Minkowski-diagram

A Minkowski diagram a téridő ábrázolása, amelyet 1908-ban fejlesztett ki Hermann Minkowski , lehetővé téve a tulajdonságok megjelenítését a speciális relativitáselméletben . Ezután matematikai egyenletek felhasználása nélkül kvalitatív és intuitív megértés érhető el olyan jelenségekről, mint az idő tágulása , a hosszúság összehúzódása vagy akár az egyidejűség fogalma .

A Minkowski-diagram egyetlen térdimenziót használ. Két koordinátarendszert helyez el, amelyek két megfigyelőnek felelnek meg egymással egyenes vonalban és egyenletesen. Fő célja, hogy lehetővé tegye ugyanazon esemény koordinátáinak azonnali vizualizálását egy referenciakeretben, a másik referenciakeret koordinátáiból, és ezáltal a speciális relativitáselmélet számos problémájának és látszólagos paradoxonjának megoldását. Ez a diagram azt is lehetővé teszi, hogy grafikusan megmutassuk a fénysebesség tulajdonságát, hogy felülmúlhatatlan sebesség legyen.

A diagram felépítése és tulajdonságai a különleges relativitáselmélet posztulátumaiból és a Minkowski-tér tulajdonságaiból adódnak . Szemléltetik a tér és az idő közötti mély kapcsolatokat, amelyeket a speciális relativitáselmélet fedezett fel.

Alapok

A diagram olvashatósága érdekében csak egy térbeli dimenziót ábrázolunk. A szokásos távolság / idő diagramokkal ellentétben a térbeli koordináta az abszcisszán (vízszintes koordináta, itt „x”) és az idő a koordinátán (függőleges koordináta, itt „ct”) található. Az ebben a diagramban ábrázolt objektumokról úgy gondolhatunk, hogy az idő múlásával alulról felfelé haladnak. Az ebben a diagramban szereplő objektum pályáját univerzumvonalnak nevezzük . Az álló részecskének függőleges univerzális vonala lesz.

A diagram minden pontja egy bizonyos helyet és időt képvisel. Ezt a helyzetet eseménynek nevezzük , függetlenül attól, hogy valóban történik-e valami ezen a ponton vagy sem.

A diagram használatának megkönnyítése érdekében az y tengely egy "ct" mennyiséget képvisel, amely a "t" idő szorozva a "c" fénysebességgel . Ez a mennyiség távolról is asszimilálható. Ily módon a foton univerzumvonala egy egyenes vonal, amelynek lejtése 45 °, a két tengely skálája megegyezik egy Minkowski-diagramban.

A koordináták átalakításának felépítése és szabályai

A leggyakoribb képviselet

A legelterjedtebb bemutatás a két referenciakeret közötti aszimmetrikus ábrázolás : az egyik R referenciakeretet nyugalmi állapotban, a másikat R 'pedig R sebességgel v (egyenes és egyenletes) mozgatja, a Minkowski-diagram felépül ábrázolja az első referenciakeretet ortogonális x és ct tengelyekkel, valamint a két referenciakeretet, amelyek közös eredetűek. A Lorentz-transzformációk használata lehetővé teszi számbeli eredményeik grafikonon való megjelenítését.

A második referenciakeret tengelyeinek meghatározása:

Az egyik Lorentz átalakulási formáját alkalmazza az így leírt helyzethez:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} ct '& = \ gamma \ left (ct - {\ frac {v} {c}}. x \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x - {\ frac {v} {c}}. ct \ right) \\\ end {aligned}}}

Val vel

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}},,}

Az x 'tengely az, amelyre ct' = 0, ami megfelel az R jobb oldali egyenletének , vagy sem . Megjegyezzük, hogy ez a meghatározás az R 'referenciakeretből nézve a t' = 0 időpontban egyidejű események halmazának is megfelel .

{\ displaystyle ct - {\ frac {v} {c}}. x = 0}

{\ displaystyle ct = {\ frac {v} {c}}. x}

A ct 'tengely az, amelyre x' = 0, amely megfelel a jobb oldali egyenletnek R-ben, vagy más esetben . Észrevesszük, hogy ez a meghatározás megfelel azoknak az eseményeknek, amelyek az O 'R-ben helyben maradnak, és egyenlete is átírható .

