Derékszögű koordináták

A derékszögű koordináta-rendszer lehetővé teszi, hogy meghatározza a helyzetét egy pont egy affin tér ( vonal , sík , tér dimenziója 3 , stb), amely egy derékszögű koordináta-rendszerben . A derékszögű szó René Descartes francia matematikustól és filozófustól származik .

Vannak más koordinátarendszerek is, amelyek egy pontot a síkban vagy az űrben keresnek.

Abscissa affin vonalon

Egy affin vonalon a koordinátarendszer a következők adatai: D{\ displaystyle D}

• eredet , vagyis egy pont, amelyet megkülönböztetnek  ;O{\ displaystyle O}D{\ displaystyle D}
• egy vektor a irányító vektor vonalat . Ez a vektor két információt hordoz: v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}D→{\ displaystyle {\ vec {D}}}
  • orientáció: egy pont attól jobbra van, amikor a vektor pozitívan kollináris  ;NÁL NÉL{\ displaystyle A}O{\ displaystyle O}ONÁL NÉL→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
  • egység: egy pont a távolság , amikor .NÁL NÉL{\ displaystyle A}r{\ displaystyle r}O{\ displaystyle O}ONÁL NÉL→=±r⋅v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = \ pm r \ cdot {\ vec {v}}}

Ebben az esetben az x-tengelyen a lényeg az egyetlen igazi , mint például: . M{\ displaystyle M} r{\ displaystyle r}OM→=r⋅v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = r \ cdot {\ vec {v}}}

Van tehát egy lehetséges pontjai között egy affin vonal és a valós számok halmaza.

Megjegyzés: Vannak nem szabályos fokozatrendszerek, de a koordinátarendszert már nem hívják derékszögűnek (lásd logaritmikus skála ).

Derékszögű koordináták a síkban

Egy affin síkon , derékszögű koordinátákkal vitathatatlanul a legtermészetesebb módja, hogy meghatározzák a koordináta-rendszerben . Az affin sík koordinátarendszere (derékszögű) a következők közös adatai: P{\ displaystyle P}

• kiindulási pont .O{\ displaystyle O}
• két vektor és nem a fő vektorsík kollineáris .én→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}

A koordinátatengelyek az affin vonalak és . Ezek a vonalak beismerik a megfelelő osztást, valamint a vektorok és . (Ox)=(O,én→){\ displaystyle (Ox) = (O, {\ vec {i}})}(Oy)=(O,j→){\ displaystyle (Oy) = (O, {\ vec {j}})}O{\ displaystyle O}én→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}

Egy ponton jogunk van felhívni: M{\ displaystyle M}

• egy olyan vonal, amely párhuzamos, amely a referenciában elvágja az abszcisszát(Oy){\ displaystyle (Oy)}(Ox){\ displaystyle (Ox)}mx{\ displaystyle m_ {x}}x{\ displaystyle x}(O,én→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}})}
• egy olyan vonal, amely párhuzamos, amely a referenciában elvágja az abszcisszát .(Ox){\ displaystyle (Ox)}(Oy){\ displaystyle (Oy)}my{\ displaystyle m_ {y}}y{\ displaystyle y}(O,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {j}})}

A pár a valós számok csak határozza meg azt a pontot , ez az úgynevezett koordinátáit az a referenciakeret  : (x,y){\ displaystyle (x, y)}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}(O;én→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}

• Az igazi neve abszcissza az  ;x{\ displaystyle x}M{\ displaystyle M}
• Az igazi neve az ordináta az .y{\ displaystyle y}M{\ displaystyle M}

Kölcsönösen bármely párnak megegyezik az abszcissza és a koordináta koordinátáinak egyetlen pontja . Ez a következő két vonal metszéspontja: (x,y){\ displaystyle (x, y)}M{\ displaystyle M}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}

