Inverzió (geometria)

Ez a cikk a geometriára vonatkozó tervezet .

Megoszthatja ismereteit fejlesztésével ( hogyan? ) A megfelelő projektek ajánlásai szerint .

A geometriában az inverzió olyan transzformáció, amely megfordítja az adott pont távolságait , az inverzió középpontjának nevezik. Lényegében ez azt jelenti, hogy egy pont képe az inverzió középpontjától távolabb van, annál közelebb van a kiindulási pont.

Általános meghatározás az euklideszi affin tér összefüggésében

Legyen egy euklideszi affin tér , egy pont és egy nem nulla valós. E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}k{\ displaystyle k}

Definíció  -  A pólus és arány inverzió önmagában az alkalmazás, amely egy ponton társítja az egyedi pontot Ω{\ displaystyle \ Omega}k{\ displaystyle k}E∖{Ω}{\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ setminus \ {\ Omega \}}M{\ displaystyle M}

M′∈(ΩM){\ displaystyle M '\ in (\ Omega M)}olyan, hogy ( algebrai mérések szorzata ).ΩM¯×ΩM′¯=k{\ displaystyle {\ overline {\ Omega M}} \ szor {\ overline {\ Omega M '}} = k} A Létező és egyediségének bemutatása M′{\ displaystyle M '}

Bármely pont a vonalon , NEM{\ displaystyle N} (ΩM){\ displaystyle (\ Omega M)}

ΩM¯×ΩNEM¯=k⇔ΩNEM¯ΩM¯=kΩM2⇔ΩNEM→=kΩM2ΩM→⇔NEM=Ω+kΩM2ΩM→.{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ overline {\ Omega M}} \ times {\ overline {\ Omega N}} = k & \ Leftrightarrow {\ frac {\ overline {\ Omega N}} {\ overline { \ Omega M}}} = {\ frac {k} {\ Omega M ^ {2}}} \\ & \ Balra mutató nyíl {\ overrightarrow {\ Omega N}} = {\ frac {k} {\ Omega M ^ { 2}}} {{overrightarrow {\ Omega M}} \\ & \ Leftrightarrow N = \ Omega + {\ frac {k} {\ Omega M ^ {2}}} {\ overrightarrow {\ Omega M}}. \ vége {igazítva}}}

Tekintsük a gömb középpontját és sugarát . S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}r{\ displaystyle r}

Definíció  -  Az inverzió a pólus és az arány inverziója . S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}k=r2{\ displaystyle k = r ^ {2}}

Tulajdonságok

• A nem nulla arányú inverzió bijektív .
• Az inverzió involúció  : ez a saját kölcsönös bijekciója .
• A gömbhöz való inverzió fixen hagyja a gömb pontjait, és a belső és külső pontokat felcserélik. Az inverzió a reflexió "gömbös" változata .S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
• Az inverziós gömböt (vagy inverziós kört a síkban) a középpont és a sugár gömbjének nevezzük . Mindig globálisan invariáns , és fix ( pontról pontra invariáns ), ha az arány pozitív. A pozitív arány bármely inverziója az inverzió az inverziós szférájához képest .Ω{\ displaystyle \ Omega}|k|{\ displaystyle {\ sqrt {| k |}}}
• Az áthaladó hipersíkok globális invariánsok is.Ω{\ displaystyle \ Omega}

Az inverziók fő érdeke a hipersíkok (egyenesek) hiperszférákká (körökké) és fordítva történő átalakítása, a szögek megőrzése mellett:

Tétel  -  A középpont és a nem nulla arány bármilyen inverziója küldi: Ω{\ displaystyle \ Omega}

• hipergömbök (körök), amelyek áthaladnak (kizárva) olyan hipersíkokba (egyenesek), amelyek nem haladnak át , és fordítva;Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• nem áthaladó hiperszférák (körök)  ;Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• az önmagukon áthaladó (hiper) síkok (egyenesek) (változatlanok).Ω{\ displaystyle \ Omega}

A hiperszférákból és a hipersíkokból álló készlet tehát inverzióval stabil .

