Lorentz-transzformációk

Ez a cikk technikai szempontból mutatja be a Lorentz-átalakításokat. Az olvasó, aki általánosabb fizikai információkat szeretne szerezni erről a témáról, hivatkozhat a speciális relativitáselméleti cikkre .

A Lorentz-transzformációk a tér-idő Minkowski négydimenziós pontjának koordinátáinak lineáris transzformációi . Különleges relativitáselméletükben megfelelnek a galileai referenciakeret változásának törvényeinek, amelyekre a fizika egyenletei megmaradnak, és amelyekre a fénysebesség azonos marad a galileai összes referenciakeretben. Néha a klasszikus mechanika Galileo-transzformációinak relativisztikus megfelelőinek tekintik őket .

A leggyakoribb forma:

{t′=γ(t-vxvs.2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' & = gamma \ balra (x-vt \ jobbra) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {igazítva}} \ jobbra.}

Ahol ( t , x , y , z ) és ( t ', x ', y ', z ') koordinátáit reprezentálják egy esemény két inerciális referencia-keret, amelynek relatív sebessége párhuzamos a tengelye , a sebessége fény , és a Lorentz faktor van . v{\ displaystyle v}x{\ displaystyle x}vs.{\ displaystyle c}γ=11-v2vs.2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}}

A „Lorentz transzformációk” utalhat a koordináta változik fent bemutatott néha speciális Lorentz transzformációk vagy Lorentz boost , vagy egy nagyobb csoportját az úgynevezett Lorentz-csoport . Ez a csoport a lineáris transzformációk halmazából áll, amelyek kompatibilisek a különleges relativitáselmélet posztulátumaival , vagyis azok, amelyek elhagyják a Minkowski-tér invariánsának álnormáját . A Lorentz-csoport nemcsak a Lorentz- fokozókat foglalja magában a tér tetszőleges irányában, hanem a tér- keret forgásait is, az úgynevezett statikus tér- forgásokat . A relativisztikus kvantumelméletek és az elemi részecskék leírása keretein belül elfogadhatók azok az átalakulások is, amelyek megfordítják az időérzéket és a térkeret orientációját , bár a speciális relativitáselméletben értelmetlennek tűnhetnek. A Lorentz-csoport maga a Poincaré-csoport egyik alcsoportja, amely az előző definíciót kiterjeszti az affin transzformációkra , nem korlátozódik a lineáris transzformációkra. A Poincaré csoport tehát lehetővé teszi a referenciakeret valamennyi, a speciális relativitáselméletben engedélyezett változásának ábrázolását, beleértve azokat is, amelyek a tér-idő referenciakeret eredetének eltolását tartalmazzák.

A „Deux Mémoires de Henri Poincaré a matematikai fizikáról” című kiadvány bevezetőjében Acta Matematica , vol. 38. o. Hendrik Lorentz , 1921-ben, a  293-308. Cikkben meghatározza, hogy annak biztosítására, hogy Maxwell egyenleteit minden galileai vonatkoztatási rendszerben azonos módon írják, Henri Poincaré matematikailag vezette be ezt a törvényt, Lorentz nevével keresztelve. Ez utóbbi adta meg annak a változatát, amelyet később tökéletlennek tartott.

A leggyakoribb előadások

Tekintsünk két galileai referencia-keret és egységes egyenes fordítás egyik a másikhoz képest, oly módon, hogy mozog a sebesség tekintetében irányában a tengely . Jelölje rendre és a három térbeli koordinátáit, és az idő, amely lehetővé teszi, hogy keresse meg az azonos eseményt figyeltek meg minden egyes ilyen referencia-keret. R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}v{\ displaystyle v}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}x{\ displaystyle x} (t,x,y,z){\ displaystyle \ (t, x, y, z)} (t′,x′,y′,z′){\ displaystyle \ (t ', x', y ', z')}

A két referenciakeret közötti Lorentz-transzformációk ekkor:

Lorentz transzformáció ( irány ) x{\ displaystyle x} {t′=γ(t-vxvs.2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' & = gamma \ balra (x-vt \ jobbra) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {igazítva}} \ jobbra.}

A és . γ=11-β2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} ~} β=v/vs.{\ displaystyle ~ \ beta = v / c}

A paraméter állandó egy adott transzformációnál. Ez egy pozitív vagy negatív algebrai mennyiség, amelynek abszolút értéke nem lehet egyenlő vagy nagyobb, mint  : (a des tengely pozitív irányú elmozdulását pozitívan számoljuk). Így csak szublináris sebességek engedélyezettek, és a lehetséges értékek, és ezért: és . v{\ displaystyle v}vs.{\ displaystyle c}-vs.<v<vs. {\ displaystyle -c <v <c ~}x{\ displaystyle x}β{\ displaystyle \ beta}γ{\ displaystyle \ gamma} -1<β<1 {\ displaystyle ~ -1 <\ beta <1 ~} 1≤γ<+∞{\ displaystyle ~ 1 \ leq \ gamma <+ \ infty}

Az átalakulások nincsenek meghatározva, ha ezeken a határokon kívül esnek. Sőt, úgy végtelen értéket , és lesz egy komplex szám az . Az idő és a tér koordinátái mérhető mennyiségek, ezek értékét szükségszerűen valós szám írja le . v{\ displaystyle v}γ{\ displaystyle \ gamma}v=vs.{\ displaystyle v = c}v>vs.{\ displaystyle v> c}

Ráadásul a relativitás elvének értelmében egyetlen galilei referenciakeret sincs kiváltságos a másikkal szemben. Ezért a transzformációk hogy megy , hogy kell lennie ugyanabban a formában, mint az, hogy megy a . Az egyetlen aszimmetria abban rejlik, hogy a sebességhez képest sebességgel mozog . Az inverz transzformációkat a következőképpen írjuk: R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}-v{\ displaystyle -v}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}

Fordított Lorentz-transzformáció ( irány ) x{\ displaystyle x} {t=γ(t′+vx′vs.2)x=γ(x′+vt′)y=y′z=z′{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} t & = \ gamma \ left (t '+ {\ frac {vx'} {c ^ {2}}} \ right) \\ x & = \ gamma \ balra (x '+ vt' \ jobbra) \\ y & = y '\\ z & = z' \ vége {igazítva}} \ jobbra.}

A Lorentz-transzformációkat itt a koordináták passzív transzformációiként  (be) mutatjuk be, más szóval összehasonlítottuk azt a módot, ahogyan ugyanazt az eseményt két különböző referenciakeretből figyeltük meg. Egy másik nézőpont abból áll, hogy aktív transzformációknak tekintjük őket, amelyek nem a referenciakeretet, hanem magát a fizikai rendszert érintik. Az új koordináták ezt követően leírják a jelenséget, mivel megfigyelhető lenne, ha az egész rendszer egyenletes, egyenes vonalú mozgásba kezdene a tengely mentén eső sebességgel ugyanabban a vonatkoztatási keretben.  (t′,x′,y′,z′){\ displaystyle \ (t ', x', y ', z')}-v{\ displaystyle -v}x{\ displaystyle x}

Alternatív formák

• Használatával szimmetrikusabban írhatjuk a transzformációkat:β=v/vs.{\ displaystyle \ beta = v / c}

 {vs.t′=γ(vs.t-β.x)x′=γ(x -β.vs.t)y′=yz′=z{\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {aligned} ct '& = \ gamma \ left (ct- \ beta .x \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x ~ - \ beta .ct \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {igazítva}} \ right. \,}

• Az események duplájáért. A koordináták különbségeivel foglalkozó forma érdekesebbnek tűnhet, mert valóban a hosszakat és az időintervallumokat mérik kísérletileg, vagy amelyek érdekesek a fizikai síkon. Megjegyezve és az egyes referenciakeretekből megfigyelt két esemény közötti koordináták közötti különbségeket, a Lorentz-transzformációk linearitása a következőket eredményezi: Δx,Δy,...{\ displaystyle \ \ Delta x, \ Delta y, ...} Δx′,Δy′,...{\ displaystyle \ \ Delta x ', \ Delta y', ...}

