A valódi funkciója valós változó jelentése differenciálható egy pontban egy , ha elismeri a véges -származék át egy , azaz, ösztönösen, mikor lehet közelíteni egy viszonylag finom módon egy affin függvény a környéken az egy . A tényleges nyitott, nem üres intervallumon keresztül levezethető, ha a tartomány minden pontján megkülönböztethető. Differenciálható egy zárt és behatárolt valós intervallumon (vagyis egy valós szegmensen ), amelyet nem redukálunk egy pontra, ha ez az intervallum belsejében differenciálható és a bal oldalán levő jobb oldalon levezethető, a bal oldalán pedig differenciálható jobb terminálján.
A levezethetőséget általában kétféleképpen mutatják be:
A differenciálhatóság magában foglalja a folytonosságot : gyakorlatilag egy olyan ponton, amely nincs elkülönítve a függvény meghatározásának területétől, a folytonosság szükséges előfeltétel ahhoz, hogy ezen a ponton tanulmányozni lehessen a differenciálhatóságot; ha tudjuk, hogy a függvény egy ponton megkülönböztethető, akkor tudjuk, hogy ezen a ponton (korábban) folytonos. De fordítva téves, amint az alábbi példák mutatják.
A C 1 függvényosztály nem üres valós intervallumon, és nem egy pontra redukálva ( ezt az intervallumot "nem triviálisnak " nevezzük ) differenciálható függvények, amelyek funkcionális folytonos első deriváltak ezen az intervallumon. A differenciálhatóság elképzelhető a valós változó függvényei számára is, normalizált vektortérben lévő értékekkel . Van egy fogalom a komplex változó függvényei közötti differenciálhatóságról is, de e funkciók tulajdonságai nagyon specifikusak, és a holomorf funkciók tanulmányozásához vezetnek .
Hagyja az f egy függvény, mint egy nem-triviális intervallum I az ℝ és értékek ℝ és hagyja, hogy egy legyen eleme I , azt mondjuk, hogy az f jelentése differenciálható az a , ha az alábbi négy egyenértékű nyilatkozatok tart:
Az első és a második állítás ekvivalens: elegendő az x = a + h beállítását . A harmadik állítás egyenértékű a másik kettővel, és az ℓ 1 , ℓ 2 és ℓ 3 valós számok megegyeznek; szemlélteti, mit jelent az, hogy a funkciót „elég finoman” affin függvényként közelítjük meg.
A negyedik állításban az érintő meredeksége megfelel az ℓ 1 , ℓ 2 és ℓ 3 számoknak ; ez a szám származik a f a a . Vannak olyan funkciók, amelynek képviselője görbe elismeri egy érintőjének egy anélkül, hogy a funkciót, hogy differenciálható egy : elegendő, hogy az érintő a görbe párhuzamos az y-tengely.
Legyen f az I intervallumon definiált függvény, amely [ a , t ] alakú intervallumot tartalmaz , ahol t ≠ a , azt mondjuk, hogy f jobb oldalon differenciálható az a-ban , ha f korlátozása az [ a , t ] intervallumra levezethető a . Ezután jelöljük a származékot egy e korlátozás, és hívjuk a számot származó függvény f az a jobb. Annak abszcisszán ponton egy , a görbe képviselője f elismeri egy jobb fél-tangens , nem párhuzamos az ordináta tengelyen.
Mi határozza meg, ugyanúgy, ahogy a derivability a bal oldalon a egy a derivability meg a korlátozás az f egy intervallumba [ t , a ].
Egy differenciálható függvény azt jelenti, annál is inkább , differenciálható jobb és bal is , ha egy olyan belső pontja az intervallum I . Egy függvény levezethető jobb és bal oldalon az a-ban anélkül, hogy levezethető lenne az a-ban . Ha egy olyan belső pontja az intervallum I , f differenciálható az egy akkor és csak akkor, ha differenciálható a bal és a jobb oldalon egy a .
Tehát a függvények vagy a jobb és a bal oldalon levezethetők 0-ban anélkül, hogy levezethetők lennének 0-ban, mert a 0-ban lévő bal és jobb oldali származékok eltérőek.
Egy függvény differenciálható egy szükségszerűen folytonos egy . A függvény levezethetőségét ezért csak azokon a pontokon keresik, ahol a függvény már folyamatos.
Fordítva ez az állítás hamis: léteznek funkciókat, amelyek folytonos egy , de nem differenciálható ezen a ponton. Így az abszolút értékfüggvény 0-nál folytonos, de ezen a ponton nem differenciálható. A négyzetgyök függvény 0-nél folytonos, görbéjének érintője van a nulla abszcissza pontján, de a függvény 0-nál nem differenciálható. Végül az x ↦ x sin (1 / x ) függvényt a folytonosság kiterjeszti 0-nál, de a a folytatás 0-ban nem levezethető. Még folyamatos függvények is vannak sehol .
Egy függvény levezethetők a jobb (rendre a bal oldalon) a egy folytonos a jobb (rendre a bal oldalon) ezen a ponton.