• Az abszcissza pontján áthaladó párhuzamos egyenes  ;(Ox){\ displaystyle (Ox)}(Oy){\ displaystyle (Oy)}y{\ displaystyle y}
• Az abszcissza pontján áthaladó párhuzamos egyenes .(Oy){\ displaystyle (Oy)}(Ox){\ displaystyle (Ox)}x{\ displaystyle x}

Ez a konstrukció lehet értelmezni, mint a létesítmény egy paralelogramma csúcsok és . O{\ displaystyle O}M{\ displaystyle M}

Vektoros értelemben a következő identitást kapjuk:

OM→=xén→+yj→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}

Mi teszi lehetővé a koordinátákon végzett számítás és a vektoros számítás közötti megfeleltetést.

Ortonormális alap esete

Az ortonormális bázisoknak csak az euklideszi affin síkokban van jelentése . Egy affin euklideszi síkban az alap ortonormálisnak mondható, ha a vektorok és egyrészt 1-es hosszúságúak (az 1. norma normái), másrészt ortogonálisak, vagyis a két vektor skaláris szorzata nem. (O;én→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}én→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}

Más szavakkal, a koordinátatengelyek két ortogonális affin vonal, azonos fokozatrendszerrel.

Ebben az esetben a távolságokat és az ortogonalitásokat a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki . Itt van egy űrlap:

• Egy koordináta pont , a távolság írva:M{\ displaystyle M}(x,y){\ displaystyle (x, y)}OM{\ displaystyle OM}

OM=x2+y2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} A táblázatban a jobb rajz került ortonormált koordináta pontok koordinátáit és koordinátákat . A távolság kiszámítása ekkor: NÁL NÉL{\ displaystyle A}(1,1){\ displaystyle (1,1)}B{\ displaystyle B}(4,5.){\ displaystyle (4,5)}NÁL NÉLB{\ displaystyle AB}NÁL NÉLB=(4-1)2+(5.-1)2=5.{\ displaystyle AB = {\ sqrt {(4-1) ^ {2} + (5-1) ^ {2}}} = 5}

• A vektorok és akkor és csak akkor derékszögűek .u→(x,y){\ displaystyle {\ vec {u}} (x, y)}v→(x,Y){\ displaystyle {\ vec {vb}} (X, Y)}xx+yY=0{\ displaystyle xX + yY = 0}

Mivel a távolságok és szögek kiszámítása gyakran az euklideszi síkgeometria egyik célja, az ortonormális referenciajelek különösen előnyösek. Olyannyira, hogy egyes munkák a derékszögű koordináták kifejezést fenntartják az ilyen típusú koordinátarendszerhez, a többi koordinátát ferde koordinátának hívják .

Derékszögű koordináták az űrben

A konstrukció elve ugyanaz lesz. A 3. dimenzió affin térében a koordinátarendszer (derékszögű) a következők közös adatai: E{\ displaystyle E}

• kiindulási pont ,O{\ displaystyle O}
• és három vektor nem koplanáris , és .én→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

A koordinátatengelyek az egyidejű affin vonalak , és . (Ox)=(O;én→){\ displaystyle (Ox) = (O; {\ vec {i}})}(Oy)=(O;j→){\ displaystyle (Oy) = (O; {\ vec {j}})}(Oz)=(O;k→){\ displaystyle (Oz) = (O; {\ vec {k}})}

Egy pontra jogosultak vagyunk felhívni: M{\ displaystyle M}

• az abszcisszára vágó síkkal párhuzamos sík ,Oyz{\ displaystyle Oyz}Ox{\ displaystyle Ox}mx{\ displaystyle m_ {x}}x{\ displaystyle x}
• az abszcisszára vágó síkkal párhuzamos sík ,Oxz{\ displaystyle Oxz}Oy{\ displaystyle Oy}my{\ displaystyle m_ {y}}y{\ displaystyle y}
• az abszcisszára vágó síkkal párhuzamos sík .Oxy{\ displaystyle Oxy}Oz{\ displaystyle Oz}mz{\ displaystyle m_ {z}}z{\ displaystyle z}

