugyanezen cikk 19. tételében, hogy a prímszámok inverzióinak sorozata eltér) . Az eredmény természetesen érvényes marad, ha az argumentum összetett.
A Riemann-hipotézis ennek a függvénynek a nulláira vonatkozik, amelyet az imént látott konvergencia tartományon kívül esnek, és úgy tűnik, hogy nincs értelme. A magyarázat az analitikai kiterjesztés fogalmában rejlik : be tudjuk mutatni, hogy létezik egy egyedi holomorf funkció, amely bármely komplexre (az 1-től eltérő, ahol egyszerű pólusú ) van meghatározva, és egybeesik a zétával azoknál az értékeknél, ahol ez utóbbi definiálva van .; ezt az új függvényt ζ ( s ) -nek is jelöljük .
A kiterjesztés elkészítésének egyik technikája a következő.
Arra a következtetésre jutunk, hogy a szigorúan negatív páros egész számok nullák nullái (az úgynevezett triviális nullák ), és hogy a nem triviális nullák szimmetrikusak a Re ( s ) = 1/2 tengelyre vonatkoztatva, és mindegyiknek van egy valós része, a széles 0 és 1 között van; a komplex sík ezen területét kritikus sávnak nevezzük .
Ráadásul a Re ( s ) = 1 tengelyen nincs nulla (ez az eredmény megegyezik a prímszám-tétellel , lásd az alábbi történelmi részt). Hirtelen a Riemann-hipotézis a következőképpen fogalmazható meg: ha 0 <Re ( s ) <1 és ha s nulla ζ (vagy, ami ugyanarra vonatkozik, η ), akkor annak valós része egyenlő 1-vel / 2.
„ […] Es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre Allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. "
„[…] Nagyon valószínű, hogy minden gyökér valódi. Természetesen szigorú demonstrációra lenne szükség; Jelenleg néhány homályos sikertelen kísérlet után ideiglenesen félretettem a bizonyítékok felkutatását, mivel ez feleslegesnek tűnik vizsgálataim következő célkitűzése szempontjából. "
- Riemann állítása a hipotézisről az 1859. cikkben; Riemann ott beszél a zétából kapott függvényről, amelynek minden gyökérnek valódinak kell lennie, nem pedig a kritikus vonalon.
Riemann a későbbiekben „Riemann-hipotézisnek” nevezett sejtést említette a megadott méretnél kisebb prímszámokról szóló cikkében ( németül Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ), amelyben kifejezett képletet adott meg. az π ( x ) prímszámok számára, amelyek kisebbek, mint egy adott x számok .
Riemann képletének részletes ismertetése
A Riemann által kapott képlet a társított függvényt használja
amely a prímszámokat az elsődleges szám 1 / n-nek számított p n hatványainak összeadásával számolja . π ( x ) ekkor ebből a függvényből levezethető a
ahol μ a Möbius-függvény . A képlet ekkor válik
ahol az összeget átvesszük a zéta függvény nem triviális nulláinak ρ és hol
Az összeg nem teljesen konvergens , hanem úgy kell értékelni, hogy a nullákat képzeletbeli részeik növekvő sorrendjében vesszük. Az első tag Li függvénye a logaritmus integrálfüggvény , amelyet a divergens integrál Cauchy főértéke ad
A zéta nulláinak megfelelő Li ( x ρ ) kifejezések definíciójukban némi odafigyelést igényelnek, mert az Li függvénynek 0 és 1 ágai vannak elágazási pontokkal; őket ( x > 1 esetén) az ρ komplex változó analitikai kiterjesztésével határozzuk meg a Re (ρ)> 0 régióban, más szóval úgy kell tekintenünk, hogy egyenlőek Ei-vel (ρ ln x), ahol Ei az integrál exponenciális ). A többi kifejezés szintén nulláknak felel meg: az uralkodó Li ( x ) kifejezés az s = 1 pólusból származik, amelyet a multiplicitás nullának tekintünk, és a többi apró kifejezés triviális nullákból származik.