{Δt′=γ(Δt-vΔxvs.2)Δx′=γ(Δx-vΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} \ Delta t '& = \ gamma \ left (\ Delta t - {\ frac {v \ Delta x} {c ^ {2}}} \ jobb) \\ \ Delta x '& = \ gamma \ left (\ Delta xv \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ Delta y \\\ Delta z '& = \ Delta z \ end {igazított}} \ jobb .}

• A relativisztikus kvantumelméletben a T időbeli inverziót és a P térbeli inverziót is elfogadják. A Lorentz-transzformációk, amelyek a fizikai egyenleteket változatlanul hagyják ( elektromos töltés hiányában ), ekkor:

 {vs.Δt′=ϵ1γ(vs.Δt-βΔx)Δx′=ϵ2γ(Δx-βvs.Δt)Δy′=ϵ2ΔyΔz′=ϵ2Δz,{\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {aligned} c \ Delta t '& = \ epsilon _ {1} \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x '& = \ epsilon _ {2} \ gamma \ left (\ Delta x- \ beta c \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ epsilon _ {2} \ Delta y \\\ Delta z '& = \ epsilon _ {2} \ Delta z \ end {igazítva}} \ jobbra. \ ,,}ahol jelezze, ha az időbeli és / vagy térbeli orientáció megváltozik.ϵén=±1{\ displaystyle \ epsilon _ {i} = \ pm 1}Megjegyzés: általában minden olyan átalakítás használt kvantumfizika formában van , és átalakítása a Lorentz csoport speciális relativitáselmélet (orthochronous és megfelelő), és . Az összekapcsolt saját- és ortokron transzformációk csoportja , ez a bomlás azt jelzi, hogy a Lorentz-csoport négy összekapcsolt komponensből áll.S⋅Λ{\ displaystyle S \ cdot \ Lambda}Λ{\ displaystyle \ Lambda}S∈{énd;T;P;TP}{\ displaystyle S \ in \ {Id; T; P; TP \}}

Mátrix előadás

Mátrix formában a Lorentz-transzformációkat írjuk:

[vs.t′x′y′z′]=[γ-βγ00-βγγ0000100001][vs.txyz]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ beta \ gamma & 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}

ahol a jegyzett mátrix kielégíti a következő elvárt tulajdonságokat: Λ{\ displaystyle \ Lambda}

• det(Λ)=+1{\ displaystyle \ det (\ Lambda) = + 1}, ami azt jelenti, hogy az átalakítás megőrzi a tér orientációját .
• ΛT η Λ=η {\ displaystyle \ Lambda ^ {T} ~ \ eta ~ \ Lambda = \ eta ~}, hol van a Minkowski-mutató , ami azt jelenti, hogy a mátrix álortogonális és megőrzi a Minkowski-tér álnormáját .η{\ displaystyle \ eta}  η=dénnál nélg(1,-1,-1,-1){\ displaystyle ~ \ eta = \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}

Az inverz transzformációt a következők adják meg: Λ-1{\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1}}

[vs.txyz]=[γβγ00βγγ0000100001][vs.t′x′y′z′]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ beta \ gamma & 0 & 0 \\ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t '\\ x' \\ y ' \ z '\ end {bmatrix}}}

Ez az írás 4 × 4 mátrix formájában megfelel a Lorentz-csoport szokásos ábrázolásának (½, ½). Az ezen ábrázolás alatt átalakított objektumok kvadrivektorok (itt az idő-pozíció kvadrivektorok). Más mátrixábrázolások azonban lehetségesek, és lehetővé teszik a Lorentz-transzformációk alkalmazását más természetű tárgyakra (pl .: elektromágneses tér , Dirac bispinerek ...).

Bemutatás hiperbolikus rotációként

Fogalommeghatározások és következik . A hiperbolikus trigonometriai relációval való analógia lehetővé teszi a gyorsaság meghatározását azáltal, hogy felteszi:  γ=11-β2 {\ displaystyle ~ \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} ~} β=v/vs. ,{\ displaystyle ~ \ beta = v / c ~,} γ2-(γβ)2=1{\ displaystyle \ \ gamma ^ {2} - (\ gamma \ beta) ^ {2} = 1}
 kényelmes2⁡ϕ-sinh2⁡ϕ=1 {\ displaystyle ~ \ cosh ^ {2} \ phi - \ sinh ^ {2} \ phi = 1 ~} ϕ{\ displaystyle \ phi}

 kényelmes⁡(ϕ)=γ≥1 {\ displaystyle ~ \ cosh (\ phi) = \ gamma \ geq 1 ~}és azzal . sinh⁡(ϕ)=γβ∈R,{\ displaystyle ~ \ sinh (\ phi) = \ gamma \ beta \ in \ mathbb {R} \ ,,}ϕ=argth⁡(v/vs.)∈R{\ displaystyle \ phi = \ operátornév {argth} {\ bal (v / c \ jobb)} \ in \ mathbb {R}}

Bármilyen speciális Lorentz-transzformáció leírható:

[vs.t′x′y′z′]=[kényelmes⁡(ϕ)-sinh⁡(ϕ)00-sinh⁡(ϕ)kényelmes⁡(ϕ)0000100001][vs.txyz] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ phi) & - \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}

És a fordított forma:

[vs.txyz]=[kényelmes⁡(ϕ)sinh⁡(ϕ)00sinh⁡(ϕ)kényelmes⁡(ϕ)0000100001][vs.t′x′y′z′] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ phi) & \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \ \\ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct '\ x' \ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \.}

A közönséges térben lévő forgási mátrixhoz való hasonlóság ahhoz vezet, hogy minden különleges Lorentz-transzformációt hiperbolikus szögelfordulásként tekintünk a Minkowski-téridőben (hol van a gyorsaság). Ennek a „forgatásnak” azonban az a sajátossága, hogy az időbeli koordinátát is befolyásolja. A forgási mátrixok álortogonális jellege azt mutatja, hogy ezek az átalakulások valóban a Minkowski-tér izometriái .ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Bemutatás átlós formában

A hiperbolikus trigonometria funkcióinak meghatározásával és tulajdonságokkal a Lorentz-transzformációk kissé eltérő bemutatását kapjuk:

{vs.t′-x′=eϕ(vs.t-x)vs.t′+x′=e-ϕ(vs.t+x)y′=yz′=z.{\ displaystyle {\ begin {cases} ct'-x '= e ^ {\ phi} (ct-x) \\ ct' + x '= e ^ {- \ phi} (ct + x) \\ y' = y \\ z '= z. \ end {esetek}}}

Bármelyik, mátrix formában:

[vs.t′-x′vs.t′+x′y′z′]=[eϕ0000e-ϕ0000100001][vs.t-xvs.t+xyz] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct'-x '\\ ct' + x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ phi} & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & e ^ {- \ phi} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } ct-x \\ ct + x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}

Mi az az átlós alak, amelyen olyan jelek választhatók, amelyek közül két tengely képezi a fénykúp és a másik referenciajel síkjának (Oxt) vagy (Ox't ') metszéspontját, és amelyeket lehetetlen megvalósítani a' a fizikai tér három dimenzióban.

