Affin koordináta rendszer
Az affin geometriában egy affin keretbe foglal egy affin teret, hogy az ember a tér bármely pontján társuljon az egyhez, egy olyan koordinátahalmaz a testben található értékekkel, amelyen meg van határozva a társított vektor tér. Az affin térképet egy affin koordináta-rendszer képe határozza meg és határozza meg teljes mértékben.
A terminológia nincs pontosan rögzítve: az affin benchmark név alatt két különálló, de szorosan összefüggő fogalmat találunk. Az első egy affin koordináta-rendszer, amelyet ebben az esetben Cartesian-koordinátarendszernek is nevezünk, a figyelembe vett affin tér egy pontjából és a hozzá tartozó vektortér alapjából áll. A második, az affin koordinátarendszer, amelyet ebben az esetben affin bázisnak is nevezünk, az affin térben lévő pontok rendezett nullapontja, oly módon, hogy a pontok halmaza nem egy másik affin térben található, mint a teljes tér ( generáló család ), és hogy egyetlen pont sem tartozik a fennmaradó pontok ( szabad finomítócsalád vagy független finomítópontok ) által generált affin altérbe . A derékszögű koordináta-rendszer nagyon megkönnyíti az affin alap meghatározását és fordítva.
N véges dimenziós affin tér esetén az affin referenciakeret a derékszögű referenciakeret értelmében egy pontról és n vektorból áll (bizonyos sorrendben), affin referenciakeretről az affin bázis értelmében áll n + 1 pont, ismét egy meghatározott sorrendben.
A derékszögű koordináták természetesen egy derékszögű koordináta-affin keretben vannak kifejezve az érzékeléshez, és a baricentrikus koordináták természetesen affin keretben vannak kifejezve affin bázis alatt, amelyek szintén néha baricentrikusak .
Affin vagy derékszögű koordinátarendszer
Meghatározás
Egy affin térben, ahol a vektortér a K testen viseli szerkezetét , az affin keret vagy a derékszögű keret pár
E=(E,V){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (E, V)}V{\ displaystyle V}
R=(O;e){\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (O; e)},
hol van egy pontja ( a koordinátarendszer eredetének nevezik ), és ennek bármilyen alapja .
O{\ displaystyle O}E{\ displaystyle E}e{\ displaystyle e}V{\ displaystyle V}
Bármely pont a , található annak derékszögű koordinátáit a keretben : ezek koordinátáit a vektor a bázis a . Ha n véges dimenziójú, akkor az alap meg van írva, és megvan:
M{\ displaystyle M}E{\ displaystyle E}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}}}e{\ displaystyle e}V{\ displaystyle V}E{\ displaystyle E}e=(e1,e2,...,enem){\ displaystyle e = (e_ {1}, e_ {2}, \ pontok, e_ {n})}
MR=OM→e{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = {\ overrightarrow {OM}} _ {e}},
ahol jelöli a koordinátái a koordináta-rendszerben , és a jelöli a koordinátákat a vektor a bázis .
MR∈Knem×1{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} \ K ^ {n \ szor 1}}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}OM→e{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} _ {e}}OM→∈V{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} \ in V}e{\ displaystyle e}
Ez a meghatározás annak a ténynek a birtokában jogos, hogy egy kiváltságos pont megválasztása lehetővé teszi a pontok és a vektortér (lásd az affin tér ) egy-egy megfelelésének megteremtését . A választott origó, az E pontok koordinátái a vektorok koordinátái, amelyeket az egy-egy megfelelés társít.
