Érintőtér
A pontbeli egy ponton p egy eltérés sokrétű M egy vektortér , hogy ösztönösen a készlet minden vektorok - sebesség lehetséges, hogy egy „mobil” mozgó (anélkül, hogy kilép) tartományban M ha be van kapcsolva p .
A fizikában az érintőtér leírásának általános módja az, ha azt mondjuk, hogy az abban szereplő vektorok az elsőnek végtelenül közeli pontok és a sokaság pontjai közötti különbségeket képviselik. Az érintő tér értelmezésének ez a módja azt jelenti, hogy figyelembe vesszük, hogy a sokaság helyileg olyan szerkezettel rendelkezik, mint egy affin tér .
Meghatározás a fajta süllyesztésekor
Amikor a gyűjtőcsőben zuhant be ℝ n , a pontbeli egy pont p egyszerűen a vektorhalmaz érintőjének p , hogy a görbék (osztály C 1 ) ábrázoljuk a sokrétű és tartalmazó p .
Formális meghatározás
Meghatározás az utak szempontjából
Tegyük fel, hogy M az n dimenzió differenciál sokasága, a C 1 osztály és p az M pontja . Legyen ( U , φ) egy helyi térképet a M in p . Két γ 1 , γ 2 :] –1, 1 [→ M görbét úgy, hogy φ∘γ 1 és φ∘γ 2 0-ban differenciálhatók, akkor azt mondjuk, hogy kölcsönösen érintenek p-ben, ha γ 1 (0) = γ 2 (0) = p és (φ∘γ 1 ) '(0) = (φ∘γ 2 )' (0). Ez a fogalom nem a választott kártyától függ.
Ellenőrizhetjük, hogy az így definiált reláció ekvivalencia reláció . Az V. ekvivalenciaosztályt p- nél M érintővektornak nevezzük . Az előző térképen az V vektort egyenlő (φ∘γ) '(0) vektor képviseli , ahol γ az egyenértékűségi osztály bármely elemgörbéje.
Az osztályok halmaza az tangens tér p- től M-ig , T p M- vel jelölve . A γ ↦ (φ∘γ) '(0) függvény a hányadosnak egy T p M- ből bij n -be kerülő bijekciót indukál, amely az tangens teret vektortérré teszi. A térképek megváltoztatásának képlete azt mutatja, hogy a vektor szerkezete nem függ a választott helyi térképtől.
Meghatározás a levezetés szempontjából
Az előző jelölésekkel legyen az f függvénye M valós értékekkel, osztálynak . Ha van olyan p helyi térképünk ( U , φ) , amely (például), φ ( p ) = 0, akkor a függvény osztályfüggvény , 0-t tartalmazó szomszédságban definiálva , valós értékekkel. Ha átadjuk magunkat egy vektor a , tudjuk majd kiszámítja a irányított származékot az F szerinti :
Ellenőrizzük, hogy az eredmény nem a választott térképtől függ, hanem csak az f függvénytől és az előző bekezdésben meghatározott V. ekvivalencia osztálytól , és amelyekre az adott térképen van. Megjegyezzük, ill . A vektor így definiál egy származtatási műveletet az f függvényeken , egyenlő az előző térképen. Ezzel szemben bármely levezetési művelet ilyen formájú, ezért meghatároz egy vektort. Ez a módszer lehetővé teszi az M- t érintő vektorok azonosítását a p pontban a valós értékű függvények p pontjának levezetéseivel .