Előadás bármilyen irányba

A Lorentz-transzformációk a tér bármely irányába általánosíthatók. Két Galilean referencia képkockák egységes egyenes vonalú fordítást egymáshoz képest, oly módon, hogy a relatív mozgás a tekintetében írja le egy sebességi vektor , és oly módon, hogy az eredetét a két referencia képkocka egybeesik , a transzformációk vannak írva vektor formában : R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} v{\ displaystyle \ mathbf {vb}}t=t′=0{\ displaystyle t = t '= 0}

Lorentz-transzformáció ( bármely irányú v ) {t′=γ(t-v⋅rvs.2)r′=r+(γ-1)(r⋅vv2)v-γtv{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r}} {c ^ {2}}} \ jobbra) \\\ mathbf {r '} & = \ mathbf {r} + (\ gamma -1) \ balra ({\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ {2} }} \ right) \ mathbf {v} - \ gamma t \ mathbf {v} \ end {igazítva}} \ right.}

hol és hol, és jelölje ki az egyes referenciakeretekből megfigyelt térkoordinátákat. Ezeknek a képleteknek természetesen érvényben kell maradniuk az összes inerciális referenciakeretben. A relatív mozgása tekintetében éppen leírt vektor által , az inverz transzformációt ezért írva: |v|=v{\ displaystyle | \ mathbf {v} | = v}r=(x,y,z){\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}r′=(x′,y′,z′){\ displaystyle \ mathbf {r '} = (x', y ', z')}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}-v{\ displaystyle - \ mathbf {vb}}

Fordított Lorentz-transzformáció ( irány - nem meghatározott v ) {t=γ(t′+v⋅r′vs.2)r=r′+(γ-1)(r′⋅vv2)v+γt′v{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} t & = \ gamma \ left (t '+ {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r'}} {c ^ {2}}} \ jobbra) \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r '} + (\ gamma -1) \ balra ({\ frac {\ mathbf {r'} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ { 2}}} \ right) \ mathbf {v} + \ gamma t '\ mathbf {v} \ end {igazítva}} \ right.}

A mátrixírás során a következőket kapjuk:

x′=Λx{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

val vel:

Λ=[γ-γvx/vs.-γvy/vs.-γvz/vs.-γvx/vs.1+(γ-1)vx2v2(γ-1)vxvyv2(γ-1)vxvzv2-γvy/vs.(γ-1)vyvxv21+(γ-1)vy2v2(γ-1)vyvzv2-γvz/vs.(γ-1)vzvxv2(γ-1)vzvyv21+(γ-1)vz2v2],x′=[vs.t′x′y′z′]ésx=[vs.txyz].{\ displaystyle \ Lambda = {\ kezdődik {bmatrix} \ gamma & - \ gamma v_ {x} / c & - \ gamma v_ {y} / c & - gamma v_ {z} / c \\ - \ gamma v_ {x} / c és 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} ^ {2}} {v ^ {2}}} és (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {y}} {v ^ {2}}} és (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {y} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {x}} {v ^ {2}}} és 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} ^ {2 }} {v ^ {2}}} és (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {z} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {x}} {v ^ {2}}} és (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {y}} {v ^ {2}}} és 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad X '= { \ begin {bmatrix} c \, t '\ \ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \ quad {\ textrm {et}} \ quad X = {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \,.}

Bemutató más méretekhez

Quadrivectors

Bár a Lorentz-transzformációkat kezdetben az idő és a tér koordinátáinak változásaként mutatják be, ezek általánosabban vonatkoznak minden olyan fizikai mennyiségre, amelyet egy kvadrektor (a kvadrivektor definíció szerint négydimenziós vektor, amelynek komponensei ugyanúgy transzformálódnak) az idő és a tér koordinátái). A koordináták megváltoztatásakor a kvadrivektort ezért a lineáris mátrix reláció alakítja át : x{\ displaystyle X}x′{\ displaystyle X '}

x′=Λx{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

hol van egy Lorentz-transzformáció, amelyet 4 × 4-es mátrix sztenderd ábrázolásban fejez ki . Sőt, azáltal , ahol az ál-norma minden quadrivector adják , és kielégíti a kapcsolat a következő formában: Λ{\ displaystyle \ Lambda}x=(NÁL NÉL,Z){\ displaystyle X = (A, \ mathbf {Z})}Z=(Zx,Zy,Zz){\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {x}, Z_ {y}, Z_ {z})} x⋅x=xTηx {\ displaystyle ~ X \ cdot X = X ^ {\ mathrm {T}} \ eta X ~}

x⋅x=x′⋅x′⟺NÁL NÉL2-Z⋅Z=NÁL NÉL′2-Z′⋅Z′{\ displaystyle X \ cdot X = X '\ cdot X' \ quad \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ quad A ^ {2} - \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {Z} = {A '} ^ {2 } - \ mathbf {Z} '\ cdot \ mathbf {Z}'}

jelezve, hogy a kvadrivektor normája relativisztikus invariáns .

Quadrivector	NÁL NÉL	Z	x
Négyzetes helyzet	Idő	Pozíció vektor	(vs.t;r){\ displaystyle \ left (ct; \ mathbf {r} \ right)}
Quadrivector impulzus	Energia	Lendület vektor	(Evs.;o){\ displaystyle \ left ({\ tfrac {E} {c}}; \ mathbf {p} \ right)}
Quadrivector sebesség	Fénysebesség	Sebesség vektor	γu(vs.;u){\ displaystyle \ gamma _ {u} \ bal (c; \ mathbf {u} \ jobb)}
Négyzetes erő	Mechanikai teljesítmény	Erő vektor	γu(F⋅uvs.;F){\ displaystyle \ gamma _ {u} \ balra ({\ tfrac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}; \ mathbf {F} \ jobbra)}
Potenciális kvadrivektor	Elektromos potenciál	Mágneses vektorpotenciál	(Φvs.;NÁL NÉL){\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ Phi} {c}}; \ mathbf {A} \ right)}
Quadrivector áramsűrűség	Az elektromos töltések sűrűsége	Áramsűrűség-vektor	(ρvs.;J){\ displaystyle \ left (\ rho c; \ mathbf {J} \ right)}
Quadrivector hullám	Lüktetés	Hullám vektor	(ωvs.;k){\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ omega} {c}}; \ mathbf {k} \ right)}
Quadrivector spin	-	Spin	(st;S){\ displaystyle \ left (s_ {t}; \ mathbf {S} \ right)}

Vannak azonban olyan mennyiségek, amelyek nem írhatók fel kvadrektor formájában. Ez vonatkozik például a szögimpulzusra , az elektromos mezőre és a mágneses mezőre is . A szögimpulzus definíció szerint egy lendületet kap . A mezőket illetően, és ezek az elektromágneses mező két kiegészítő aspektusát alkotják, ezért nem alakíthatók külön. Ha a Lorentz-erőt vesszük ezeknek a mezőknek a meghatározásaként, akkor a kovariancia elvének alkalmazása az elektromágnesesség törvényeire azt jelenti, hogy a kifejezésnek azonos formát kell megőriznie az inerciális referencia-keret megváltoztatása után . L{\ displaystyle \ mathbf {L}} E{\ displaystyle \ mathbf {E}} B{\ displaystyle \ mathbf {B}}L=r×o{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}} L′=r′×o′{\ displaystyle \ mathbf {L} '= \ mathbf {r}' \ times \ mathbf {p} '}E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}F=q(E+v×B){\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ szor \ mathbf {B})}F′=q(E′+v′×B′){\ displaystyle \ mathbf {F} '= q (\ mathbf {E}' + \ mathbf {v} '\ times \ mathbf {B}')}

Elektromágneses mező

A képletek a mező átalakulás és arra utalnak, hogy e két mennyiség kapcsolunk egy matematikai objektum, 6 részből áll: egy tenzor rangja 2 ferde , azaz egy bivector . Az elektromágneses tenzor mátrix formában van megírva: E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}

Fμv=(0-Ex/vs.-Ey/vs.-Ez/vs.Ex/vs.0-BzByEy/vs.Bz0-BxEz/vs.-ByBx0){\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c és -B_ {y} & B_ {x} és 0 \ end {pmatrix}} \ quad}( Aláírási megállapodás (+ - - -))

A Lorentz-transzformáció után kapott mezőket mátrix formában adjuk meg: F′{\ displaystyle F '}Λ{\ displaystyle \ Lambda}

F′=ΛFΛT{\ displaystyle F '= \ Lambda F \ Lambda ^ {T}}

vagy tízes írásban  :

F′μv=ΛμρΛvσFρσ{\ displaystyle F '^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ sigma} F ^ {\ rho \ sigma}}

A tengely mentén történő egyszerű lendülethez a következőket kapjuk: x{\ displaystyle x}

{Ex′=ExEy′=γ(Ey-βvs.Bz)Ez′=γ(Ez+βvs.By)Bx′=BxBy′=γ(By+βvs.Ez)Bz′=γ(Bz-βvs.Ey){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} E '_ {x} & = E_ {x} {\ frac {} {}} \\ E' _ {y} & = \ gamma (E_ {y} - \ beta cB_ {z}) {\ frac {} {}} \\ E '_ {z} & = \ gamma (E_ {z} + \ beta cB_ {y}) {\ frac {} {}} \ \ B '_ {x} & = B_ {x} \\ B' _ {y} & = \ gamma (B_ {y} + {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {z}) \\ B '_ {z} & = \ gamma (B_ {z} - {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {y}) \ vége {igazítva}} \ jobbra.}

