Hazugság algebra ábrázolása

Ez a cikk egy vázlatot vonatkozó algebra .

Megoszthatja ismereteit fejlesztésével ( hogyan? ) A megfelelő projektek ajánlásai szerint .

A matematikában a Lie algebra reprezentációja ennek az algebrának a mátrixok , vagy általánosabban egy vektortér endomorfizmusainak algebrájaként való megírásának módja , a Lie kommunátorral, amelyet a kommutátor ad meg .

Hazugság algebrák

Legyen K legyen egy kommutatív területen jellemző eltér 2. Lie-algebra a K egy vektortér felruházott bilineáris térképet az a , amely kielégíti a következő tulajdonságokat: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(x,y)↦[x,y]{\ displaystyle (x, y) \ mapsto [x, y]}g×g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ szor {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

1. ∀x∈g, [x,x]=0{\ displaystyle \ forall x \ itt: {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
2. ∀x,y,z∈g, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.{\ displaystyle \ összes x, y, z \ itt: {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.}

Bármely vektortér biztosítható Lie algebra felépítésével, pózolással . Egy ilyen Lie algebrát, ahol a Lie zárójel azonos nulla, abelianusnak nevezünk . Egy másik, a következőkben alapvető példa a következő. Legyen V egy vektortér K felett . A vektor teret End (V) a endomorphism a V lehet látva egy Lie-algebra szerkezetet, a beállítás: . Az így kapott Lie algebrát is jelöljük . Ha V véges n dimenzió , akkor a mátrixok méretét azonosítjuk K együtthatókkal . Ezután megjegyzik .V{\ displaystyle V}∀x,y∈V, [x,y]=0{\ displaystyle \ összes x, y \ V-ben, \ [x, y] = 0}[u,v]=u∘v-v∘u{\ displaystyle [u, v] = u \ circ vv \ circ u}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}nem×nem{\ displaystyle n \ alkalommal n}gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

Egy al-Lie-algebra a egy vektor altér a stabilabb a Lie konzol, azaz olyan, hogy . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x, y \ {{mathfrak {h}}, \ [x, y] \ {{mathfrak {h}}}

Példák

• Ha abeli Lie algebra, akkor a vektor bármely altere automatikusan Lie alalgebra.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• A képzett nyomkövetés nélküli mátrixok altere egy al-Lie algebra, mert az összes A és B mátrix esetében . Ezt az alalgebrát megjegyzik .gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}tr(NÁL NÉLB)=tr(BNÁL NÉL){\ displaystyle tr (AB) = tr (BA)}sl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}

Az ideális egy Lie-algebra a vektoros altér az , hogy . A Lie algebra ideálja különösen a Lie subalgebra (de fordítva hamis). g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, y \ {{mathfrak {h}}, \ [x, y] \ in {\ mathfrak {h}}}

Példák

• Ha abeli Lie algebra, akkor a vektor bármely altere automatikusan ideális.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• A Lie részalgebra az ideális.sl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

A morfizmus két Lie algebra között, és olyan lineáris térkép , amely . A Lie algebra morfizmus magja ekkor a forrás Lie algebra ideálja és a cél Lie algebra képe Lie subalgebra képe. Egy izomorfizmus két Lie algebrák egy morfizmus Lie algebrák amely izomorfizmus vektor terek. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}φ:g→h{\ displaystyle \ varphi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}∀x,y∈g, φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi ([x, y]) = [\ varphi (x), \ varphi (y)]}

Példák

• Ha a Lie alalgebrája, akkor az in beillesztése a Lie algebrák morfizmusa, nulla maggal és képpel .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Ha ideális, akkor létezik a Lie algebra egyedi szerkezete a hányadosvektortérben úgy, hogy a kanonikus vetület a Lie algebrák morfizmusa. A p magja akkor és annak képe . A Lie algebra így meghatározott úgynevezett hányadosa Lie algebra on . Például a Lie algebra hányados az abeli Lie algebra izomorf .h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}o:g→g/h{\ displaystyle p: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}gl(nem,K)/sl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K) / {\ mathfrak {sl}} (n, K)}K{\ displaystyle K}

