A Weierstrass funkciója

A Weierstrass függvény , más néven Weierstrass-Hardy függvény , 1872-ben volt az első publikált példa egy valódi változó valódi függvényére, amely mindenhol folyamatos, de sehol sem differenciálható . Tartozunk Karl Weierstrassnak és Leopold Kroneckernek  ; a hipotéziseket G. H. Hardy javította .

Építkezés

Ez tulajdonképpen egy családi funkciók függően két paraméter határozza meg, mint az összeg a trigonometrikus sor szerint:

fnál nél,b(x)=∑nem=0∞nál nélnemkötözősaláta⁡(bnemπx){\ displaystyle f_ {a, b} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}

fnál nél,b{\ displaystyle f_ {a, b}}van folyamatos számára , (egyenletes konvergencia a sorozat a funkciók, a Weierstrass kritérium ). Ez utóbbi azt is feltételezte, hogy b páratlan egész számellenőrzés bizonyítja a különbségtételt bármely ponton. 0<nál nél<1{\ displaystyle 0 <a <1}R{\ displaystyle \ mathbb {R}} nál nélb>1+32π{\ displaystyle ab> 1 + {\ frac {3} {2}} \ pi}

Hardy ekkor bebizonyította, hogy a hipotézis elegendő ahhoz, hogy ne legyen megkülönböztethető egyetlen pillanatban sem, de a bizonyítás érezhetően nehezebb. Egyszerűsíthetjük bemutatását az ügyben . nál nélb⩾1{\ displaystyle ab \ geqslant 1}nál nélb>1{\ displaystyle ab> 1}

Ezzel szemben bármely egész szám osztálya olyan , hogy . fnál nél,b{\ displaystyle f_ {a, b}}VSk{\ displaystyle C ^ {k}}k{\ displaystyle k}nál nélbk<1{\ displaystyle ab ^ {k} <1}

A függvénydiagram fraktál karaktere

A Weierstrass függvény az egyik legelső tanulmányozott fraktál , bár ezt a kifejezést csak jóval később használták. Különösen ez a folyamatos funkció egyáltalán nem monoton, bármennyire is kicsi. nál nélb⩾1{\ displaystyle ab \ geqslant 1}

A számítás a Hausdorff dimenzió D az a grafikont a Weierstrass funkciója maradt nyitott kérdés 2017-ig , bár Mandelbrot sejtette, hogy  ; ezt Gerhard Keller és kínai Weixiao Shen (in) német matematikusok 30 évvel később önállóan bizonyították . D=2+naplób⁡nál nél=2+ln⁡nál nélln⁡b{\ displaystyle D = 2 + \ log _ {b} a = 2 + {\ frac {\ ln a} {\ ln b}}} 

Azonban a Minkowski-Bouligand dimenzió (Hausdorffhoz közel álló fogalom, amelyet úgy kapunk, hogy az átfedéseket diszjunkt négyzetekkel számoljuk lemezek helyett), már az 1980-as évek óta ismert volt, és ma már tudjuk, hogy a kettő egyenlő.

Hölderi folytonosság

Kényelmes a Weierstrass függvényt ekvivalens módon megírni a következő formában:

Wα(x)=∑nem=0∞b-nemαkötözősaláta⁡(bnemπx){\ displaystyle W _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b ^ {- n \ alpha} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}

α=-ln⁡nál nél/ln⁡b{\ displaystyle \ alpha = - \ ln a / \ ln b}

Ekkor van α- Hölderian , vagyis létezik olyan állandó , hogy Wα{\ displaystyle W _ {\ alpha}}VS{\ displaystyle C}

∀x,y |Wα(x)-Wα(y)|≤VS|x-y|α{\ displaystyle \ forall x, y \ | W _ {\ alpha} (x) -W _ {\ alpha} (y) | \ leq C | xy | ^ {\ alpha}}

Ráadásul (ezért for ) Hölderian minden rendnél <1, de nem Lipschitzian, ebben az esetben szinte mindenhol differenciálható lett volna ( Rademacher-tétel ). W1{\ displaystyle W_ {1}}nál nélb=1{\ displaystyle ab = 1}

Hivatkozások

1. (de) K. Weierstrass, „Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen”, gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am. 1872. július 18., Karl Weierstrass, Mathematische Werke, Abhandlungen II , Berlin, Mayer & Müller, 1895, p.  71-74 .
2. (en) GH Hardy, „  Weierstrass nem differenciálható funkciója  ” , ford. Keserű. Math. Soc. , vol.  17,1916, P.  301-325 ( online olvasás ).
3. A. Baouche és S. Dubuc, „  A nem-derivability a Weierstrass funkció  ”, L'Enseignement mathématique , vol.  38,1992, P.  89–94 ( online olvasás ).
4. (in) Kenneth Falconer  (in) , Fractal Sets geometriája , Cambridge, Cambridge University Press ,1985, 114., 149.  o..
5. (in) Brian R. Hunt, "  A halmaz grafikonok Weierstrass funkciók  " , Proc. AMS , vol.  126, n o  3,1998, P.  791-800 ( online olvasás ).
6. (in) Weixiao Shen , "  A klasszikus Weierstrass-függvények grafikonjainak Hausdorff-dimenziója  " , Mathematische Zeitschrift , vol.  289, n csont  1-2,2018, P.  223-266 ( DOI  10.1007 / s00209-017-1949-1 , arXiv  1505.03986 , online olvasás ).
7. Roger Mansuy, "  Fraktálok: az ördög a részletekben van  " , a La Recherche-n ,2019 április.
8. (in) A. Zygmund , Trigonometric Series Vol. I., II. , Cambridge Mathematical Library,2002, 3 e  . ( 1 st  ed. 1935), 747  p. ( ISBN  978-0-521-89053-3 , online olvasás ) , p.  47.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Folyamatos függvény sehol sem levezethető  : részletes cikk történelmi szempontból és további példák.
• Trigonometrikus sorozat
• Szinte periodikus funkció

Külső hivatkozás

• „  Weierstrass funkció  ” , a www.desmos.com/calculator webhelyen

Bibliográfia