Egyéb mennyiségek

Komponensekkel rendelkező általános objektum esetén a Lorentz-transzformációkat írják: nem{\ displaystyle n}

x′=Π(Λ) x{\ displaystyle {X '} = {\ Pi (\ Lambda)} ~ X}

azzal a reprezentáció , amely társítja mátrix bármely transzformációs . A Lorentz csoport (in) különböző ábrázolásai a Lorentz csoport Lie algebrájából , a mátrix hatványozásból épülnek fel . Π{\ displaystyle \ Pi}Λ{\ displaystyle \ Lambda}nem×nem{\ displaystyle n \ alkalommal n} 

Fizikai következmények

Lorentz-transzformációk párhuzamosak lehetnek a klasszikus mechanika galilei-transzformációival  :

Galilei átalakulása  {t′=tx′=x-vty′=yz′=z{\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {aligned} t '& = t \\ x' & = x-vt \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {igazított}} \ jobb.}

{\ displaystyle ~~~~~~~~}

Lorentz-transzformáció {t′=γ(t-vx/vs.2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} t '& = \ gamma \ left (t-vx / c ^ {2} \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x-vt \ right ) \\ y '& = y \\ z' & = z \ vége {igazítva}} \ jobbra.}

Megjegyezzük, hogy a klasszikus esettől eltérően az időbeli koordinátát most a referenciakeret változása befolyásolja, az idő már nem tekinthető abszolútnak a relativitáselméletben. A két esemény közötti egyidejűség fogalma relatívvá válik, ami azt jelenti, hogy egy referenciakeretben két egyidejű esemény nem feltétlenül így a másikban. A zárójelek előtt megjelenő tényező olyan jelenségek megjelenését idézi elő, mint a hosszúság összehúzódása és az időtartamok tágulása . Az abszolút tér és idő felfogásának lemondása lehetővé teszi a c változatlanságának garantálását az összes galileai referenciakeretben, szemben azzal a klasszikus nézettel, amely feltételezi egy éter létezését, amely mechanikus támaszként szolgál a fényhullámok. γ{\ displaystyle \ gamma}

Nem relativisztikus korlátok

Galileo Csoport

A Lorentz-csoport képletei közelíthetők abban az esetben, ha a test sebessége kicsi a fény sebességéhez képest, vagy, ami ugyanarra vonatkozik, azáltal, hogy a fénysebességet a végtelenség felé irányítja. A képletekben szereplő kifejezés elhanyagolásával megtaláljuk a Galileo csoportot, amely a klasszikus fizika vonatkoztatási rendszere változásainak megfelelő átalakulások csoportja .  v{\ displaystyle \ v} vs.{\ displaystyle \ c} v/vs.{\ displaystyle \ v / c}

Carroll csoportja

A Carroll csoport a Lorentz csoport elemeinek egy másik nem relativisztikus közelítése, amikor nagy térszerű intervallumok érdekelnek minket . Ez a közelítés, amelyet Jean-Marc Lévy-Leblond fedezett fel 1965 - ben, felfedezője szerint csak oktatási szempontból érdekes.

Különböző módszerek a transzformációk megtalálásához

• A különleges relativitáselmélet érdekében Einstein elindított egy módszert:

A relativitás elvétől és a fénysebesség változatlanságától a referenciakeret megváltoztatásával, a tér feltételezett homogenitásával és izotropiájával , valamint egy ideális helyzet geometriai ábrázolásával, ahol két inerciális referenciakeret lehetővé teszi a látást, a mérést az egyes referenciakeretektől a másikig terjedő hosszakat és időt, a különböző képleteket egy lineáris egyenletrendszer mutatja be, amelyhez meg kell találni az együtthatókat. A nem fizikai transzformációkat néha részletek nélkül elveti a pozitív megoldás választása kvadratikus egyenletben, amely a referenciajelek orientációjának fizikai feltételezéséből adódik egy olyan szabálynál, mint a jobb kéz , amelyet a geometriai ábra szemléltet. az érvelést kísérő képviselet.

• A kvantum-relativisztikus fizikában, például a kvantumtérelméletben , az alkalmazott transzformációkat a Minkowski-tér szimmetriájaként definiáljuk, amely változatlanul hagyja az egyenleteket ( elektromos töltés hiányában ). Ez azt jelenti, hogy meghatározzuk azokat a lineáris transzformációkat, amelyek változatlanul hagyják a tér-idő intervallumot  : ez egy matematikai meghatározás, amelynek vonatkozásában a megfigyelők referenciakeretének változásai csak néhány ilyen transzformáció, és amely lehetővé teszi mindazok megtalálását. Ezt a módszert bizonyos speciális relativitáselmélet-tankönyvekben is használják, miután bebizonyították, hogy a tér-idő intervallumának a referenciakeret megváltoztatásával járó változatlansága közvetlenül a speciális relativitáselmélet két axiómájából következik, és kiküszöböli azokat az átalakulásokat, amelyek nem orientációs egyezmény a háromdimenziós tereptárgyakhoz ( általában a jobbkezes szabály ) és az időtengely jövőbe orientálása  ; különféle módon történő megszüntetés, néha a nyilvánvaló pecsétjével jelölve, néha pedig indokoltabban.
  

• Ezeket az átalakításokat úgy is megtalálhatjuk, hogy a tér-idő lineáris alkalmazását négy dimenzióra keressük, de a priori metrika nélkül, megtartva Maxwell-egyenletek alakját .

A geometriai módszer

Feltételezzük, hogy a fizikai tér-idő affin tér, ahol a referenciakereteket, amelyeknek csak az inerciát tekintjük , azonosítjuk az affin tér affin referenciakereteivel . Ezenkívül a referenciakeretek közötti állandó fordításokat, amelyek csak állandó számok hozzáadásával nyilvánulnak meg a koordinátákhoz, figyelmen kívül hagyják. Ezért a koordináták transzformációját egy lineáris térkép segítségével hajtjuk végre , amelyet egy mátrix képviselhet  :

Demonstráció

Legyen két referenciakeret és egyenes vonalú transzláció egymással szemben, párhuzamos tengelyeken, relatív v sebességgel az Ox tengely mentén. Legyen egy esemény tér-idő koordinátája a referenciakeretben , koordinátái pedig a referenciakeretben . (A jelölések egyszerűsítése érdekében ebben a bekezdésben nem vesszük figyelembe a másik két y és z térbeli komponenst ). R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}(x,t){\ displaystyle (x, t) \ quad}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}(x′,t′){\ displaystyle (x ', t') \ quad}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '\ quad}

• A relativitás elvének használata  :

A relativitás elve szerint a lineáris transzformáció együtthatói csak a referenciakeretek közötti relatív sebességtől függenek, és nem számítanak ezen a két referenciakereten kívül. A nagyobb pontosság érdekében meg kell mondani a referenciakeretek relatív sebességét , és az alany kissé közelebb kerül.