Összeg, szorzat : Ha f és g két olyan függvény, amelyet egy nem triviális I intervallumon definiálunk és megkülönböztethetünk egy I elemben , akkor az f + g , λ • f (bármely valós λ esetén) és f × g függvények szintén megkülönböztethető a . Az I-nél megkülönböztethető függvények halmaza , amely két belső összetételi törvény + és × (valamint a külső operációs tényezők) valós operátorokkal van (korlátozásai) , ezután az I-n lévő folyamatos függvények algebrájának alalgebrája .
Inverz : Ha f egy határozott és nem nulla funkciót, mint egy nem-triviális intervallum I és differenciálható egy , eleme I , majd az inverze 1 / f is differenciálható egy .
Vegyület : Ha I és J két nem triviális intervallum, ha f- et definiálunk I- re J értékekkel és ha g J-re van definiálva (és valós értékekkel), ha f differenciálható az I egyik elemében , és ha g differenciálható f ( a ) -ban, akkor a g ∘ f vegyület differenciálható az a-ban .
Kölcsönös : Ha f folyamatos és szigorúan monoton valós értékű térkép a nem triviális I intervallumon , akkor tudjuk ( bijection tétel ), hogy az F intervallumot az I intervallumtól a J = f ( I ) intervallumig indukálja ( közvetlen kép intervallum az I alkalmazásával f ); ha egyébként F , tehát F , differenciálható át egy , eleme I , és a nem nulla származék egy , akkor a kölcsönös bijekciót az F , a térkép F -1 , differenciálható a F ( a ).
Az előző tételben a folyamatos, szigorúan monoton funkció felvételének ténye biztosítja a bijekciós tétel folytonos reciprok bijekciójának létezését. Azt is láthatjuk, gyengébb változatai ezt a tételt: ha f egy bijekciót ettől én a J differenciálható egy nem-nulla származék egy , és ha reciproka f folytonos az f ( a ), akkor differenciálható f ( a ).
Az alábbi tétel néha „származék határeloszlástételt” vagy „tétel a kiterjesztése egy differenciálható függvény”: ha f folytonos I és differenciálható I \ { a }, és ha f ' van egy valós korlátot ℓ a egy , akkor F differenciálható a és f ' ( a ) = ℓ. Ez a tulajdonság a véges inkrementum tétel közvetlen következménye . Ebben a formában szokták hivatkozni a tulajdonságra, de vannak erősebb verziók is, ahol a kezdeti feltételek kevésbé korlátozóak, így:
Ezek a kiterjesztési tételek nagyon hasznosak abban az esetben, ha a működési szabályok lehetővé teszik egy származék meghatározását, csak egy ponton kívül.
A konvex függvény egy nyílt intervallum differenciálható a jobb és a bal bármely pontján, és a pontok halmaza, ahol a származék a jobb eltér a származékos a bal oldalon legfeljebb megszámlálható .
Az I intervallumon át eső monoton funkció szinte mindenhol megkülönböztethető . Ezt a tételt Henri-Léon Lebesgue-nek tulajdonítják . A folyamatos monoton funkcióhoz viszonylag megfizethető demonstráció van . Megmutatva, hogy az ugrásfüggvénynek szinte mindenhol nulla származéka van, levezetjük az eredményt bármely monoton függvényre, és különbség szerint egy korlátozott variációjú függvényre (lásd alább). Szinte mindenhol használhatjuk a függvények levezethetőségét korlátozott variációval, mert a monoton függvény a korlátozott variáció.
Azt mondjuk, hogy f a k -lipschitzian Egy intervallumon I ha
Az I k-i lipchitz függvény szinte mindenhol megkülönböztethető. Erre a tulajdonságra arra lehet következtetni, hogy egy k -lipchitz függvény korlátozta a variációt, de egyszerűbben felhasználhatjuk azt a tényt, hogy az x ↦ f ( x ) - kx függvény folyamatosan monoton csökken.
Ez a tulajdonság egy általánosabb tétel sajátos esete, amely a nyílt set n halmaz ℝ m-es Lipschitz-féle térképeire vonatkozik : Rademacher-tétel .
A korlátozott variációjú funkció szinte mindenhol megkülönböztethető.
Ez a tétel felöleli a Lipschitz-függvények és a monoton funkciók speciális eseteit. Ez érvényes a realok halmazában szereplő értékekkel rendelkező függvényekre, de a valós változók azon funkcióira is, amelyek értéke a komplexek halmazában található.
A n- szer differenciálható függvény meghatározása indukcióval történik:
Ezek a függvények bármilyen valós intervallumon megkülönböztethetők, ahol meg vannak határozva:
Ezek a funkciók megkülönböztethetők, kivéve a "kivételes" készletet:
A következő funkciók nem különböztethetők meg a on eszközön :
A négyzet alakú hullám (kék) határozatlan (piros) integrálja folyamatos, de nem differenciálható.
Az egész rész (kék) határozatlan integrálja (piros) folyamatos, de nem differenciálható.
Az x ↦ x sin (1 / x ) függvény folytonos 0-ban, de nem differenciálható sem bal, sem jobb oldalon.