A valós számok hármasát csak a pont helyzete határozza meg . Ezt nevezik a koordináták (derékszögű) az a keretben  : (x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}(O;én→,j→,k→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}

• az igazit abszcisszának hívják .x{\ displaystyle x}
• a valóságot ordinátának vagy mélységnek nevezzük .y{\ displaystyle y}
• a valóságot dimenziónak vagy magasságnak nevezzük .z{\ displaystyle z}

Ezzel szemben minden triplett valós számok megfelel egy egységes pont abszcissza , ordináta és dimenzió . Ezt a pontot metszéspontként kapjuk meg: (x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}M{\ displaystyle M}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}

• A sík párhuzamos síkban áthaladó pont abszcissza ,Oyz{\ displaystyle Oyz}Ox{\ displaystyle Ox}x{\ displaystyle x}
• A sík párhuzamos síkban áthaladó pont abszcissza ésOxz{\ displaystyle Oxz}Oy{\ displaystyle Oy}y{\ displaystyle y}
• az abszcissza pontján áthaladó síkkal párhuzamos sík .Oxy{\ displaystyle Oxy}Oz{\ displaystyle Oz}z{\ displaystyle z}

Ez a három sík, valamint a három alap sík , és felhívni a téglatest. Oxy{\ displaystyle Oxy}Oxz{\ displaystyle Oxz}Oyz{\ displaystyle Oyz}

Bármely pont és minden valós szám hármasa között egy az egyben megfelelés van, amelyet akkor koordinátarendszernek nevezünk . M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}

Mint a síkban, ezeket a koordinátákat is újraértelmezzük vektoros írás útján:

OM→=xén→+yj→+zk→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}}}

Orthonormális tereptárgyak

Az euklideszi affin tér dimenziója 3, a marker mondják ortonormált , ha a vektorok , és egységesek és páronként merőleges. Ez a második feltétel írva: (O;én→,j→,k→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}én→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

⟨én∣j⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {i} \ mid \ mathbf {j} \ rangle = 0} ;  ;⟨j∣k⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {j} \ mid \ mathbf {k} \ rangle = 0}⟨k∣én⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {k} \ mid \ mathbf {i} \ rangle = 0}

A síkhoz hasonlóan ortonormális koordinátarendszert kell készíteni, ha távolságokon és szögeken akar dolgozni. Ezután a távolságot felírják:

OM=x2+y2+z2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

Derékszögű koordináták az n dimenzióban

Az előző megfigyelések lehetővé teszik, hogy kapcsolatot észleljünk a valós számok vagy hármasok és a sík vagy a tér vektorai között. Ez a kapcsolat általánosítható a K test bármely vektorterére vagy affin dimenziójára .

Ha a K mező vektorterének alapja, akkor bármely vektor esetében létezik K n egyedi n -tulajdonságú elem  , amely: (e1→,e2→,...,enem→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, \ pontok, {\ vec {e_ {n}}})}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}(x1,x2,...,xnem){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ pontok, x_ {n}) \,}

v→=x1e1→+x2e2→+⋯+xnemenem→{\ displaystyle {\ vec {v}} = x_ {1} {\ vec {e_ {1}}} + x_ {2} {\ vec {e_ {2}}} + \ pont + x_ {n} {\ vec {e_ {n}}} \,} .