• A fénysebesség első használata  :

Ha a referenciakeretben figyelembe vesszük egy fényjel elmozdulását a pozitív xs irányába, tehát a fénysebességgel, akkor . De mivel ez a sebesség megegyezik a referenciakeretben , figyelembe véve ugyanezen jel elmozdulását ebből a referenciakeretből, mivel az x 'tengelye ugyanolyan irányú, mint az x, és ugyanúgy az időbeli tengelyekhez meg kell . Hasonlóképpen, kezdve a .R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} x=vs.t{\ displaystyle \ x = ct}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} x′=vs.t′{\ displaystyle \ x '= ct'}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}Ebből kifolyólag : x-vs.t=0⟺x′-vs.t′=0{\ displaystyle x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0} És mint x, t, x „T” kapcsolódnak a lineáris kapcsolatok állandó együtthatós, mi kell , és (A, B, A »és B« állandó együtthatók), ahonnan , vagy mint , vezetjük le , így az egy bizonyos állandó. x′=nál nél.x+b.vs.t{\ displaystyle \ x '= a.x + b.ct} vs.t′=nál nél′.x+b′.vs.t{\ displaystyle \ ct '= a'.x + b'.ct} x′-vs.t′=λ1.x-λ2.vs.t{\ displaystyle \ x'-ct '= \ lambda _ {1} .x- \ lambda _ {2} .ct}x-vs.t=0⟺x′-vs.t′=0 {\ displaystyle x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0 \} λ1=λ2{\ displaystyle \ \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}} x′-vs.t′=λ.(x-vs.t){\ displaystyle \ x'-ct '= \ lambda. (x-ct)}λ{\ displaystyle \ lambda}

• A fénysebesség második használata  :

Figyelembe véve egy fényjel elmozdulását a negatív xs irányába, és ugyanezt az érvelést megkapva: egy bizonyos állandóra. x′+vs.t′=μ.(x+vs.t){\ displaystyle \ x '+ ct' = \ mu. (x + ct)}μ{\ displaystyle \ mu}

• Következtetés a fénysebességről  :

A két előző egyenlet összeadásával és kivonásával a következőket kapjuk: {x′=nál nél.x-b.vs.tvs.t′=nál nél.vs.t-bx(2){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= ax-b.ct \\ ct' = a.ct-bx \ end {matrix}} \ right. \ quad (2)} a: és .nál nél=(λ+μ)/2{\ displaystyle a = (\ lambda + \ mu) / 2 \ quad} b=(λ-μ)/2{\ displaystyle \ b = (\ lambda - \ mu) / 2}

• A referenciaértékek relatív sebességének első használata :

A referenciakeret eredetéhez megvan, és ezért a rendszer (2) első egyenlete szerint:R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}x′=0{\ displaystyle x '= 0} x=bnál nél.vs.t{\ displaystyle x = {\ frac {b} {a}}. ct} By jelölő által sebességét a referenciakeret tekintetében a referenciakeret , akkor írjátok v{\ displaystyle \ v}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} v=xt=bnál nél.vs.{\ displaystyle v = {\ frac {x} {t}} = {\ frac {b} {a}}. c}, vagy , a v=β.vs.{\ displaystyle \ v = \ béta .c}β=vvs.=bnál nél{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}} = {\ frac {b} {a}}} Ezért írhatunk: {x′=nál nél.(x-β.vs.t)vs.t′=nál nél.(vs.t-β.x)(3){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} x '= a. (x- \ beta .ct) \\ ct' = a. (ct- \ beta .x) \ end {mátrix}} jobb. \ quad (3)}

• A referenciaértékek relatív sebességének második használata :

A referenciakeret eredetéhez megvan, és ezért a (2) rendszer egyenletei szerint:R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}x=0{\ displaystyle x = 0} x′=-bnál nél.vs.t′{\ displaystyle x '= - {\ frac {b} {a}}. ct'} By jelölő által sebességét a referenciakeret tekintetében a referenciakeret , akkor írjátok v′{\ displaystyle \ v '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} v′=x′t′=-bnál nél.vs.=-v{\ displaystyle v '= {\ frac {x'} {t '}} = - {\ frac {b} {a}}. c = -v}.

• Használd a tér feltételezések  :

Mikor van . Az együttható tehát lehetővé teszi, hogy konvertálni a mérési hossza történt a referenciakeret , a mérés történt . Ez az együttható függhet a referenciakeretek közötti relatív sebességtől , de nem az irányától és az irányától sem a tér izotropiájának feltételezésével . Ezenkívül, amint azt a bekezdés elején kifejtettük, független az x, t, x ', t' koordinátáktól.t=0{\ displaystyle t = 0} x′=nál nél.x{\ displaystyle \ x '= ax}nál nél{\ displaystyle a}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} v{\ displaystyle \ v}nál nél{\ displaystyle a} Tehát a sebesség színvonalától függ , azaz .nál nél{\ displaystyle a} v{\ displaystyle \ v} v2{\ displaystyle \ v ^ {2}}

• A relativitás elvének használata  :

Megfordításával szerepei referenciakeret és , és igazolt, hogy , és ez nem függ az irányt vagy jelentését , ezért , és tudjuk írni:R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}v′=-v{\ displaystyle v '= - v} nál nél{\ displaystyle \ a} v{\ displaystyle \ v} nál nél(v2)=nál nél((-v)2){\ displaystyle \ a (v ^ {2}) = a ((- v) ^ {2})} {x=nál nél.(x′+β.vs.t′)vs.t=nál nél.(vs.t′+β.x′)(4){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} x = a. (x '+ \ beta .ct') \\ ct = a. (ct '+ \ beta .x') \ end {mátrix}} \ jobbra. \ quad (4)} A (3) rendszer két egyenletének használatával a (4) rendszer első egyenletében a következőket kapjuk :x=nál nél2.(1-β2)x,{\ displaystyle x = a ^ {2}. \ balra (1- \ beta ^ {2} \ jobbra) x \ ,,} nál nél=±11-β2{\ displaystyle a = {\ frac {\ pm 1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} A + jelet választjuk, különben az x tengely és az x 'tengely közötti orientáció megváltozik, feltételezés szerint nem ez a helyzet.

• Következtetés  :

A Lorentz-transzformációkat írják: {x′=11-β2.(x-β.vs.t)vs.t′=11-β2.(vs.t-β.x){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (x- \ beta .ct) \\ ct' = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (ct- \ beta .x) \ end {mátrix}} \ right.} Amit gyakran írunk: {x′=γ.(x-β.vs.t)vs.t′=γ.(vs.t-β.x){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} x '= \ gamma. (x- \ beta .ct) \\ ct' = \ gamma. (ct- \ beta .x) \ end {mátrix}} \ jobb.} A és .β=vvs.{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}γ=11-β2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}  

Az álnorma változatlanságából kiinduló módszer

Demonstráció

Ebben a bekezdésben, a koordináták megegyeznek a inerciarendszerében a referencia és azok a Inerciarendszer , e két keretek referencia azonos térbeli és időbeli eredetét.  (vs.t,x,y,z)=(vs.t,r→){\ displaystyle \ (ct, x, y, z) = (ct, {\ vec {r}})} R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} (vs.t′,x′,y′,z′)=(vs.t′,r→ ′){\ displaystyle \ (ct ', x', y ', z') = (ct ', {\ vec {r}} ~')}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R '}}}

A tér-idő a Minkowski , a pszeudo-szabvány határozza meg a tér az intervallum a tér-idő  : ds2=ηαβdxαdxβ=dxαdxα=vs.2dt2-dx2-dy2-dz2{\ displaystyle \ ds ^ {2} = \ eta _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta} = dx _ {\ alpha} dx ^ {\ alpha} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

A Lorentz- transzformációk lineáris térképek a kvadri-koordinátákon, amelyek elhagyják az álnormát: (vs.t,x,y,z)⟼(vs.t′,x′,y′,z′){\ displaystyle \ (ct, x, y, z) \ longmapsto (ct ', x', y ', z')} (vs..dt)2-dx2-dy2-dz2=(vs..dt′)2-dx′2-dy′2-dz′2{\ displaystyle \ (c.dt) ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = (c.dt ') ^ {2} -dx' ^ {2} - dy '^ {2} -dz' ^ {2}}

Eset, amikor az átalakítás csak a térbeli koordinátákat érinti

Ebben az esetben az álnorma változatlansága azt jelenti , hogy az átalakítás megőrzi a térbeli normát: a társított 3x3 mátrix egy ortogonális mátrix .  dx2+dy2+dz2=dx′2+dy′2+dz′2{\ displaystyle \ dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = dx '^ {2} + dy' ^ {2} + dz '^ {2}}

• Ha meghatározója pozitív, akkor ez egy térbeli forgás, ezért megőrzi a tér orientációját . A téridő átalakulása változatlanul hagyja az időt, és állandó szög elfordulásaként működik a tér vektorain, fizikailag reálisnak tekinthető.
• Ha meghatározója negatív, akkor van egy síkbeli szimmetria is, amely megfordítja a tér orientációját. Az átalakulást, amely változatlanul hagyja az időt, de megfordítja a térbeli orientációt, nem tekintik fizikailag reálisnak, de fel lehet használni az egyenletek matematikai tulajdonságainak feltárására.