Képviseletek

Definíciók

A ábrázolása a Lie-algebra egy vektor térben V az adatok egy morfizmus . Más szavakkal, egy lineáris térkép, amely szintén ellenőriz . Megjegyezzük ezt az ábrázolást, vagy egyszerűen csak akkor, amikor nincs lehetséges kétértelműség . Azt is mondjuk, hogy V a - modulus vagy egyszerűen modulus . Időnként megjegyezzük az elem vektorra gyakorolt hatása helyett . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π:g→gl(V){\ displaystyle \ pi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}π{\ displaystyle \ pi}∀x,y∈g, π([x,y])=π(x)∘π(y)-π(y)∘π(x){\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi ([x, y]) = \ pi (x) \ circ \ pi (y) - \ pi (y) \ circ \ pi (x)}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}V{\ displaystyle V}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}x⋅v{\ displaystyle x \ cdot v}π(x)(v){\ displaystyle \ pi (x) (v)}x∈g{\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}v∈V{\ displaystyle v \ in V}

A reprezentáció hűnek mondható, ha a morfizmus injektív. Ebben az esetben a Lie algebra a Lie alalgebrájának tekinthető . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Egy al-ábrázolása ábrázolásából az az adat egy vektor altér W a V stabil hatására , azaz olyan, hogy . Különösen, egy vektor vonal D által generált vektor v stabil, szükséges és elégséges az V. lehet sajátvektor közös az összes endomorfizmusok . Az ábrázolás nem redukálható, ha nem enged tiszta alreprezentációt , vagyis az altérektől és az V. -től eltérően . Különösen az olyan ábrázolás az 1. dimenzió kiküszöbölhetetlen, mert ebben az esetben az egyetlen altereinek V pontosan és V . Legyen alulreprezentációja . A hányados képviselet a képviselete a a hányados tér által meghatározott . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, π(x)(W)⊂W{\ displaystyle \ forall x \ a {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) (W) \ W részhalmazbanπ(x){\ displaystyle \ pi (x)}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}V′{\ displaystyle V '}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}π¯{\ displaystyle {\ bar {\ pi}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}V/V′{\ displaystyle V / V '}∀x∈g, ∀v∈V, π¯(x)(v+V′)=π(x)(v)+V′{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forv v \ in V, \ {\ bar {\ pi}} (x) (v + V ') = \ pi (x) (v ) + V '}

A két ábrázolás és ugyanazon Lie algebra közötti morfizmus egy lineáris térkép adata, amely átvált a cselekvésre , vagyis annak . Mikor van a vektorterek izomorfizmusa, azt mondjuk, hogy a két ábrázolás izomorf. Az összes morfizmus halmaza az ábrázolások között, és vektorteret képez, amelyet jelölünk .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ:V→V′{\ displaystyle \ varphi: V \ jobbra nyíl V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, φ∘π(x)=π′(x)∘φ{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi \ circ \ pi (x) = \ pi '(x) \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schur lemma fontos eredmény e tér megértéséhez . Itt van a kijelentés: Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schur lemma  - 

• Legyen és legyen egy Lie-algebra két visszavonhatatlan ábrázolása . Bármelyiket . Akkor vagy a null térkép, vagy az izomorfizmus. Különösen, ha izomorfak és nem .V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V′){\ displaystyle \ varphi \ Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}φ{\ displaystyle \ varphi}V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V '}Homg(V,V′)={0}{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ') = \ {0 \}}
• Tegyük fel, hogy itt a mező K van algebrailag zárt . Legyen egy redukálhatatlan véges dimenziós ábrázolása . Tehát minden morfizmus az identitás többszöröse. Más szóval, .V{\ displaystyle V}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V){\ displaystyle \ varphi \ Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V)}Homg(V,V)≅K{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V) \ cong K}

Megjegyzések

• Schur lemma első pontja abból következik, hogy alulreprezentált és alulreprezentált .ker(φ){\ displaystyle ker (\ varphi)}V{\ displaystyle V}énm(φ){\ displaystyle Im (\ varphi)}V′{\ displaystyle V '}
• Schur lemma második pontja abból adódik, hogy egy véges dimenziós vektortér bármilyen endomorfizmusa legalább egy sajátértéket beenged egy algebrailag zárt mező fölé. Ezért egy morfizmus a V a V , amely nem izomorfizmus. Az első pont szerint tehát a nulltérkép, azaz . Ez az eredmény még mindig érvényes a végtelen dimenzióban, de megköveteli a spektrális tétel erejét .λ{\ displaystyle \ lambda}φ-λénd{\ displaystyle \ varphi - \ lambda id}φ=λénd{\ displaystyle \ varphi = \ lambda id}
• Schur lemma második pontja hamis egy nem algebrai szempontból zárt mező esetében. Tegyük fel például . Vegyük figyelembe a képlet által megadott ábrázolást . Ellenőrizzük, hogy az abeli Lie algebra visszavonhatatlan ábrázolása . Fontolja meg és pozícionálja . Mivel a Lie-algebra az Abel, egy morfizmus a V a V . Azt is ellenőrizhetjük, hogy valóban izomorfizmus-e. Az identitás azonban nem többszöröse. Megjegyzendő ezzel kapcsolatban, hogy nincs valós sajátértéke (ez magyarázza, hogy a lemma második pontjának igazolása miért nem érvényes ebben az esetben).K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}∀x∈R, π(x)=(kötözősaláta⁡x-bűn⁡xbűn⁡xkötözősaláta⁡x)∈gl(2,R){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) = \ bal ({\ begin {tömb} {cc} \ cos x & - sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}y=45o{\ displaystyle y = 45 ^ {o}}φ: =π(y){\ displaystyle \ varphi: = \ pi (y)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}