Tehát, ha a tervben , és a megfelelő képeket , és egy inverziós centrum nulla jelenteni majd , és egy egyenesbe esik akkor és csak akkor , , és ciklikus, ami a mögöttes oka a egyenlőség és a Ptolemaiosz egyenlőtlenség . NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}VS′{\ displaystyle C '}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}Ω{\ displaystyle \ Omega}NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}VS′{\ displaystyle C '}Ω{\ displaystyle \ Omega}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}

Tétel  - A  nem nulla arányú inverziók megőrzik (orientált) szögeket.

Így például két, nem áthaladó egyenes akkor és csak akkor merőleges, ha képköreik merőlegesek (két kört merőlegesnek mondunk, ha az érintkezésük a metszéspontjain így van). Ω{\ displaystyle \ Omega}

Távolságok

Ha és a megfelelő képeket , és az inverze központ reláció ( ), akkor megvan a kapcsolat a távolságok NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}Ω{\ displaystyle \ Omega}k{\ displaystyle k}≠0{\ displaystyle \ neq 0}

NÁL NÉL′B′=|k|NÁL NÉLBΩNÁL NÉL×ΩB{\ displaystyle A'B '= | k | \, {\ frac {AB} {\ Omega A \ times \ Omega B}}}. Demonstráció

Legyen és legyen egységes , hogy és . Így, u→,v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}}, {\ overrightarrow {v}}}nál nél,b>0{\ displaystyle a, b> 0}ΩNÁL NÉL→=nál nélu→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega A}} = a {\ overrightarrow {u}}}ΩB→=bv→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega B}} = b {\ overrightarrow {v}}}

NÁL NÉL′B′=‖ΩB′→-ΩNÁL NÉL′→‖=‖kv→b-ku→nál nél‖=|k|nál nélb‖nál nélv→-bu→‖=|k|ΩNÁL NÉL×ΩBNÁL NÉLB{\ displaystyle A'B '= \ bal \ | {\ overrightarrow {\ Omega B'}} - {\ overrightarrow {\ Omega A '}} \ right \ | = \ left \ | {\ frac {k {\ overrightarrow {v}}} {b}} - {\ frac {k {\ overrightarrow {u}}} {a}} \ right \ | = {\ frac {| k |} {ab}} \ left \ | a { \ overrightarrow {v}} - b {\ overrightarrow {u}} \ right \ | = {\ frac {| k |} {\ Omega A \ times \ Omega B}} AB}

mivel

‖nál nélv→-bu→‖2=nál nél2+b2-2nál nélb⟨u→,v→⟩=‖bv→-nál nélu→‖2=NÁL NÉLB2{\ displaystyle \ left \ | a {\ overrightarrow {v}} - b {\ overrightarrow {u}} \ right \ | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ langle {\ overrightarrow {u}}, {\ overrightarrow {v}} \ rangle = \ left \ | b {\ overrightarrow {v}} - a {\ overrightarrow {u}} \ right \ | ^ {2} = AB ^ {2 }}.

A tervben

Az euklideszi affin síkban

Az euklideszi affin síkban egy pont inverze felépíthető iránytűvel, ha ismerjük az inverziós kört , ami lehetővé teszi a következők bemutatását:

Mohr és Mascheroni tétele  -  Bármely vonalzót és iránytűt használó konstrukció csak iránytűvel végezhető (az egyenes részek ábráinak kivételével).

Rámutatunk arra is, hogy léteznek "inverziós gépek", a Peaucellier inverterek , amelyeket egyenes vonalú mozgás körmozgássá alakítására használnak:

Az inverter egy mechanikus tárgy, két rögzített hosszúságú OP és OQ rúddal és további 4 rögzített hosszúságú rúddal, rögzített hosszúságú MP, MQ, M'P, M'Q rúddal, a forgási pontokkal az OMPQM gyémánt csúcsain. r1{\ displaystyle r_ {1}}r2{\ displaystyle r_ {2}}

Egy pont a affin euklideszi sík és aránya , a , tudjuk építeni a geometriai inverz, a inverzió központ és aránya , a bármely pontján a korona központú , belső sugara , és a külső sugara a következő módon : O{\ displaystyle O}k=r12-r22{\ displaystyle k = r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2}}0<r2<r1{\ displaystyle 0 <r_ {2} <r_ {1}}O{\ displaystyle O}k{\ displaystyle k}O{\ displaystyle O}r1-r2{\ displaystyle r_ {1} -r_ {2}}r1+r2{\ displaystyle r_ {1} + r_ {2}}