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}V{\ displaystyle V}
Bármely E A és B pont pár esetében a következő egyenlőség következik a meghatározásból:
- NÁL NÉLB→e=BR-NÁL NÉLR.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} _ {e} = B _ {\ mathcal {R}} - A _ {\ mathcal {R}}.}
A referencia változásának egyenletei affin terekben
Ugyanabban az affin dimenziós térben , ha és két különböző referenciakeret van, akkor a koordinátákat ugyanazon pont koordinátáiból kapják meg, de a keretben , a következő egyenletek felhasználásával:
E=(E,V){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (E, V)}nem{\ displaystyle n}R=(O;e){\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (O; e)}R′=(O′;e′){\ displaystyle {\ mathcal {R}} '= (O'; e ')}MR′=(x1′x2′⋮xnem′){\ displaystyle M _ {{\ mathcal {R}} '} = {\ begin {pmatrix} x' _ {1} \\ x '_ {2} \\\ vdots \\ x' _ {n} \ end {pmatrix}}}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}MR=(x1x2⋮xnem){\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}}
{x1′=nál nél11.x1+nál nél12.x2+⋯+nál nél1nemxnem+b1x2′=nál nél21x1+nál nél22.x2+⋯+nál nél2nemxnem+b2⋮xnem′=nál nélnem1x1+nál nélnem2x2+⋯+nál nélnemnemxnem+bnem{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '_ {1} = a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ pontok + a_ {1n} x_ {n} + b_ {1} \\ x '_ {2} = a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ pont + a_ {2n} x_ {n} + b_ {2} \\\ vdots \\ x '_ {n} = a_ {n1} x_ {1} + a_ {n2} x_ {2} + \ pont + a_ {nn} x_ {n} + b_ {n} \\\ end {mátrix }} \ jobb.}
amelyek matricially vannak írva , ahol a mátrix a folyosón a át a bázis , hogy a bázis , és aMR′=NÁL NÉL⋅MR+B{\ displaystyle M _ {{\ mathcal {R}} '} = A \ cdot M _ {\ mathcal {R}} + B}NÁL NÉL=(nál nélénj)1≤én,j≤nem{\ displaystyle A = (a_ {ij}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}V{\ displaystyle V}e′{\ displaystyle e '}e{\ displaystyle e}B=(b1b2⋮bnem)=OR′.{\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {n} \ end {pmatrix}} = O _ {{\ mathcal {R}} '} .}
A és a kapcsolat a következő:
OR′{\ displaystyle O _ {{\ mathcal {R}} '}}OR′{\ displaystyle O '_ {\ mathcal {R}}}
OR′=-NÁL NÉL⋅OR′.{\ displaystyle O _ {{\ mathcal {R}} '} = - A \ cdot O' _ {\ mathcal {R}}.}
Ekkor írjuk fel a referencia másik irányú ( felé ) változásának egyenleteit :
R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}
MR=NÁL NÉL-1⋅MR′-NÁL NÉL-1B=NÁL NÉL-1⋅MR′+OR′.{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = A ^ {- 1} \ cdot M _ {{\ mathcal {R}} '} - A ^ {- 1} B = A ^ {- 1} \ cdot M_ {{\ mathcal {R}} '} + O' _ {\ mathcal {R}}.}
Affin tereptárgyak és kanonikus affin tér
Az affin tér bármely affin koordinátarendszere lehetővé teszi egy (affin) izomorfizmus megállapítását a kanonikus affin tér között. Valójában a
R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}} NÁL NÉLnem(K).{\ displaystyle A ^ {n} (K).}T:E→NÁL NÉLnem(K){\ displaystyle T: {\ mathcal {E}} \ - A ^ {n} (K)}
T(M)=MR,{\ displaystyle T (M) = M _ {\ mathcal {R}},}bármely pontra ,
M{\ displaystyle M}
vagyis a térkép, amely a koordinátáinak bármelyik pontjában társul, elemként tekinthető , bijektív affin térkép, és reciproka is affin ( affin izomorfizmus).
E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Knem{\ displaystyle K ^ {n}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}NÁL NÉLnem(K),{\ displaystyle A ^ {n} (K),}T{\ displaystyle T}
A mezőn és az n dimenzióban lévő bármely affin tér ekkor izomorf (az affin tér szempontjából azonos módon viselkedik) a kanonikus affin térrel. A vizsgálandó affin terek tehát egyszerűen a kanonikus affin terek (amelyeket szintén jelölünk ) szolgálnak modellek .
K{\ displaystyle K}NÁL NÉLnem(K).{\ displaystyle A ^ {n} (K).}NÁL NÉLnem{\ displaystyle A_ {n}}
Referencia vagy affin bázis
Az E tér affin bázisa , amelyet sok szerző affin referenciának is nevez, e tér pontjainak családja, az egész tér szabad finomítása és generátora.