Ez a képlet azt állítja, hogy a zéta függvény nullái vezérlik a prímszámok „várt” helyzetük körüli oszcillációit. Riemann tudta, hogy a zéta nem triviális nullái szimmetrikusan oszlanak el az s = ½ + it tengely körül , és azt is, hogy mindannyian a kritikus sávban kell lenniük, 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1. Ellenőrizte, hogy az első nullák valójában pontosan 1/2 (ezt a pontot az alábbiakban tárgyaljuk; ez valóban demonstráció, és nem közelítő numerikus számítás), és azt javasolta, hogy ezek mind a szimmetriatengelyen (a kritikus vonalon ) lehetnek Re ( s ) = 1/2; ezt a sejtést nevezik Riemann-hipotézisnek.
1896-ban Hadamard és La Vallée-Poussin egymástól függetlenül bebizonyította, hogy a Re ( s ) = 1 vonalon nem lehet nulla és ezért minden nem triviális nullának a 0 <Re ( s ) <1 kritikus sávban kell lennie . kulcsfontosságú eredménynek bizonyult a prímszám tétel első teljes bizonyításában .
1900-ban Hilbert tartalmazza a Riemann-sejtés a híres listát 23 megoldatlan problémákat : a 8 th kérdés. Állítólag azt mondta róla: "Ha ezer év alvás után ébrednék fel, az első kérdésem az lenne: bebizonyosodott a Riemann-hipotézis?" ".
1914-ben Hardy bebizonyította, hogy a Re (s) = 1/2 kritikus vonalon nulla végtelen van. Lehetséges azonban, hogy másutt végtelen számú nem triviális nulla található. Hardy és Littlewood későbbi munkája 1921-ben, majd Selberg 1942-ben megadta a nullák átlagos sűrűségének becslését a kritikus vonalon.
Egy újabb munka középpontjában azoknak a helyeknek a kifejezett kiszámítása állt, ahol sok a nulla (az ellenpélda megtalálásának reményében), és a felső határok elhelyezésére a jobb oldalon máshol fekvő nullák aránya. nulla).
A Riemann-sejtés egyike annak a hét Hilbert problémák megoldatlanok, és szintén az egyetlen probléma Hilbert döntött, hogy megjelenik a listában a millenniumi problémák az Institute of Clay Matematikai .
A sejtés Riemann állítása alapján a függvény első nem triviális nulláinak numerikus számításai lehetővé tették annak megerősítését (az alábbi táblázatban találunk beszámolót a különféle elért eredményekről). A nyolcvanas években Andrew Odlyzko az ilyen típusú számításokra specializálódott, és így általában azt mondják, hogy az általa kiszámított másfél milliárd nulla mind igazolja a Riemann-hipotézist; azt gondolhatnánk, hogy ez csak azt jelenti, hogy elég közel vannak elhelyezve a kritikus vonalhoz (abban az értelemben, hogy a számítás pontatlansága nem teszi lehetővé annak kizárását, hogy pontosan ott lehetnek); nem az, amint látni fogjuk. Ha azonban van matematikai bizonyosság mondjuk az első nullák millióihoz, a számítások bonyolultsága (beleértve az adatfeldolgozást is) viszonylagosabbá teszi azt a bizalmat, amelyet az utolsó eredményekben lehet; ezt a kérdést gondosan elemzi Xavier Gourdon 2004 (3. oldal, pontosabban a 3.3.1. szakasz), ahol bejelenti a 10 13 első nulla (és a egymástól jóval távolabb eső statisztikai tesztek) ellenőrzésének nyilvántartását .