Eset, amikor az átalakítás az időbeli koordinátát is érinti

A jelölések nagyobb könnyedsége érdekében helyettesítjük a , a , stb.  dt{\ displaystyle \ dt} t{\ displaystyle \ t} dx{\ displaystyle \ dx} x{\ displaystyle \ x}

• Egy ilyen transzformáció linearitása lehetővé teszi az alábbiak írását:

{vs.t′=nál nél.vs.t+Tv→.r→r→ ′=w→.vs.t+NÁL NÉL.r→{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ct '= a.ct + {} ^ {T} \! {\ vec {v}}. {\ vec {r}} \\ {\ vec {r }} ~ '= {\ vec {w}}. ct + A. {\ vec {r}} \ end {mátrix}} \ right.} ahol egy állandó igazi, egy 3x3-as mátrix állandó együtthatók, és a két konstans vektorok tér, a transzponáltját , és a dot termék a vektorok és a . nál nél{\ displaystyle \ a} NÁL NÉL{\ displaystyle \ A}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}Tv→={\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {v}} =}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}Tv→.r→={\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {v}}. {\ vec {r}} =}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} Egy Lorentz- transzformációval, amely csak a térbeli koordinátákat érinti, a vektorokat és kollinearissá tehetjük: tehát van és hol van egységvektorunk ( ), amely szintén állandó, és két állandó valós (esetleg nulla).v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}v→=b.u→{\ displaystyle {\ vec {v}} = b. {\ vec {u}}}w→=d.u→{\ displaystyle {\ vec {w}} = d. {\ vec {u}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}‖u→‖=1{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = 1} b{\ displaystyle \ b} d{\ displaystyle \ d} Ezért írhatunk {vs.t′=nál nél.vs.t+b.Tu→.r→r→ ′=d.u→.vs.t+NÁL NÉL.r→{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ct '= a.ct + b. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r}} \\ {\ vec {r}} ~ '= d. {\ vec {u}}. ct + A. {\ vec {r}} \ end {mátrix}} \ right.}

• Az álnorma kvadratikus forma , átalakulása általi változatlansága egyenértékű a társított bilináris forma invarianciájával : B{\ displaystyle \ B}B((τ1,r→1),(τ2,r→2))=τ1.τ2-Tr→1.r→2{\ displaystyle B \ bal ((\ tau _ {1}, {\ vec {r}} _ {1}), (\ tau _ {2}, {\ vec {r}} _ {2}) \ jobb ) = \ tau _ {1}. \ tau _ {2} - {} ^ {T} \! {\ vec {r}} _ {1}. {\ vec {r}} _ {2}}

Most tehát , akárB((vs.t,0→),(0,r→))=0{\ displaystyle B \ bal ((ct, {\ vec {0}}), (0, {\ vec {r}}) \ jobb) = 0}B((vs.t′,(0→)′),((0)′,r→ ′))=0{\ displaystyle B \ left ((ct ', \ left ({\ vec {0}} \ right)'), ((0) ', {\ vec {r}} ~') \ right) = 0}B((nál nél.vs.t,d.vs.t.u→),(b.Tu→.r→,NÁL NÉLr→))=...=vs.t.(nál nélb.Tu→-d.Tu→.NÁL NÉL).r→=0{\ displaystyle B \ left ((a.ct, d.ct. {\ vec {u}}), (b. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r} }, A {\ vec {r}}) \ right) = ... = ct. \ Bal (ab. {} ^ {T} \! {\ Vec {u}} - d. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A \ jobb). {\ vec {r}} = 0} Ez az egyenlőség mindenre és minden térvektorra igaz , megvannak . Ha , akkor a mátrix nem invertálható (mert a 0-t elismeri sajátértékként, mert ), és a kapcsolódó Lorentz-transzformáció nem a négydimenziós tér alapváltozása: ami nem felel meg a hipotéziseknek. Ha , akkor vagy egy rövid munka azt mutatja, hogy ezután visszaesünk arra az esetre, amikor az átalakulás csak a tér vektorait érinti. t∈R{\ displaystyle \ t \ in \ mathbb {R}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}nál nélb.Tu→=d.Tu→.NÁL NÉL{\ displaystyle ab. {} ^ {T} \! {\ vec {u}} = d. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A}Tu→.NÁL NÉL=T0→{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = {} ^ {T} \! {\ vec {0}}} NÁL NÉL{\ displaystyle \ A} TNÁL NÉL{\ displaystyle \ {} ^ {T} \! A}u→≠0→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ neq {\ vec {0}}} d=0{\ displaystyle \ d = 0} nál nél=0{\ displaystyle \ a = 0} b=0{\ displaystyle \ b = 0} Tehát , , és , és . nál nél≠0{\ displaystyle \ a \ neq 0} b≠0{\ displaystyle \ b \ neq 0} d≠0{\ displaystyle \ d \ neq 0}Tu→.NÁL NÉL=α.Tu→{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = \ alfa. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}}α=nál nélbd{\ displaystyle \ alpha = {{ab} \ d} felett

• Mi pózolunk, és van , és . r||=Tu→.r→{\ displaystyle \ r_ {||} = {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r}}}r→ ||=r||.u→{\ displaystyle {\ vec {r}} ~ _ {||} = r_ {||}. {\ vec {u}}}r→=r→ ||+r→⊥{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} ~ _ {||} + {\ vec {r}} _ {\ perp}}r→⊥⊥u→{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {\ perp} \ perp {\ vec {u}}}r2=(r ||)2+(r⊥)2{\ displaystyle r ^ {2} = \ balra (r ~ _ {||} \ jobbra) ^ {2} + \ balra (r _ {\ perp} \ jobbra) ^ {2}}

• A Lorentz-transzformáció által okozott változatlanság azt jelenti . Fejlesztésével és használatával együtt kapunk . (vs.t)2-r2=(vs.t′)2-(r′)2{\ displaystyle \ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (ct ') ^ {2} - (r') ^ {2}}Tu→.NÁL NÉL=α.Tu→{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = \ alfa. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}}α=nál nélbd{\ displaystyle \ alpha = {{ab} \ d} felett (vs.t)2-r2=(nál nél2-d2).(vs.t)2+b2.(r||)2-(NÁL NÉL.r→)2{\ displaystyle \ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (a ^ {2} -d ^ {2}). (ct) ^ {2} + b ^ {2}. \ balra (r_ {||} \ jobbra) ^ {2} - \ balra (A. {\ vec {r}} \ jobbra) ^ {2}}