Példák

• Az abeli Lie algebra ábrázolása lineáris leképezési értékek az V vektortér űrkommutatív endomorfizmusának egy alterében . Például, ha V véges méretű, akkor átlós mátrixokkal ábrázolhatjuk (amelyek ingáznak közöttük).g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• A triviális ábrázolása az egy vektor térben V a képviselete által meghatározott .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}∀x∈g, π(x)=0{\ displaystyle \ forall x \ itt: {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = 0}
• Ha azt határozza meg a természetes ábrázolás az a képviselet által meghatározott . Általánosabban, a természetes ábrázolása egy Lie részalgebra a definíció szerint a felvételét a . Ezért az értékekkel van .g=gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π, Knem){\ displaystyle (\ pi, \ K ^ {n})}∀x∈g, π(x)=x{\ displaystyle \ forall x \ itt: {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = x}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}Knem{\ displaystyle K ^ {n}}
• A asszociatív reprezentáció  (en) egy Lie-algebra a képviselete által meghatározott .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(nál néld,g){\ displaystyle (hirdetés, {\ mathfrak {g}})}∀x∈g, nál néld(x): y∈g↦[x,y]∈g{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ ad (x): \ y \ in {\ mathfrak {g}} \ mapsto [x, y] \ in {\ mathfrak {g}}}
• Hagy a Abel Lie algebra dimenzió 1. meghatározni . Tekintsük a helyet . Mi határozza meg a képviseletét a V a képlet , ahol .g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}V=L2(R){\ displaystyle V = L ^ {2} (\ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}∀x∈R, π(x)(f)=f∘τx {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) (f) = f \ circ \ tau _ {x} \}τx: y∈R↦y-x∈R{\ displaystyle \ tau _ {x}: \ y \ in \ mathbb {R} \ mapsto yx \ in \ mathbb {R}}

A reprezentációk konstrukciói

• Közvetlen összeg  : let és két ábrázolása . A képlettel definiáljuk a közvetlen összegábrázolást a vektortérben . Ebben az esetben, és azok alreprezentációi .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊕π′{\ displaystyle \ pi \ oplus \ pi '}V⊕V′{\ displaystyle V \ oplus V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊕π′)(x)(v,v′)=(π(x)(v),π′(x)(v′)){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ oplus \ pi ') (x) (v, v ') = (\ pi (x) (v), \ pi' (x) (v '))}}V⊕{0}{\ displaystyle V \ oplus \ {0 \}}{0}⊕V′{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus V '}(π⊕π′,V⊕V′){\ displaystyle (\ pi \ oplus \ pi ', V \ oplus V')}
• Tenzor termék  : let és két ábrázolása . A képlettel definiáljuk a tenzor szorzatábrázolást a vektortérben .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊗π′{\ displaystyle \ pi \ otimes \ pi '}V⊗V′{\ displaystyle V \ otimes V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊗π′)(x)(v⊗v′)=π(x)(v)⊗v′+v⊗π′(x)(v′){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ otimes \ pi ') (x) (v \ otimes v ') = \ pi (x) (v) \ otimes v' + v \ otimes \ pi '(x) (v')}
• Ellentmondásos  : vagy a . Mi határozza meg a contragredient képviselet kettős vektortér a képlet .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π∗{\ displaystyle \ pi ^ {*}}V∗{\ displaystyle V ^ {*}}∀x∈g, ∀v∗∈V∗, π∗(x)(v∗)=-v∗∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v ^ {*} \ in V ^ {*}, \ \ pi ^ {*} (x) (v ^ {*}) = -v ^ {*} \ circ \ pi (x)}
• A morfizmusok tere  : let és két ábrázolása . Láttuk, hogyan definiálhatjuk a morfimák vektorterét V -ből . Mi határozza meg a képviseletet is jelöljük meg ezt a helyet, amelyet a képlet .(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Homg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}V′{\ displaystyle V '}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀x∈g, ∀φ∈Homg(V,V′), π(x)(φ)=-φ∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V '), \ \ pi (x) (\ varphi) = - \ varphi \ circ \ pi (x)}
• Korlátozás a Lie alalgebrára  : legyen a reprezentációja . Legyen a Lie alalgebrája . Aztán egy ábrázolása , az úgynevezett korlátozása a . Időnként a minősítésekkel való visszaélés tapasztalja.(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π|h,V){\ displaystyle (\ pi _ {| {\ mathfrak {h}}}, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}V|h{\ displaystyle V_ {| {\ mathfrak {h}}}}