A numerikus ellenőrzési módszereket leggyakrabban indul a megjegyzés, amely szerint a funkció: ugyanaz nullákkal zéta a kritikus sávban, és ez igazi a kritikus vonalat (mert a függvényegyenlet fent látható összekötő és ). Ezután könnyű megmutatni legalább egy nulla létét e vonal két pontja között, numerikusan ellenőrizve, hogy ennek a függvénynek ellentétes előjelei vannak-e ebben a két pontban. A gyakorlatban, az általunk használt Hardy funkciót Z (en) , és a Riemann-Siegel funkció θ (en) , a :; sok olyan intervallum meghatározásával, amelyekben Z előjelet vált, megmutatjuk, hogy a kritikus vonalon ugyanannyi nulla létezik. A Riemann-hipotézis adott képzeletbeli T részig történő kontrollálásához továbbra is be kell bizonyítani, hogy nincsenek további nullák ebben a régióban; elegendő kiszámítani a nullák teljes számát a kérdéses régióban (a téglalap a 0,1, iT és 1 + iT csúcsokkal ), amelyet úgy tehetünk meg, hogy a maradéktételt alkalmazzuk az 1 / ζ függvényre (technikailag a probléma a lehetséges kettős nullák jelentése azt jelenti, hogy valóban használjuk a ζ '/ ζ függvényt, még akkor is, ha egy másik sejtés szerint nem létezik): mivel ennek a számnak egésznek kell lennie, a megfelelő integrális pontossága kellően numerikus számítással ad bizonyosságot. Az alábbi táblázat felsorolja az eddig elvégzett számításokat (amelyek természetesen mind megerősítették a hipotézist), és utalásokat ad az alkalmazott módszerekre.
Év | Nullák száma | Szerzők és alkalmazott módszerek |
---|---|---|
1859? | 3 | B. Riemann a Riemann-Siegel képletet használja (publikálatlan, de Siegel 1932 idézi ). |
1903 | 15 | A JP Gram 1903 az Euler-Maclaurin képletet használja, és felfedezte Gram törvényét. Megmutatja, hogy a 10 képzeletbeli rész nulla, amely kevesebb, mint 50, a kritikus vonalon van, azáltal, hogy kiszámítja a talált nullák 10. hatványának összegét. |
1914 | 79 (γ n ≤ 200) | RJ Backlund 1914 jobb szabályozási módszert vezetett be, tanulmányozva a zéta függvény S ( T ) argumentumát . |
1925 | 138 (γ n ≤ 300) | JI Hutchinson 1925 felfedezi az első kivételt Gram törvénye alól, a Gram g 126 pontján . |
1935 | 195 | Az EC Titchmarsh 1935 a most újra felfedezett Riemann-Siegel képletet használja, amely sokkal gyorsabb, mint Euler összegzési képlete: körülbelül O ( T 3/2 + ε ) lépésre van szükség a T- nél kisebb képzetes rész nulláinak teszteléséhez , míg az Euler-Maclaurin módszer körülbelül O ( T 2 + ε ) lépéseket tesz. |
1936 | 1041 | Az EC Titchmarsh 1936 és LJ Comrie utoljára kézzel számolták ki a nullákat. |
1953 | 1104 | AM Turing 1953 hatékonyabb módszert talált a kritikus vonalon kívüli nullák hiányának a T magasságig történő ellenőrzésére, ellenőrizve, hogy Z több egymást követő Gram-ponton van-e a helyes előjel, és arra a tényre, hogy S ( T ) átlagos értéke 0. Ehhez szinte nincs szükség további számításra, mert a Z jele a Gram pontjain már ismert; továbbra is ez a módszer a leggyakrabban használt. Ezt a számítást hajtotta végre először a számítógép. |
1956 | 15 000 | DH Lehmer 1956 néhány "csak" nulla esetet fedez fel a vonalon: két nulla olyan közel van, hogy nehéz jelváltozást mutatni közöttük. Ezt "Lehmer-jelenségnek" nevezik, és először a képzeletbeli 7005,063 és 7005101 nulláknál fordul elő, amelyek csak 0,04-rel térnek el, míg a többi nulla közötti átlagos eltérés ebben a régióban 1-es nagyságrendű. |