Ez az egyenlőség mindenkire és minden térvektorra igaz : t∈R{\ displaystyle \ t \ in \ mathbb {R}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} {nál nél2-d2=1r2=(NÁL NÉL.r→)2-b2.(r||)2{\ displaystyle {\ begin {cases} a ^ {2} -d ^ {2} = 1 \\ r ^ {2} = \ balra (A. {\ vec {r}} \ jobbra) ^ {2} - b ^ {2}. \ balra (r_ {||} \ jobbra) ^ {2} \ end {esetek}}} Az adott eset kihasználásával megkapjuk .r→=u→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {u}}} b=±d{\ displaystyle \ b = \ pm d} Kihasználva a speciális esetben (pl ), megkapjuk , és a mátrix endomorphism egy izometria a 2-dimenziós térben vektorok merőleges önmagában.r→⊥u→{\ displaystyle {\ vec {r}} \ perp {\ vec {u}}} r||=0{\ displaystyle \ r_ {||} = 0}(NÁL NÉL.r→⊥)2=(r→⊥)2{\ displaystyle \ left (A. {\ vec {r}} _ {\ perp} \ right) ^ {2} = \ left ({\ vec {r}} _ {\ perp} \ right) ^ {2} } NÁL NÉL{\ displaystyle \ A}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}} Tehát a = függőlegesre a vektorok síkjára korlátozása , és :NÁL NÉL~{\ displaystyle {\ tilde {A}}} NÁL NÉL{\ displaystyle \ A}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}ϵ=±1{\ displaystyle \ epsilon = \ pm 1} {vs.t′=nál nél.vs.t+b.r||r→ ′=ϵ.b.u→.vs.t+ϵ.nál nél.r||.u→+NÁL NÉL~.r→⊥=(ϵ.b.vs.t+ϵ.nál nél.r||).u→+NÁL NÉL~.r→⊥{\ displaystyle {\ begin {cases} ct '= a.ct + b.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' = \ epsilon .b. {\ vec {u}}. ct + \ epsilon .a.r_ {||}. {\ vec {u}} + {\ tilde {A}}. {\ vec {r}} _ {\ perp} = \ balra (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .a.r_ {||} \ right). {\ vec {u}} + {\ tilde {A}}. {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {cases}}} Val vel  nál nél2-b2=1{\ displaystyle \ a ^ {2} -b ^ {2} = 1} Ha ismét egy Lorentz-transzformációt alkalmazunk, amely csak a térbeli koordinátákat, és még pontosabban a vektorokra merőleges alterületet érinti , visszatérhetünk az esetre , és ezután megvan:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}NÁL NÉL~=énd2×2{\ displaystyle {\ tilde {A}} = Id_ {2 \ szor 2}} {vs.t′=nál nél.vs.t+b.r||r→ ′=(ϵ.b.vs.t+ϵ.nál nél.r||).u→+r→⊥⇒{vs.t′=nál nél.vs.t+b.r||r||′=ϵ.b.vs.t+ϵ.nál nél.r||r→ ⊥′=r→⊥{\ displaystyle {\ begin {cases} ct '= a.ct + b.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' = \ left (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .a. r_ {||} \ right). {\ vec {u}} + {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {cases}} \ Rightarrow {\ begin {cases} ct '= a.ct + b .r_ {||} \\ r '_ {||} = \ epsilon .b.ct + \ epsilon .a.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' _ {\ perp} = {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {esetek}}} Val vel  nál nél2-b2=1{\ displaystyle \ a ^ {2} -b ^ {2} = 1}

• Ha megválasztjuk a vektor irányát tengelyként , a hiperbolikus függvények használatával, és lehetővé tesszük az idő és a tér orientációinak megőrzésének megvitatását, megkapjuk:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}} x{\ displaystyle \ x}ϵén=±1{\ displaystyle \ epsilon _ {i} = \ pm 1}

[vs.t′x′y′z′]=[ϵ1kényelmes⁡(ϕ)-ϵ1sinh⁡(ϕ)00-ϵ2sinh⁡(ϕ)ϵ2kényelmes⁡(ϕ)0000100001][vs.txyz] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ epsilon _ {1} \ cosh (\ phi) & - \ epsilon _ {1} \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ epsilon _ {2} \ sinh (\ phi) & \ epsilon _ {2} \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}  

A Lorentz-transzformációk története és keletkezése

• Woldemar Voigt 1887-ben publikált egy cikket a Doppler-effektusról , amelyben észrevette bizonyos differenciálegyenletek változatlanságát a változók változásai alatt (a modern jelölésekben az olvasás megkönnyítése érdekében):

x′=x-vt,y′=yγ,z′=zγ,t′=t-vxvs.2,γ=11-v2vs.2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = x-vt, \ quad y ^ {\ prime} = {\ frac {y} {\ gamma}}, \ quad z ^ {\ prime} = {\ frac {z} {\ gamma}}, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}}, \ quad \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- { \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

• 1889-ben George Francis FitzGerald a Science folyóiratban megjelentette az Éter és a Föld légköre című cikket , amelyben megfogalmazta a hossz-összehúzódás hipotézisét, azt a hipotézist, amelyet Hendrik Lorentz FitzGeraldtól függetlenül is megfogalmaz egy 1892-es cikkében.

A Maxwell elektromágneses elmélete és alkalmazása 1892-ben a mozgó testekre című munkájában Lorentz a Voigt-tól eltérő átalakításokat fog alkalmazni:x′=vs.vs.2-v2x,y′=y,z′=z,t′=t-ϵvs.x′val vel ϵ=vvs.2-v2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = {\ dfrac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {\ epsilon} {c}} x ^ {\ prime} \ quad {\ text {with}} \ epsilon = {\ dfrac {v} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}Voigt és Lorentz számára ezek az átalakítások továbbra is csak matematikai eszközök, különösebb jelentésük nélkül.Lorentz ezekkel az átalakításokkal vezeti be az időkoordináta képének megfelelő helyi idő fogalmát. Ennek a helyi időnek azonban a matematikán kívül nincs más értelme számára:

„  Fontos megérteni, hogy Lorentz számára az átalakított koordináták és mezők matematikai segédeszközök voltak , közvetlen fizikai jelentőségük nélkül.  "

- Olivier Darrigol, A relativitáselmélet genezise , Poincaré-szeminárium, 2005.

• Egy 1899-ben megjelent cikkében Lorentz megfigyelte, hogy az összehúzódási hipotézis természetesen az általa újrafogalmazott átalakulásokból származik:

x′=vs.vs.2-v2x,y′=y,z′=z,t′=t-vvs.2-v2x{\ displaystyle x ^ {\ prime} = {\ dfrac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {v} {c ^ {2} -v ^ {2}}} x}

• Egy 1904-es cikkben Lorentz még különböző átalakításokat adott:

x′=klx,y′=ly,z′=lz,t′=lkt-klwvs.2xval vel k2=vs.2vs.2-w2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = klx, \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = {\ frac {l} { k}} t-kl {\ frac {w} {c ^ {2}}} x \ quad {\ text {with}} k ^ {2} = {\ dfrac {c ^ {2}} {c ^ { 2} -w ^ {2}}}}Láthatjuk tehát, hogy 1904-ben ezeknek az átalakulásoknak a formája még nem volt tökéletesen meghatározva, próbával és hibával, próbával és hibával jelent meg.

• A következő, 1905-ben Henri Poincaré bemutatja a Tudományos Akadémiának a cikket összefoglaló , az elektron dinamikájáról szóló feljegyzést, amelyet Palermóban tervez bemutatni, és amelyben megerősíti és helyesbíti Lorentz 1904-es eredményeit. a Lorentz-transzformációk (javítva)

x′=kl(x+ϵt),y′=ly,z′=lz,t′=kl(t+ϵx)val vel k=11-ϵ2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = kl (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = kl (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}}és figyelje meg, hogy csoportot kell alkotniuk.Így megadja nekik a végső formájukat (kivéve a jelet, amely csak az inverz transzformációk figyelembe vételével jár):x′=k(x+ϵt),y′=y,z′=z,t′=k(t+ϵx)val vel k=11-ϵ2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = k (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = k (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}}