{\ displaystyle x - {\ frac {v} {c}}. ct = 0}

{\ displaystyle ct = {\ frac {c} {v}}. x}

{\ displaystyle x = vt}

Az x 'és a ct' tengely szimmetrikus az x = ct egyenlet vonalához képest, mert x és ct invertálásával a két egyenlet egyikébe az egyik megkapja a másikat.

A ct 'és x' tengely fokozata:

Mi mindig a Lorentz transzformációk , a .

{\ displaystyle c.t '= \ gamma \ left (ct- \ beta .x \ right) \,; x' = \ gamma \ left (x- \ beta ct \ right) \ ,,}

\ beta = \ frac {v} {c}

A (0 '; 1') koordinátákkal ellátott pont helyzetének (tehát és ) meghatározásához az R referenciakeretben két egyenletből állunk, két ismeretlen . Grafikus felbontása úgy történik, hogy észrevesszük, hogy a második egyenlet megfelel a ct 'tengelynek, és megrajzoljuk az egyenletvonalat , azaz R-be.

x '= 0

ct '= 1

{\ displaystyle 1 = \ gamma \ left (ct- \ beta .x \ right) \,; 0 = \ gamma \ left (x- \ beta ct \ right) \,}

{\ displaystyle 1 = \ gamma \ bal (ct- \ beta .x \ jobb) \,}

{\ displaystyle ct = {\ frac {v} {c}}. x + {\ frac {1} {\ gamma}} \ ,,}

Az utolsó sor összes pontjára vonatkozik ct '= 1, tehát ez az 1' idővel egyidejű események halmaza, R'-től nézve. És mivel ennek a vonalnak az y-metszete van , megkapjuk azt, amit R '-ből látunk, ez az R idő, x = 0-nál, amely egyidejű R 1' időjével.

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} \,}

Hasonló számításokat végzünk az (1 ', 0') ponthoz, és rávezetünk az egyenletvonal meghúzására .

{\ displaystyle ct = {\ frac {c} {v}}. x - {\ frac {c} {v. \ gamma}} \,}

Egy pont koordinátáinak meghatározása:

Ugyanazon A esemény koordinátáit (x, ct) és (x ', ct') minden tengelyre vetítve találjuk meg, a referenciakeret másik tengelyével párhuzamosan, a derékszögű koordinátákra vonatkozó szokásos szabályok szerint .

Ez az ábrázolás aztán képes leírni bizonyos számú kvalitatív és kvantitatív érvelést: az időtartamok tágulása, a hosszúság összehúzódása, a sebességek kombinációja ... az egymást követő (egydimenziós) Lorentz-transzformációk kombinációja.

Párhuzamossági vonalak

Meghatározás szerint az (O, x) tengelyen elhelyezkedő összes esemény egyidejű (azonos idővel rendelkezik t = 0). Következésképpen az (O, x) -nel párhuzamos összes egyenes a megfigyelő egyidejűségi vonalai, amelyek az (x, t) referenciakeretben helyezkednek el. Hasonlóképpen, az (O, x ') ponttal párhuzamos összes egyenes a megfigyelő számára az egyidejűség vonala (x', t '). Az e vonalakon található összes esemény egyidejűleg történik egy adott megfigyelő számára. Ez a két térben távoli esemény egyidejűsége, amely a referenciakerettől függ, jól megfelel annak, amelyet Einstein fényjelek segítségével javasolt.

A Minkowski diagram szemlélteti az egyidejűség relativitását . A különleges relativitáselmélet valójában azt írja elő, hogy két esemény egyszerre tekinthető egy megfigyelő számára, és nem egyidejűnek az elsőhöz képest elmozduló másik eseményre. Még az is lehetséges, hogy amikor a két eseményt térszerű intervallum választja el , akkor két eseményt egy megfigyelő bizonyos sorrendben, egy másik pedig fordított sorrendben lát .