• Az adott koronában egy pont két metszéspont, valamint a középpont és a sugár körének, valamint a közép és a sugár körének van.M{\ displaystyle M}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}O{\ displaystyle O}r1{\ displaystyle r_ {1}}M{\ displaystyle M}r2{\ displaystyle r_ {2}}
• Ezután úgy konstruáljuk az egyedi pontot , hogy az egy rombusz.M′{\ displaystyle M '}PMQM′{\ displaystyle PMQM '}
• Az alkalmazás megfelel a kívánt inverzió.M{\ displaystyle M}M′{\ displaystyle M '}

A komplex síkban

A komplex síkban egy sajátos inverzió az egységkörhöz képest; összetett ragasztás szempontjából az alkalmazás kódolja

z↦1z¯=z|z|2.{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {1} {\ overline {z}}} = {\ frac {z} {| z | ^ {2}}}.}

Így látjuk, hogy ez az inverzió a komplex ragozásból és a homográfiából áll .

Ez tulajdonképpen egy általános eredmény: egy körre vonatkozó inverzió adott, az egyik dönt, a három pontot ebben a körben, akkor az egyetlen homográfia amely elküldi rendre a . Ezután ellenőrizze, hogy a térképen , ahol jelöli a komplex ragozás, éppen a keresett inverzió, és írásban, amely egy homográfia és a komplex konjugáció következik az írás és a homográfia. z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}f{\ displaystyle f}z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}0,1,∞{\ displaystyle 0,1, \ infty}f-1∘vs.∘f{\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ c \ circ f}vs.{\ displaystyle c}f{\ displaystyle f}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}

Ezután hozzuk létre a kapcsolatot a körkörös csoporttal , amely a transzformációk halmaza, amelyet valójában meghatározunk a bonyolult projektív vonalon , és amelyek a vonalakat és köröket vonalakra és körökre küldik; a bonyolult projektív vonal és a Riemann-gömb azonosításával ez a természetvédelmi tulajdonság egyszerűbben kifejeződik: az erre a gömbre rajzolt körök konzerválódnak. Világos, hogy az inverziók a körkörös csoportba tartoznak; és viszonylag egyszerűen kimutatható, hogy a homográfiáknál is ugyanaz. Ezután megmutathatjuk, hogy valójában a körcsoportot inverziók és homográfiák generálják.

Anallagmatikus geometria

Az anallagmatikus geometria az a tanulmány (az Erlangen programban meghatározottak szerint ), amelynek geometriája az invariánsok csoportja a körkörös csoport  ; Möbius geometria , vagy (térben) konform geometria  (en) néven is ismert .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Möbius-átalakulás
• Hart Inverter

Külső linkek

• "  Inverzió és tulajdonságai a Math Weben, a 7 kör tétel, Ptolemaiosz és Hart inverterének bizonyításával  "
• Inverzió a BibM @ th-on
• Körök megfordítása a GeoGebra segítségével
• Xavier Hubaut: „  Nemlineáris átalakulás?  » , A másodlagos matematikáról
• Xavier Hubaut, „  Körök és egyenesek  ” , a középiskolai matematikáról
• Hamza Khelif, "  A kúpos inverzióról  " , a matematika képeiről ,2016. június
• Görbe megfordítása a MathCurve-on.

Bibliográfia

• Michèle Audin , geometria , EDP ​​tudományok ,2006, 3 e  . , 428  p. ( ISBN  978-2-7598-0180-0 , online olvasás )
• Marcel Berger , Geometria [ a kiadások részlete ]( 1. kötet)
• Jean-Denis Eiden, Klasszikus analitikai geometria , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• Kis matematika-enciklopédia , Didier
• Jean Fresnel, Modern módszerek a geometriában
• D. Lehmann és Rudolf Bkouche , Initiation à la géometry , PUF , 1988 ( ISBN  978-2-13-040160-5 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">