A meghatározás kiterjed az ℝ n értékű függvényekre, vagy általánosabban a normalizált vektortérben . Vagy I egy tartomány, amelyet nem redukáltunk egy pontra, és f az I- ben definiált függvény az E normált térvektor értékeivel . Van egy része azt . Az f függvény differenciálható a-ban , ha az E-ben létezik határ .
Ugyanígy találjuk meg a jobb és a bal oldali levezethetőség definícióját, hogy az a tény, hogy a bal és a jobb oldalon differenciálható függvény az a-ban , és amelynek bal oldali származéka egybeesik a jobb oldali származékkal, a .
A levezethetőség kompatibilis a függvények összegével és a valósal való szorzással. A beállított funkciók meghatározni azt , értékeiket E és differenciálható egy lineáris altér minden funkcióját meghatározni azt az értékek E .
Van egy n- szer differenciálható függvény fogalma is .
A kiterjesztés tételek is léteznek: egy folytonos függvény I differenciálható I \ { a }, és amelynek a származékoknak a határérték egy differenciálható át egy (még azt is kielégíthető egy olyan funkciója differenciálható a jobb oldalon). Ahhoz azonban, hogy megerősítik, hogy semmilyen funkciót meghatározott és differenciálható] egy , b ], amelynek a származékoknak a határérték egy , ki lehet terjeszteni egy függvény differenciálható a jobbra egy , az szükséges, hogy a vektor térben E , bármilyen Cauchy szekvencia konvergál. A kiterjesztés tételének ez a változata tehát csak akkor érvényes, ha E egy Banach-szóköz .
Még mindig ugyanúgy definiáljuk a függvény különbségét ℂ-től ℂ-ig. Hagyja az f függvény definiált nyílt U a ℂ értékeiket ℂ, és van egy eleme u . Az f függvény differenciálható az a-ban, ha létezik.
Kiderült, hogy a helyzet mélyen eltér a valóságtól, lásd a komplex elemzést .
A ℂ in ℂ függvénye a in 2 in ℝ 2 függvényének tekinthető . Csak akkor differenciálható a = x + i y-nél, ha ( x , y ) -nél differenciálható , és ha a parciális különbségek ezen a ponton igazolják az egyenlőséget Ha f = u + i v-vel jelöljük, ahol u és v functions 2 függvényei ℝ-ben, akkor az utolsó egyenlőség a következő kettős egyenlőséget eredményezi
Meghatározhatjuk ℂ függvényeinek levezethetőségét az E on vector normált vektorterében is .
A deriválhatóságnak vannak más definíciói, amelyek lehetővé teszik a differenciálható függvények halmazának kiterjesztését vagy korlátozását. Ezeknek az új származékoknak a tulajdonságai az esettől függően gyengébbek vagy erősebbek.
Hagyja az f egy függvény egy nyílt intervallum I , és az egy pont a I , azt mondjuk, hogy f differenciálható szerint Schwarz az egy , ha létezik egy igazi f s ( a ) úgy, hogy Ez a valós nevezik szimmetrikus származéka f at egy .
Egy differenciálható függvény Schwarz szerint mindig differenciálható és a szimmetrikus származék megfelel a klasszikus deriváltnak, de fordítva hamis. Így az abszolút értékfüggvény Schwarz szerint 0-ban differenciálható a null szimmetrikus deriváltnál, míg a klasszikus definíciónál 0-ban nem származtatható. Nem is szükséges, hogy a függvény folytonos legyen 0-nál, hogy megkülönböztethető legyen Schwarz szerint.
Ha a funkció f folytonos I és ha f s folytonos meg egy akkor f differenciálható a egy .
Egy folytonos függvény I , hogy létezik egy pozitív szimmetrikus származék elég azt mondani, hogy f növekszik, és létezik egy folyamatosan nulla szimmetrikus származék elég annak bizonyítására, hogy az f konstans.
Ezt a levezethetőség fogalmát 1892-ben javasolta Giuseppe Peano , aki közelebb találta a fizikában használt eszközhöz, és aki a matematikában részesítette előnyben, mert erősebb eredményeket vált ki.
Legyen f egy valós függvény, amelyet egy nyitott A-n definiálnak, és amelynek valósja van. Az f függvény erősen differenciálható vagy szigorúan differenciálható a-ban , ha létezik olyan valós f * ( a ), amely
Hogy a funkció szigorúan differenciálható egy differenciálható meg egy , és az erős-származék azonos a klasszikus-származék, de léteznek származtatható funkciók, amelyek nem erősen differenciálható. Ilyen például az f ( x ) = x 2 sin (1 / x ) függvény, amelyet a folytonosság a 0-ban kibővített az f (0) = 0 beállításával, amely 0-nál differenciálható, de ezen a ponton nem erősen differenciálható.
Ha az f függvény folyamatosan differenciálható a-ban , akkor erősen megkülönböztethető a-ban , de vannak erősen differenciálható függvények abban , amelynek a deriváltja az a-ban nem folyamatos. Ha f nyíltan erősen differenciálható, akkor ugyanazon a nyíláson folyamatosan differenciálható.