A ábrázolása nem bontható össze, ha nem izomorf a két megfelelő részábrázolás közvetlen összegével. Különösen minden visszavonhatatlan ábrázolás felbonthatatlan, de fordítva hamis. A képviselet félig egyszerű (vagy teljesen redukálható ), ha izomorf egy direkt összege nem csökkenthető al-reprezentációja (esetleg végtelen sok). A szétszerelhetetlen és félig egyszerű ábrázolás szükségszerűen nem olvasható. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Példák

• Legyen az 1. dimenzió abeli Lie algebra a mező felett . A képlettel definiáljuk az in ábrázolását . Ez az ábrázolás nem visszavonhatatlan. Például a vektor által generált vonal stabil, akárcsak a vektor által generált vonal . Ezért két alreprezentációról van szó, amelyek az 1. dimenzió miatt visszavonhatatlanok. Most megvan . Tehát az ábrázolás félig egyszerű.g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π(x)=(x00-x)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} x & 0 \\ 0 & -x \ end {tömb}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}(10){\ displaystyle \ left ({\ begin {tömb} {c} 1 \\ 0 \ vége {tömb}} \ jobb)}D2{\ displaystyle D_ {2}}(01){\ displaystyle \ left ({\ begin {tömb} {c} 0 \\ 1 \ vége {tömb}} \ jobb)}π{\ displaystyle \ pi}D1⊕D2=R2{\ displaystyle D_ {1} \ oplus D_ {2} = \ mathbb {R} ^ {2}}π{\ displaystyle \ pi}
• A jelöléseket az előző példa, akkor is úgy a képviseletet az alábbi képlet határozza meg . A vonal ismét stabil altér. Tehát a reprezentáció nem visszavonhatatlan. Általánosabban ellenőrizhetjük, hogy ez az egyetlen stabil vonal, és ezért az egyetlen alulreprezentációja . Így felbonthatatlan.π′{\ displaystyle \ pi '}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π′(x)=(1x01)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi '(x) = \ balra ({\ begin {array} {cc} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}π′{\ displaystyle \ pi '}
• Tartsuk mindig ugyanazokat a jelöléseket. Mi határozza meg a képviseletet az a következő képlettel . Az ábrázolással ellenőrizhetjük, hogy nincsenek-e stabil vonalak . Más szavakkal, visszavonhatatlan.π″{\ displaystyle \ pi ''}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π″(x)=(kötözősaláta⁡x-bűn⁡xbűn⁡xkötözősaláta⁡x)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi '' (x) = \ balra ({\ begin {tömb} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {tömb}} \ jobb) \ itt: {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}π″{\ displaystyle \ pi ''}π″{\ displaystyle \ pi ''}

Ez a három példa azt a tényt tükrözi, hogy egy valós mátrix lehet diagonalizálható vagy trigonalizálható, de nem diagonalizálható, vagy nincs valós sajátértéke . Így látjuk, hogy a Lie algebra reprezentációjának fogalma általánosítja az endomorfizmusok redukciójának klasszikus fogalmát .

Kapcsolat a burkoló algebra ábrázolásával

A Lie algebra burkoló algebra

Legyen A asszociatív algebra az egységgel. Ekkor létezik a A szerkezet a Lie-algebra, amelyre a Lie konzol a következő képlet adja . Néha ezt a Lie algebrát jelöljük . Így minden asszociatív algebra Lie-algebrát nyújt. Láttuk, hogy ez egy példa erre a konstrukcióra. Adhatunk-e fordított értéket ennek az eredménynek? Felépíthetünk asszociatív algebrát a Lie algebrából. Ez az ötlet a Lie algebra burkoló algebra fogalmához vezet. ∀nál nél,b∈NÁL NÉL, [nál nél,b]=nál nélb-bnál nél{\ displaystyle \ forall a, b \ in A, \ [a, b] = ab-ba}NÁL NÉLL{\ displaystyle A_ {L}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Van egy Lie algebra felett K . Legyen a tenzori algebra . Legyen J a tenzorok által generált kétoldali ideál minden x és y esetén . A burkoló algebra a hányadosként definiált egységes asszociatív algebra . Megjegyezzük . A készítményt az úgynevezett kanonikus alkalmazása a saját borítékolás algebra. Algebraként 1 és a kép generálja . Ezenkívül a Lie algebrák morfizmusa az in . A Lie algebra burkoló algebra kielégíti a következő univerzális tulajdonságot: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}x⊗y-y⊗x-[x,y]∈T(g){\ displaystyle x \ otimes yy \ otimes x- [x, y] \ T-ben ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g)/J{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) / J}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι:g↪T(g)→U(g){\ displaystyle \ iota: {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow T ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι(g){\ displaystyle \ iota ({\ mathfrak {g}})}ι{\ displaystyle \ iota}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g)L{\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) _ {L}}