Ezt az n -tupulust az adatbázis vektor derékszögű koordinátarendszerének nevezzük ). Az egyes vektorok és az n- upletek közötti megfelelés lehetővé teszi a V és K n közötti vektorterek izomorfizmusának felépítését . v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}(e1→,e2→,...,enem→{\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, \ pontok, {\ vec {e_ {n}}}}

A pontok koordinátarendszerein való munkavégzéshez elegendő hozzáadni az előző bázishoz egy O pontot, amelyet origónak hívunk. Az M pont koordinátái a vektoréi . OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}}}

Végül a távolságok megtervezéséhez ortonormális alapot kell építeni (amelyben az összes vektor az 1. norma, és mindegyik vektor merőleges az összes többi vektorra). Az OM távolságot ezután a következő formában fejezzük ki:

OM=x12+x22+⋯+xnem2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ pontok + x_ {n} ^ {2}}} \,}

Kinematika az űrben

A kinematikai mennyiségeket, helyzetet, sebességet és gyorsulást a következők adják meg:

OM→=xux→+yuy→+zuz→OM→˙=x˙ux→+y˙uy→+z˙uz→OM→¨=x¨ux→+y¨uy→+z¨uz→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ overrightarrow {OM}} & = x {\ overrightarrow {u_ {x}}} + y {\ overrightarrow {u_ {y}}} + z {\ overrightarrow {u_ {z }}} \\ {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ dot {x}} {\ overrightarrow {u_ {x}}} + {\ dot {y}} {\ overrightarrow {u_ {y }}} + {\ dot {z}} {\ overrightarrow {u_ {z}}} \\ {\ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ ddot {x}} {\ overrightarrow {u_ {x }}} + {\ ddot {y}} {\ overrightarrow {u_ {y}}} + {\ ddot {z}} {\ overrightarrow {u_ {z}}} \\\ end {aligned}}}

Derékszögű koordináták a tér-időben

A derékszögű koordinátákat Descartes képzelte el a XVII .  Században, és később a newtoni mechanikában széles körben alkalmazták a fizikai tér három dimenzióban történő leírására (gyakran x , y , z betűkkel szimbolizálva ). A különleges relativitáselmélet valódi tudományos forradalom volt , és az 1900-as években arra késztette a tudósokat, mint Henri Poincaré és Hermann Minkowski, hogy a teret és az időt elválaszthatatlanul összekapcsolják, az úgynevezett tér-időben , amelyet a Minkowski-tér fogalma elméleti alapon alkot . A tér három dimenziójához tehát hozzáadódik az idő negyedik dimenziója .

Ebben az elméletben Minkowski a tér-idő egyszerűsített ábrázolását használja a derékszögű koordinátákban, a Minkowski-diagramot , a tér egy dimenziójával és az idő dimenziójával (amelyet ct jelképez , ahol c a fény sebessége és a t idő). olyan jelenségek esetében, mint az idő tágulása , a hosszúság összehúzódása vagy az egyidejűség fogalma matematikai egyenlet használata nélkül .

Descartes történeti bevezetése

A derékszögű koordináták bevezetését René Descartes első geometriai könyvében eszközként alkalmazzák a Pappus-probléma megoldására. Ebben a könyvben valójában megmutatja, hogyan lehet megoldani a geometriai problémát algebrai számítással, részt véve az analitikai geometria megszületésében .

„Nevezzük az AB egyenes szakaszát, amely az A és B pont között van, nevezzük x-nek; és hogy Kr. e. és hogy az összes többi megadott vonal meghosszabbításra kerül, amíg szükségessé válik, és ha nem párhuzamosak velük, keresztezik e kettőt; amint itt láthatja, hogy az A, E, G és BC pontokban az R, S, T. pontokban keresztezik az AB egyeneset. (...) "

- René Descartes, Geometry, könyv első.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Descartes 1637
2. Descartes művei, szerk. Unokatestvér, V. kötet, p. 331
3. Descartes művei, szerk. Unokatestvér, V. kötet, p. 332

Függelékek

Kapcsolódó cikkek

• Azonosítás a tervben és az űrben
• Analitikai geometria
• Koordináta-rendszer
  • Hengeres koordináták
  • Poláris koordináták
  • Gömbös koordináták
• Minkowski-diagram
• Vízszintes és függőleges

Bibliográfia

• René Descartes , Descartes geometriájának első könyve ,1637, 18  p. ( online olvasás )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">