1956 | 25 000 | DH Lehmer |
1958 | 35 337 | NA Meller |
1966 | 250 000 | RS Lehman |
1968 | 3 500 000 | Rosser, Yohe és Schoenfeld 1969 kimondja a Rosser-szabályt (lásd alább). |
1977 | 40 000 000 | RP Brent |
1979 | 81 000 001 | RP Brent |
1982 | 200 000 001 | RP Brent, J. van de Lune , H. te Riele , DT Winter |
1983 | 300 000 001 | J. van de Lune, H. te Riele |
1986 | 1 500 000 001 | van de Lune, te Riele és 1986 téli statisztikai információkat közöl a nullák eloszlásáról, és meghatározza a Z több grafikonját azokon a pontokon, ahol a viselkedése váratlan. |
1987 | Néhány nulla nagy magasságban | AM Odlyzko 1987 kiszámolja, nagy pontossággal, egy sokkal kisebb nullák száma, de a magasban T nagyságrendű 10 12 , hogy teszteljék a Montgomery feltevés összefüggéseit pár nullát. |
1992 | Néhány nulla nagy magasságban | AM Odlyzko 1992 kiszámít még néhány nullát 10 20- ig terjedő magasságban , az eredmények alapos megvitatásával együtt. |
2001 | 10 000 000 000 | J. van de Lune (publikálatlan) |
2004 | 900 000 000 000 | S. Wedeniwski ( ZetaGrid ; elosztott számítástechnika) |
2004 | 10 000 000 000 000 | Xavier Gourdon 2004 és Patrick Demichel az Odlyzko-Schönhage algoritmust használja . Sokkal nagyobb magasságokban is ellenőriznek néhány nullát. |
Mivel az egyszerű megközelítések következetesen kudarcot vallottak, számos bonyolultabb támadási sort javasoltak. Először lehetséges a hipotézis átalakítása a számelmélet szempontjából; megmutatjuk például, hogy számos sejtés, mint a Mertens-sejtés , magában foglalja a Riemann-hipotézist (azt mondjuk, hogy erősebbek). Sajnos ez a megközelítés csak például Mertens sejtésének cáfolását eredményezte.
Néhány hasonló, első pillantásra általánosabb sejtés paradox módon kissé könnyebben bizonyítható. Ez a helyzet Weil sejtéseivel , amelyekben a zéta funkciót az L függvények váltják fel : Pierre Deligne 1974- ben bemutatta azokat az erőteljes algebrai geometriai eszközöket használva, amelyeket Alexandre Grothendieck fejlesztett ki , de úgy tűnik, hogy ez a technika nem alkalmazható a zéta funkció.
Egy másik szám furcsa analógiákból indul ki az ismert nullák empirikus eloszlása és egyes operátorok spektruma között; ott megint nem lehetett támadási tervet levonni belőle.
Ban ben 2019. júniusaz ígéretesnek tartott áttörés 1927-es eredményt hoz George Pólya miatt, aki a hipotézist egyes polinomok ( Jensen polinomjai ) nulláinak tulajdonságához kapcsolja ; Ken Ono , Don Zagier és két másik kutató egy teljesen új megközelítéssel bizonyítja ezt a tulajdonságot a polinomok nagy csoportja számára (azonban nem elegendő a probléma megoldására).
A Riemann-hipotézis feltételezett sok bizonyítékát rendszeresen felajánlják, főleg az interneten, valamint néhány következtetést, gyakran a hagyományos egyetemi rendszeren kívüli amatőrök, de néha hivatásos matematikusok is, de elmozdulva szakterületüktől. ezek közül a leghíresebbek Louis de Branges 2004-ben és Michael Atiyah 2018-ban köszönhetők). Ezen munkák egyike sem kapta meg a matematikai közösség jóváhagyását.
Matthew R. Watkins brit matematikus helyszíne néhány paródia mellett felsorol néhány feltételezett bizonyítékot - köztük "bizonyítékokat" arra vonatkozóan, hogy a hipotézis hamis.