A burkoló algebra univerzális tulajdonsága  -  Legyen A asszociatív algebra egy egységgel. Hagy egy morfizmus Lie algebrák a in . Ekkor létezik az A- ból származó asszociatív algebrák egyedi morfizmusa , amely és . φ{\ displaystyle \ varphi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}NÁL NÉLL{\ displaystyle A_ {L}}Φ{\ displaystyle \ Phi}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}Φ(1)=1{\ displaystyle \ Phi (1) = 1}Φ∘ι=φ{\ displaystyle \ Phi \ circ \ iota = \ varphi}

Példa

• Ha abeli Lie algebra, akkor a burkoló algebráját szimmetrikus algebrájával azonosítjuk, amely maga (egy bázis kiválasztása után) azonosítja a polinomok algebráját. Különösen izomorf a meghatározatlan polinomok algebra vonatkozásában .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}S(g){\ displaystyle {\ mathcal {S}} ({\ mathfrak {g}})}U(K){\ displaystyle {\ mathcal {U}} (K)}K[x]{\ displaystyle K [X]}

A Lie algebra ábrázolása vs burkoló algebra ábrázolása

Legyen egy ábrázolása . Mivel egy asszociatív algebra egység, az univerzális tulajdonsága azt jelenti, hogy létezik egy egyedi morfizmus algebrák , hogy . Ez a művelet tehát lehetővé teszi a Lie algebra reprezentációjáról az asszociatív algebrák morfizmusára való áttérést. Ezzel szemben az asszociatív algebrák bármely morfizmusa korlátozással adja a Lie algebrák morfizmusát, vagyis a . Ezt az elvet a kategóriák ekvivalenciájaként értelmezik egy adott Lie algebra ábrázolási kategóriája és burkoló algebra reprezentációinak kategóriája között. (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π~:U(g)→gl(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}∀x∈g, π~(x)=π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ {\ tilde {\ pi}} (x) = \ pi (x)}π~:U(g)→gl(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Ez az új nézőpont azért fontos, mert lehetővé teszi új alapvető tárgyak figyelembe vételét. Ezek közül az első egy előadás lemondása. Legyen egy ábrázolása . Jegyezzük meg ismét betűvel azt az ábrázolást, amelyből levezetjük. Ezután a megszüntetést a V halmaza . Kétoldali ideál, mert az algebrák morfizmusa. Bármely ideált, amely a redukálhatatlan ábrázolásának érvénytelenítője, primitív ideálnak nevezzük . (π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}NÁL NÉLnemnem(V): ={u∈U(g), π(u)=0}{\ displaystyle Ann (V): = \ {u \ in {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}), \ \ pi (u) = 0 \}}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Legyen egy ábrázolása . Jegyezzük meg ismét betűvel azt az ábrázolást, amelyből levezetjük. Minden v a V , a készlet definiálja egy nem-zéró alulreprezentáltság V . Ha V redukálhatatlan, akkor megvan . Általánosabban, a reprezentáció V azt mondják, hogy a ciklikus , ha létezik olyan, hogy . Az v vektort ciklikus vektornak nevezzük . A képviselet V irreducibilis, ha, és csak akkor, ha minden nem nulla vektor V ciklikus. A reprezentációs V azt mondják, hogy a véges típusú , ha létezik véges számú vektorok az V olyan, hogy . A redukálhatatlan ábrázolás tehát véges típusú. Legyen V ciklikus ábrázolás, és v legyen ciklikus vektor. Ezután a képlettel definiálunk egy alkalmazást . A rendszermag az a törlő a v , jelöljük . Ez ideális baloldal . Mivel V ciklikus, a kép megegyezik az összes V-vel . Ezért arra következtetünk . Így minden ciklikus reprezentáció (és különösen minden redukálhatatlan reprezentáció) a borítékoló algebra hányadosaként jelenik meg . Sőt, ha V irreducibilis, akkor az ideális maximális. Így a redukálhatatlan ábrázolásainak osztályozása egyenértékű a burkoló algebra maximális bal ideáljainak osztályozásával.(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π(U(g))(v){\ displaystyle \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}V=π(U(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v∈V{\ displaystyle v \ in V}V=π(U(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v1,...,vnem{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}V=∑k=1nem π(U(g))(vk){\ displaystyle V = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v_ {k})}φ:U(g)→V{\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow V}φ(u)=π(u)(v){\ displaystyle \ varphi (u) = \ pi (u) (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}NÁL NÉLnemnem(v){\ displaystyle Ann (v)}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}φ{\ displaystyle \ varphi}V≅U(g)/NÁL NÉLnemnem(v){\ displaystyle V \ cong {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) / Ann (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}NÁL NÉLnemnem(v){\ displaystyle Ann (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Példa Tekintsük a kommutatív Lie algebrát . Azonosítsa annak burkoló algebráját a polinomok gyűrűjével . Ez a gyűrű fő , ezért ideáljait egyetlen polinom generálja. Ezenfelül, ha egy polinom P (X) tudja bontani a formában , akkor az ideális által generált P tartalmazza az ideális által generált . A d'Alembert-Gauss-tétel ekkor azt sugallja, hogy a maximális ideálok a forma ideáljai , egy mindent leírva . A megfelelő hányados ezután izomorf és fellépése adja , és . Most nézzük meg a hányadost hol . Ha a hányados egy félig egyszerű ábrázolás, a két irreducibilis ábrázolás közvetlen összege és . Alapvetően más a helyzet, amikor . Ebben az esetben a hányados a 2. dimenzió vektortere, amelyen a szorzóval adott operátor a 2. index nilpotense. A Lie algebra reprezentációját tekintve ez a hányados megfelel a képlet által megadott reprezentációnak , amely lebonthatatlan, de nem irhatatlan. VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[x]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}P(x)=Q(x)(x-nál nél){\ displaystyle P (X) = Q (X) (Xa)}(P){\ displaystyle (P)}(x-nál nél){\ displaystyle (Xa)}x-nál nél{\ displaystyle Xa}VS[x]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}(x-nál nél){\ displaystyle (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[x]/(x-nál nél){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[x]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}1⋅1¯=1¯{\ displaystyle 1 \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {1}}}x⋅1¯=nál nél¯{\ displaystyle X \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {a}}}VS[x]/(P){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (P)}P(x)=(x-nál nél)(x-b){\ displaystyle P (X) = (Xa) (Xb)}nál nél≠b{\ displaystyle a \ not = b}VS[x]/(x-nál nél){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS[x]/(x-b){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xb)}nál nél=b{\ displaystyle a = b}x-nál nél{\ displaystyle Xa}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}π(z)=(nál nélz0nál nél){\ displaystyle \ pi (z) = \ balra ({\ begin {array} {cc} a & z \\ 0 & a \ end {tömb}} \ jobbra)}

Indukció

Legyen egy Lie algebra. Legyen a Lie alalgebrája . Legyen egy ábrázolása . Láttuk, hogy korlátozással megszerezhetjük a reprezentációt . A burkoló algebra fogalma egyszerű eszközt ad a kölcsönös probléma mérlegelésére. Legyen tehát egy reprezentációja , amelyet a burkoló algebra reprezentációjának tekintünk . A Poincaré-Birkhoff-Witt tétel következménye, hogy a . Másrészt ábrázolja, ha a tenzorokon bal szorzással cselekszünk . Ezután elkészítjük az ábrázolást . Ezt nevezik a képviselet által kiváltott re a által . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}U(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}U(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}énnemdhg(V′): =U(g)⊗U(h)V′{\ displaystyle Ind _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} (V '): = {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ otimes _ {{\ mathcal { U}} ({\ mathfrak {h}})} V '}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π′,V′){\ displaystyle (\ pi ', V')}

Kapcsolat a Lie csoportok ábrázolásával

Ebben a részben, a test K jelentése (vagy ). A G Lie csoport egy valós (vagy komplex) differenciálcsatorna, amely két térképpel rendelkezik, és sima (vagy holomorf), azaz egy csoport . Maga a K mező kommutatív Lie csoport. A Lie csoportok másik példája az n méretű invertálható mátrixok csoportja . A Lie csoportmorfizmus egy differenciálható (vagy holomorf) csoportmorfizmus. A véges dimenziós ábrázolása Lie csoport G egy morphsime a G in . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} μ: G×G→G{\ displaystyle \ mu: \ G \ szorzat G \ jobbra nyíl G}én: G→G{\ displaystyle i: \ G \ jobbra nyíl G}(G, μ, én){\ displaystyle (G, \ \ mu, \ i)}GL(nem,K){\ displaystyle GL (n, K)}GL(nem,K){\ displaystyle GL (n, K)}