Ingyenes finomító család
Egy affin tér E , családi (A i ) i ∈ I pontok E mondják, hogy szabad finomítására, ha egyik pont az A j a család tartozik az altér által generált többi pont (A i ) i ∈ Én , i ≠ j . Valójában többféleképpen lehet azt mondani, hogy a család szabad finomítás, azáltal, hogy visszatér az alapul szolgáló vektortérbe, vagy akár barycenterek segítségével . Így egy család akkor és kizárólag akkor ingyenes finomítás, ha kielégíti a következő tulajdonságok egyikét (mindegyik egyenértékű):
- egy adott j esetén az I- ben a vektorok családja:
(NÁL NÉLjNÁL NÉLén→)én∈én,én≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ I, i \ neq j}}
egy
ingyenes családi ;
- minden j-re az I-ben , a vektorok családjában:
(NÁL NÉLjNÁL NÉLén→)én∈én,én≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ I, i \ neq j}}
egy
ingyenes családi ;
- Az (A i ) i ∈ I család egyik pontja sem a középpontja a fennmaradó pontoknak;
- egy adott pontján a térben által generált (A i ) i ∈ I egy, a barycenter (A i ), egyetlen normalizált írásban (összege együtthatók egyenlő 1);
- bármelyik pontján a tér által generált (A i ) i ∈ I egy, a barycenter (A i ), normalizált írásban (összege együtthatók egyenlő 1) egyedi.
Hely keletkezett
Az affin E tér családjának (A i ) i ∈ I (vagy halmaza) által generált tér a legkisebb affin altér, amely tartalmazza ezeket a pontokat, vagyis az összes affin altér metszéspontja, amelyek mindegyike tartalmazza az összes (A i ) pontot. Ez még mindig az (A i ) barycentereinek halmaza . Amikor a generált tér a teljes affin tér, akkor azt is mondjuk, hogy a család generatív. A család tehát csak akkor generátor, ha egy adott j- ben az I vektor-család:
(NÁL NÉLjNÁL NÉLén→)én∈én,én≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ I, i \ neq j}}a generátor .
Alap vagy benchmark
Végül az E affin alapja egy szabad és generáló család (A i ) i ∈ I , és látjuk, hogy ez egyenértékű:
(NÁL NÉL0NÁL NÉLén→)én∈én,én≠0{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {0} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ I, i \ neq 0}}a társított vektortér alapja, azaz:
(NÁL NÉL0;(NÁL NÉL0NÁL NÉLén→)én∈én,én≠0){\ displaystyle \ left (\ mathrm {A} _ {0}; \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {0} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ az I-ben, i \ neq 0} \ right)}az E affin tér derékszögű referenciakerete, az előző értelemben vett affin referenciakeret, ezért a két fogalom szorosan összefügg.
Az affin tér bármely pontja baricentrikus a baricentrikus referenciakeret pontjaihoz, a baricentrikus együtthatók felsorolása a multiplikatív tényező kivételével egyedi (egyedi, ha feltételezzük, hogy az együtthatók összegének 1-nek kell lennie) ezek a baricentrikus koordináták .
Kész dimenzió
Az n véges dimenzióban az összes affin bázisnak megegyezik az n + 1 kardinálisa , az összes szabad finomító család kardinálisa legfeljebb n + 1, az összes generáló család kardinálja legalább n + 1. Ezek a tulajdonságok a bázisokra , a szabad családra és a vektorgeneráló családra analógokból következtetnek az előző bekezdések egyenértékűségével.
Az affin alap egy n + 1 pontból álló szabad család , vagyis (A 0 , ..., A n ), amely megfelel a # Család nélküli finomítás bekezdés egyik feltételének . Így :
- egy affin vonal affin bázisa annak két különálló pontjából áll;
- Az affin sík affin bázisa 3 nem egyenes pontból áll;
- A 3. dimenzió affin terének affin alapja 4 nem koplanáris pontról áll.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Az affin vagy a derékszögű koordinátarendszer ezen meghatározását megtaláljuk például Ladegaillerie 2003 , p. 19.
-
Fresnel 1996 egy koordináta-rendszerről vagy affin bázisról beszél, az előző fogalmat derékszögű koordináta-rendszernek hívják. Lelong-Ferrand 1985 szintén affin benchmarkot használ,. A Ladegaillerie 2003 affin bázist használ ehhez az elképzeléshez, és affin benchmark tartalékot használ az előzőhöz.
-
Fresnel 1996 , p. 11.
-
Lásd Fresnel 1996 , p. Vagy Ladegaillerie 2003 , p. 27.
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Bibliográfia
-
Jean Fresnel , Modern módszerek a geometriában , Párizs, Hermann ,1996, 408 p. ( ISBN 2-7056-1437-0 ).
-
Yves Ladegaillerie , geometria affin, projektív, euklideszi és anallagmatic , Párizs, Ellipses ,2003, 515 p. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
-
Jacqueline Lelong-Ferrand , A geometria alapjai , Párizs, PUF ,1985, 287 o. ( ISBN 2-13-038851-5 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">