• Ugyanebben az évben Einstein közzétette a mozgó testek elektrodinamikájáról írt cikkét , amelyben ugyanezeket az átalakításokat rekonstruálta, és minden jelentését megadta nekik.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Amaury Mouchet, A szimmetriák elegáns hatékonysága , Dunod,2013( online olvasás )
2. Henri Poincaré, Az elektron dinamikájáról , Proceedings of the Academy of Sciences, vol. 140. o. 1504-1508, 1905. június 5. Kézírásos feljegyzés .
3. Lorentz írja: „Ezek az általam 1904-ben publikált megfontolások indokolták Poincarét arra, hogy megírja Emlékiratát az Elektron dinamikájáról, amelyben nevemet csatolta az átalakuláshoz, amelynek imént beszéltem. [...] Nem jelöltem meg a legalkalmasabb átalakulást. Ezt Poincaré, majd MM tette. Einstein és Minkowski. "
4. Henri Poincaré, Az elektron dinamikájáról , Rendiconti del Ciorcolo matematico di Palermo , vol. 21. o. 129-176, 1906. Beküldve 1905. július 23-án.
5. Még egyszerűbb formát néha pózolással nyerünk , természetes egységek rendszerében . vs.=1{\ displaystyle ~ c = 1}
6. James H. Smith, Bevezetés a relativitáselméletbe , InterEditions (1968). 2 e kiadás javított gyakorlatokkal (1979) ( ISBN  978-2-7296-0088-4 ) . Másodközlése Masson (Dunod - 3 -én kiadás - 1997) ( ISBN  978-2-225-82985-7 )
7. WH Furry , „  Lorentz-transzformáció és Thomas precesszió  ”, American Journal of Physics , vol.  23, n o  8,1 st november 1955, P.  517–525 ( ISSN  0002-9505 , DOI  10.1119 / 1.1934085 , Bibcode  1955AmJPh..23..517F , online olvasás )
8. A négyszeres sebesség meghatározásában szereplő tényező nem invariáns a referenciakeret változása során.γu{\ displaystyle \ gamma _ {u}}
9. A spin kvadrivektor időbeli koordinátája 0-ra van rögzítve a részecske megfelelő referenciakeretében. A mozgó megfigyelő azonban érzékeli a nullától eltérő értéket és egy megváltozott forgást. ( Chaichian és Hagedorn, szimmetria a kvantummechanikában: a szögetől a szuperszimmetriáig , IoP,st{\ displaystyle s_ {t}}st{\ displaystyle s_ {t}}1997( ISBN  978-0-7503-0408-5 , online olvasás ) , p.  239)
10. Ugyanazon galilei referenciakereten belül azonban az időt továbbra is egyértelműen meghatározzák. Más szavakkal, egy adott inerciális referenciakeretben lévő összes álló óra szinkronban marad az idő múlásával, még akkor is, ha térben nagy távolságok választják el egymástól. Ez már nem áll fenn az általános relativitáselméletben, amikor az egyidejűség fogalma minden értelmét elveszíti, és lokálisan nem határozható meg .
11. JM Levy-Leblond Carroll csoportja , az IHP évkönyvei, 1965.
12. Ezt megtalálhatja Albert Einstein, Gauthier-Villard szerkesztő, A relativitáselmélet című művében, 1921, Mlle J. Rouvrière fordításában.
13. Legutóbbi példa található James H. Smith Bevezetés a relativitáselméletbe című könyvének 5. fejezetébe (Masson szerkesztő, Philippe Brenier fordításában, előszava: Jean-Marc Levy-Leblond , 1997-ben újraközölték ( ISBN  2-225-82985-3) ) ).
14. A nyilvánvalóan indokolt választásra példa Jean-Claude Boudenot Électromagnétisme et gravitation relativistes című könyvének 19. szakaszában (szerkesztő ellipszisek, 1989, ( ISBN  2-7298-8936-1 ) ); egy másik a 4. §-ban található, Lev Landau és Evgueni Lifchits , Physique theorique , t.  2: Mezőelmélet [ a kiadások részlete ].
15. Példák a kiválasztási kritériumokat részletesebben tárgyaló szövegekre: (en) EG Geográfiai Fizika a Minkowski téridőben , EG Peter Rowe, Springer-Verlag ( ISBN  1852333669 ) , 2001; (en) A Minkowski téridő geometriája, Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN  3540978488 ) , 1992, ahol az 1. fejezet 1.3. szakaszában a térbeli és időbeli orientációk megőrzése szerepel ennek a kiválasztásnak az okaként; Philippe Tourrenc Relativitás és gravitáció című könyvében (Armand Colin éditeur , ( ISBN  2-200-21209-7 ) ) a 23–25. oldalon a szerző a Levelezési elv használatával indokolja a Lorentz-transzformációk választását a speciális relativitáselmélet között a tér-idő intervallum változatlanságának hipotéziséből levezetett összes transzformáció; Ezen irányok megőrzésének kérdését részletesen tárgyalja a La géometry de la relativité specialinte című könyv 1. fejezete , Jean Parizet, szerkesztő ellipszisek, 2008, 172 oldal. ( ISBN  978-2-7298-3902-4 )
16. Ezt a módszert differenciálformák felhasználásával és tipográfiai hibákkal mutatjuk be A speciális relativitáselmélet geometriája című könyv 1. fejezetében , Jean Parizet, szerkesztő ellipszisek, 2008, 172 oldal ( ISBN  978-2-7298- 3902-4 ) .
17. Lev Landau és Evgueni Lifchits , elméleti fizika , t.  2: Mezőelmélet [ a kiadások részlete ]1.-4.
18. Ez az egyenlőség csak akkor érvényes, ha feltételezzük a tér és az idő orientációjának megőrzését a referenciakeret megváltoztatásával. Ezért minden általánosságban írnunk kell , ahol jelzi a referenciakeretek (O, x, t) és (O, x ', t') relatív orientációját, és lehetővé teszi a bekezdés végének gazdagítását egy vitával a speciális relativitáselmélet matematikájával kompatibilis különböző Lorentz-transzformációk közötti választásokról, kifejezetten bevezetve azt a hipotézist, hogy a referenciakeretek orientációja nem változik.x′=ϵ.vs.t′{\ displaystyle x '= \ epsilon .ct' \ quad}ϵ=±1{\ displaystyle \ epsilon = \ pm 1}
19. A bemutató fő szakaszai például a Speciális relativitáselmélet geometriája című könyv 1. fejezetében , Jean Parizet, szerkesztő ellipszisek, 2008, 172 oldal ( ISBN  978-2-7298-3902-4 ) .
20. Megvan: ha , akkor , akkor . Következtetés: valóban a önmagában merőleges vektorok 2. dimenziójának terének endomorfizmusa .u→⊥v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp {\ vec {v}}}Tu→.NÁL NÉL.v→=α.Tu→.v→=0{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A. {\ vec {v}} = \ alfa. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {v}} = 0}u→⊥NÁL NÉL.v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp A. {\ vec {v}}} NÁL NÉL{\ displaystyle \ A}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
21. Woldemar Voigt, Ueber das Doppler'sche Princip , Göttinger Nachrichten, szám. 7, 1887. p41-51
22. HALorentz, Die Bewegung der Erde und des Äthers , Zittingsverlag Akad. Nedves. Amszterdam, vol. 1, 1892. p74.
23. HALorentz, Maxwell elektromágneses elmélete és alkalmazása mozgó testekre , Holland Természettudományi Levéltár, T. XXV, 1892.
24. HALorentz, A mozgó rendszerek elektromos és optikai jelenségeinek egyszerűsített elmélete, a Nétherlandi Királyi Művészeti és Tudományos Akadémia közleményei, 1. évf. 1, pp. 427-442, 1899.
25. HALorentz, Elektromágneses jelenségek egy olyan rendszerben, amely kisebb, mint a fény sebessége mozog , Proceedings of the Royal Nétherlands Academy of Arts and Sciences, vol. 6, p. 809, 1904.
26. André Rougé, Korlátozott relativitás. Henri Poincaré közreműködése , École politechnika, 2008.

Lásd is

Bibliográfia

• [Voigt 1887] (de) Woldemar Voigt , „  Ueber das Doppler'sche Princip  ” , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , vol.  43 th  év, n o  21887. március 14, P.  41–51 ( olvasható a Wikiforráson , olvasható online [PDF] ).
• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon ( pref.  Of Thibault Damour ), Korlátozott relativitáselmélet: részecskéi a asztrofizika , Les Ulis és Párizs, EDP Sciences és CNRS , Coll.  "Jelenlegi / fizikai ismeretek",2010. május, 1 st  ed. , 1  köt. , XXVI -776  p. , ábra. 15,5 × 23  cm-es ( ISBN  978-2-7598-0067-4 , EAN  9782759800674 , OCLC  690.639.994 , értesítést BNF n o  FRBNF41411713 , SUDOC  14466514X , online bemutatót , olvassa el az online ).

Kapcsolódó cikkek

• Henri Poincaré
• Hendrik lorentz
• Relativitás
• Relativisztikus számítások
• Kovariancia
• Lorentz változatlansága

Külső linkek

• (en) Jean-Marc Lévy-Leblond , „  A Lorentz-transzformáció még egy levezetése  ” [PDF]
• Jean-Marc Levy-Leblond, "  Les relativités  ", Les Cahiers de Fontenay , N o  8,1977( olvasható online [PDF] ).
• (en) Victor Jakovenko, „  A Lorentz-transzformáció levezetése  ” [PDF] , Marylandi Egyetem .