A hazugságcsoportok a Lie algebrákhoz kapcsolódnak. Valójában a G Lie-csoport érintőtere az identitásban egy véges dimenziójú Lie-algebra, amelyet a G- csoport Lie-algebrájának nevezünk és megjegyezünk . Például, a Lie-algebra a K jelentése K önmagában; A Lie algebra van . Mivel a G Lie Lie-csoport Lie algebra az identitás érintőtere, valójában csak az identitás összekapcsolt összetevőjétől függ. Így például a szigorúan pozitív determinánssal rendelkező valós mátrixok csoportja ugyanazzal a Lie algebrával rendelkezik, mint a . Másrészt az izomorfizmusig létezik egy egyedi összekapcsolt és egyszerűen összekapcsolt Lie-csoport , amelynek adott (véges dimenziójú) Lie-algebra van. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}GL(nem,K){\ displaystyle GL (n, K)}gl(nem,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}GL+(nem,R){\ displaystyle GL ^ {+} (n, \ mathbb {R})}GL(nem,R){\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}

Mivel a Lie csoportok közötti morfizmus hipotézis szerint differenciálható, feltérképezést indukál az alapul szolgáló Lie algebrák között . Ez a térkép valójában a Lie algebrák morfizmusa. Különösen, ha a G Lie-csoport bármilyen ábrázolása a Lie-algebra véges dimenziós reprezentációját eredményezi . Ezzel szemben a Lie algebra bármilyen véges dimenziós ábrázolása az egyedülálló, egyszerűen összekapcsolt Lie csoport reprezentációjából származik, amelynek Lie algebra a Lie algebra . φ: G→H{\ displaystyle \ varphi: \ G \ rightarrow H}dφ: g→h{\ displaystyle d \ varphi: \ {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}dφ{\ displaystyle d \ varphi}H=GL(nem,K){\ displaystyle H = GL (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Megjegyzés A Lie-csoportok reprezentációjának erőteljesebb elképzelései teszik lehetővé az elmélet kiterjesztését a végtelen dimenzióra, az utóbbi eredmény analógjának megtartása mellett. Ezek például az elfogadható ábrázolások és a -modulok fogalma . (g,K){\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}

Modul kategória

Legyen egy Lie algebra. Az összes -modulok halmaza (vagy egyenértékűen az összes ábrázolása ) kategóriát alkot , amelyet jelölünk . Ez a kategória abeli . Különösen figyelembe vehetjük a modulok pontos szekvenciáit. Egy pontos szekvenciáját a a megadott három modulusok M , N , P és két injektív és szürjektıv morfizmusok. Megjegyezünk egy ilyen sorrendet. A modul P jelentése projektív ha pontos sorrendben van osztva, azaz, ha létezik egy morfizmus olyan, hogy . Egy ekvivalens definíció a következő: a P modulus projektív, ha bármilyen szurjektív morfizmus és bármilyen morfizmus esetében létezik olyan egyedi morfizmus , amely . Egy kettős módon modulusa én is injektív ha pontos szekvenciáját is osztott. Ezzel egyenértékű definíció a következő: az I. modul injektív, ha bármilyen injektív morfizmus és bármilyen morfizmus esetében létezik olyan egyedi morfizmus , amely .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}én:NEM→M{\ displaystyle i: N \ jobbra nyíl M}o:M→P{\ displaystyle p: M \ jobbra nyíl P}0→NEM→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}0→NEM→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}s:P→M{\ displaystyle s: P \ jobbra nyíl M}o∘s=énd{\ displaystyle p \ circ s = id}f:NEM→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:P→M{\ displaystyle h: P \ rightarrow M}h′:P→NEM{\ displaystyle h ': P \ jobbra nyíl N}f∘h′=h{\ displaystyle f \ circ h '= h}0→én→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow I \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}f:NEM→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:NEM→én{\ displaystyle h: N \ jobbra nyíl I}h′:M→én{\ displaystyle h ': M \ jobbra nyíl I}h′∘f=h{\ displaystyle h '\ circ f = h}