Loedel szimmetrikus ábrázolása

A Minkowski-diagramnak jelentős hátránya van: a két vonatkoztatási keret (x, ct) és (x ', ct') tengelyeinek skálája nem azonos, ami csökkenti a referenciakeret vetületeinek olvashatóságát és intuitivitását másrészt: a Lorentz-transzformáció geometriai szempontból nem konzervált. Ez a skála különbség logikus, mert egy keret forgatásakor az x² + y² mennyiség invariáns, a diagram euklideszi geometriájában , míg a megfelelő x² + (ct) ² mennyiség nem invariáns Lorentz transzformációjával. Ez a mennyiség (ct) ² - x², amely változatlan ( tér-idő intervallum ).

Van egy szimmetrikus ábrázolás között referenciakeret tekinthető, más néven Loedel diagram (elnevezett fizikus Enrique Loedel Palumbo (en) ), amely lehetővé teszi, hogy geometriai megőrizni a relativisztikus invariáns a forgatás egy referenciakeret, ezért minden A referenciakeret skálája és fokozata megegyezik.

A diagram alapgondolata azon az egyszerű megfigyelésen alapul, amely:

(ct) ²-x² = (ct ') ²-x'² (relativisztikus invariancia)

triviálisan átfogalmazható:

x² + (ct ') ² = x'² + (ct) ²

Megtaláljuk a klasszikus távolságot (x² + y²) egy euklideszi térben, amelyet forgatással tartunk.

Tehát a Loedel-diagram egy tér-idő diagram, ahol a tengelyek (x, ct ') merőlegesek, valamint az (x', ct).

Ezután ugyanazokat a tulajdonságokat találjuk, mint egy Minkowski-diagram: az egyidejűség vonalai párhuzamosak az (O, x) vagy (O, x '), és a vetületek megfelelnek a Lorentz-transzformációknak, ha a két tárház közötti forgásszög:

\ sin (\ beta) = {\ frac {v} {c}}

. A fénykúpok szimmetrikus ábrázolásban

Bármelyik szög is legyen a két referenciakeret között, a fény kúpját (amelyet x² = (ct) ², vagy x'² = (ct ') ² határoz meg) mindig két, 45 ° -ra hajló merőleges vonal határolja a diagramon. $\ béta$

Alkalmazási példák

Idő tágulás

A speciális relativitáselmélet szerint egy "rögzítettnek" minősített referenciakerethez képest bizonyos sebességgel animált órát lassabban ütünk meg, mint a referenciakeret óráit.

Ez a megfigyelés kölcsönös, vagyis a „rögzített” referenciakeretben lévő óra lassabb lesz, mint a mozgó referenciakereté, ez az első, első pillantásra paradoxnak tűnő referenciakeret.

Ez egy Loedel-diagram segítségével vizualizálható (könnyebb összehasonlítani a skálákat, amelyek megegyeznek a két referenciakeret tengelyén). A megfigyelőnél A-nál (lásd a szemközti diagramot) a másik referenciakeret „egyidejű” ideje a B-nél kisebb idő, mint A-nál kisebb. Az A-nél megfigyelő tehát logikusan arra a következtetésre juthat, hogy az idő lassabban telik el a másik adattárban. (B). Ezzel szemben a B-ben megfigyelő számára a másik referenciakeret „egyidejű” ideje C-ben van, ami kisebb, mint B, és a másik referenciakeretben (C) az idő lelassulását is megfigyeli.

A fénysebesség, mint a határsebesség

A Minkowski-diagram lehetővé teszi az ellentmondások és paradoxonok kiemelését attól a pillanattól kezdve, amikor feltételezik, hogy az információ a fény sebességénél nagyobb sebességgel terjedhet. Különösen ilyen körülmények között lehetne információt továbbítani a saját múltjában.

Vagy az univerzum sora a rögzített referenciakeretben. Lehetséges, hogy egy megfigyelő ezen az univerzum vonalon továbbítja az információt az univerzum vonalának második megfigyelőjéhez , amely az első megfigyelőhöz képest (<c sebességgel) mozog, amikor a két megfigyelő találkozik. (S pont). $\ Omega _ {2}$ $\ Omega _ {1}$

Ezután a megfigyelő ezt az információt a fénynél gyorsabban bocsátja ki az univerzum vonalán lévő megfigyelő számára (T1 nyíl). Az információ eléri az O 'pontot. A megfigyelő ezt követően a fénynél is gyorsabban újból kiadja az információt (T2 nyíl). Az információ elérte M”, mielőtt hogy nem adtak ki S. $\ Omega _ {1}$ $\Omega 3}$ $\Omega 3}$ $\Omega 3}$ $\ Omega _ {2}$ $\ Omega _ {2}$ $\ Omega _ {2}$