Mivel bármely modul egyben a gyűrű modulja is, használhatjuk a modulok általános fogalmait a gyűrűn . A modulus M jelentése a véges hosszúságú , ha létezik egy véges sorozat részmodulokat úgy, hogy az egymást követő hányadosok nem redukálhatók modulust mutatnak. Egy ilyen szekvenciát nevezzük Jordan-Hölder a M . Egy véges hosszúságú modul esetében az izomorfizmusok osztály hányadosa csak az M modultól függ . Különösen a egész szám, n csak attól függ, a modulus M és az úgynevezett hossza a modul M . Például bármely redukálhatatlan modul értéke 1 hosszú, két irreducibilis modul bármely közvetlen összege 2 hosszú.U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯⊂Mnem=M{\ displaystyle \ {0 \} \ M_halmaz {1} \ M_halmaz M_ {2} \ subset \ cdots \ M_halmaz M_ {n} = M}Mén+1/Mén{\ displaystyle M_ {i + 1} / M_ {i}}

A modul M jelentése artinian ha csökkenő sorrendet részmodulokat stacionárius. Például bármely véges dimenziós modulus artinikus. Az M modul nem éteres, ha a szubmodulok növekvő szekvenciája álló helyzetben van. Mivel a burkoló algebra egy Noetherian gyűrű , egy modul M jelentése Noetherian akkor és csak akkor, ha a véges típusú. A modul akkor és csak akkor véges hosszúságú, ha Noetherian és Artinian.M⊃M1⊃M2⊃⋯{\ displaystyle M \ supset M_ {1} \ supset M_ {2} \ supset \ cdots}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯{\ displaystyle \ {0 \} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ cdots}U(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}

Példa A véges dimenziós modulus mindig noetheriás és artiniánus, ezért mindig véges hosszúságú. Ez már a végtelen dimenzióban sem érvényes, még egy abeli Lie algebra esetében sem. Tegyük fel például, hogy . Tekintsük azt a modulust, ahol a hatását az z skalárral való szorzás adja . Az akcióját tehát a bal szorzás adja. Tehát minden bal ideál egy L almodul . (P) megjegyzés : a P polinom által generált ideál . Legyen egy komplex számok végtelen sora. Ezután a következő csökkenő sorrendben: . Ez egy nem stacionárius szubmodul-sorozat, amelynek egymást követő hányadai redukálhatatlan modulok (az 1. dimenzió miatt). Így L nem artinista és nem véges hosszúságú. Vegye figyelembe, hogy L nem-éter, mert véges típusú modulus (valójában ciklikus, amelyet az 1 állandó polinom generál ).g=VS{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {C}}L=VS[x]{\ displaystyle L = \ mathbb {C} [X]}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}U(VS)=VS[x]{\ displaystyle {\ mathcal {U}} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} [X]}nál nél1,nál nél2,...{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}⋯⊂(x-nál nél1)⋯(x-nál nélnem)⊂⋯⊂(x-nál nél1)(x-nál nél2)⊂(x-nál nél1)⊂L{\ displaystyle \ cdots \ subset (X-a_ {1}) \ cdots (X-a_ {n}) \ subset \ cdots \ subset (X-a_ {1}) (X-a_ {2}) \ subset ( X-a_ {1}) \ L részhalmaz

A alkategória teljes a jelentése Artinian (illetve Noetherian), ha minden tárgy Artinian (illetve Noetherian) modulokat. Artinussal és noetheriannal teli alkategóriában bármely tárgy véges hosszúságú. A alkategória teljes területén elég projektív ha bármilyen tárgy M alkategóriában van egy projektív modul P alkategóriában és szürjektıv morfizmus P a M . Ő elég injektıv , ha bármilyen tárgy M az al-kategóriában van injektív modul I az al-kategória és injektív morfizmus M a I . Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}

Hivatkozások

• N. Bourbaki , Matematika elemei , Csoportok és Lie algebrák, 1. fejezet, Springer, 2007 ( ISBN  978-3-540-35335-5 )
• Jacques Dixmier , Borítékoló algebrák , Jacques Gabay, 1996 ( ISBN  2-87647-014-4 )
• Brian Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations , Springer, 2003 ( ISBN  978-0-387-40122-5 )
• James Humphreys, Bevezetés a hazug algebrákba és a reprezentációelmélet , második nyomtatás, átdolgozva. Matematika diplomás szövegek, 9. Springer, 1978 ( ISBN  0-387-90053-5 )
• Nathan Jacobson , Lie algebras , Az 1962-es eredeti újraközlése , Dover, 1979 ( ISBN  0-486-63832-4 )

Kapcsolódó cikkek

• Ábrázoláselmélet
• Csoportképviselet
• Hazugságcsoport képviselete
• Véges csoport ábrázolásai

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">