Minden megfigyelő és információt küld a saját jövőjét, ahogy azt a nyilak irányában T1 és T2 kapcsolatban a vonal egyidejűsége referenciájuk. De a relatív elmozdulás a két megfigyelő, és a tér-szerű pályája (kívül a fénysugár ) egyes kibocsátó, lehetővé teszi az emisszió felé múltját . $\ Omega _ {1}$ $\Omega 3}$ $\ Omega _ {2}$

Ezenkívül a mobil referenciakeretben (kék színben) lévő megfigyelő számára az S esemény az O 'esemény előtt zajlik , míg az időbeli sorrend fordítottnak tűnik a fix referenciakeretben lévő megfigyelő számára (fekete színben). . A mobil megfigyelő számára S az O 'oka, míg a helyhez kötött megfigyelő számára O' az S oka. Ez az okság elvének megsértése , amely szerint az ok mindig megelőzi a következményt.

Ezek a megfontolások azt mutatják, hogy a fénysebesség határa a téridő tulajdonságainak és az okság fogalmának következménye, és anélkül, hogy maguknak a tárgyaknak a fizikai tulajdonságait is technológiai korlátként kellene figyelembe venniük.

Nem inerciális referenciakeretek esete

A fotonok univerzális vonalait a metrikával határozzuk meg . A fénykúpok a helyzettől függően torzak. Inerciális referenciakeretben egy szabad részecskének van egy egyenes vonalú univerzumvonala. A nem inerciális referenciakeretben a szabad részecske univerzum vonala görbe. ${\ displaystyle d \ tau = 0}$

Vegyük például egy rakéta kezdeti sebessége nélkül elejtett tárgy leesését. A rakéta egyenletesen gyorsított mozgással rendelkezik a tehetetlenségi referenciakerethez képest. Amint a Minkowski-diagramon egy nem inerciális referenciakeretben olvasható, az objektum, miután elengedett, felveszi a sebességet, eléri a maximális sebességet, majd látja a sebesség csökkenését és aszimptotikusan eltűnik a láthatáron, ahol ideje. . A sebességet a gyorsított rakétában lévő nyugalmi állapotban lévő megfigyelő méri. $t_ {H}$

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

A másik referenciakeret óráján az A-ban megfigyelt idő valójában még mindig kevesebb lesz, mint B, annak az időnek köszönhetően, amelyet az óra képe vesz igénybe, hogy fénysebességgel egyik képkockáról a másikra lépjen. De ez nem változtat semmi alapvetően az érvelésen.
A relativitás elve, miszerint a fizikai törvények minden referenciakeretben megegyeznek, ha egy megfigyelő a mozgó keretben a fénynél gyorsabban képes kibocsájtani, akkor a rögzített adattárban a fénynél is gyorsabban lehet kibocsátani.

Hivatkozások

Hermann Minkowski, Tér és idő ,1908, 20 p. ( online olvasás ).
Loedel E. Lorentz-transzformáció geometriai ábrázolása. Keserű. J.Phys. 25: 327, 1957. május.
(en) David Bohm: A relativitás különleges elmélete , 1996, Routlege kiadás, p. 120-121
(in) Roger Penrose A császár új Mind 1995 Oxford University Press, p. 213
Mathieu Rouaud, korlátozott relativitáselmélet, geometriai megközelítés ,2020, 534 p. ( ISBN 978-2-9549309-2-3 , online olvasás ).

Függelékek

Bibliográfia

en) Wolfgang Rindler , Relativitáselmélet: különleges, általános és kozmológiai , Oxford, Oxford University Press ,2001, 428 p. , zseb ( ISBN 978-0-19-850836-6 , LCCN 00067605 )
Leo Sartori, A relativitás megértése , (irodalmi munka), University of California Press ,1996 :

o. 152
o. 154
o. 157

Laurent Moutet. A korlátozott relativitáselmélet diagramjai és elmélete: didaktikai tervezés . Oktatás. Párizsi Egyetem, 2016. francia. online olvasni .