Lineáris függetlenség
A lineáris algebra , adott család a vektorok az azonos vektort térben , a vektorok, a család lineárisan független , vagy alkotnak egy ingyenes családi , ha az egyetlen lineáris kombinációja ezen vektorok, amely egyenlő a nulla vektor az, hogy az, amely az összes az együtthatók nulla. Ez azt jelenti, hogy azt mondjuk, hogy a család egyik vektora sem lineáris kombinációja a többinek.
Abban az esetben, ha a vektorok nem lineárisan függetlenek, azt mondjuk, hogy lineárisan függenek , vagy összekapcsolt családot alkotnak .
Definíciók
Hadd E lennie vektortér és K a területen a skalár .
Az E vektorok (véges vagy végtelen) családját szabadnak mondják, vagy megint: a család „lineárisan független” vektorokból áll , ha a vektorok egyetlen , a 0 E nulla vektorral megegyező lineáris kombinációja az , amelynek az összes az együtthatók nulla (más szóval: ha az együtthatók bármely lineáris kombinációja nem minden nulla különbözik a nulla vektortól).
(vén)én∈én{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ I}} -banvén{\ displaystyle v_ {i}}vén{\ displaystyle v_ {i}}
- Amikor egy véges családról van szó , ezt a feltételt írják:(vén)1≤én≤nem{\ displaystyle (v_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}∀(nál nél1,...,nál nélnem)∈Knem,(nál nél1v1+⋯+nál nélnemvnem=0E⇒nál nél1=nál nél2=⋯=nál nélnem=0K).{\ displaystyle \ forall (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in K ^ {n}, \ quad \ left (a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ { n} = 0_ {E} \ Rightarrow a_ {1} = a_ {2} = \ cdots = a_ {n} = 0_ {K} \ right).}
- Ha a család önkényes (véges vagy nem), akkor a feltételt meg kell írni:(vén)én∈én{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ I}} -ban∀(nál nélén)∈K(én),(∑nál nélénvén=0E⇒∀én∈én, nál nélén=0),{\ displaystyle \ forall (a_ {i}) \ in K ^ {(I)}, \ quad \ left (\ sum a_ {i} v_ {i} = 0_ {E} \ Rightarrow \ forall i \ in I, ~ a_ {i} = 0 \ jobbra),}amennyiben egy elem a K ( I ) egy családi, által indexelt I. , a skaláris minden nulla, kivéve véges.
Ellenkező esetben a vektorokról azt mondják, hogy lineárisan függenek, vagy a családot összekapcsolják. Tehát összekapcsolt vektor-család, ha létezik olyan K elem- család , amelyek mind nulla, kivéve a nulla nélküli véges számot , így
(vén)én∈én{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ I}} -ban(nál nélj)j∈én{\ displaystyle (a_ {j}) _ {j \ I}} -ban
∑én∈énnál nélénvén=0E.{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} v_ {i} = 0_ {E}.}
Ennek alapján a fogalmak szabad vagy kötött családhoz, ezek határozzák meg részben szabad vagy kötött: egy része egy az E nevezzük szabad, ha a család (illetve kötött.) Is.
(nál nél)nál nél∈NÁL NÉL{\ displaystyle (a) _ {a \ in A}}
Példák
0. példa
A ℝ 3 vektortérben a három (2, –1, 1), (1, 0, 1) és (3, –1, 2) vektor rokon családot alkot, mert (2, –1, 1) + ( 1, 0, 1) - (3, –1, 2) = (0, 0, 0).
1. példa
A ℝ 4 vektortérben a három (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) és (6, 2, 4, –3) vektor lineárisan független, mert koordinátáik egymás mellé rendezve oszlopok, mátrixot alkotnak
(426.20213430-3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}}amelynek rangja megegyezik a vektorok számával. Valóban a 3-moll
|20213430-3|=-36{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {vmatrix}} = - 36}nem nulla, így a mátrix rangja 3.
2. példa
Bármely alapon van (definíció szerint) egy szabad család, különösen a kanonikus alapján a K- vektortér K n .
3. példa
A valós vektortér funkciók ℝ ℝ , a végtelen halmaz nem megszámlálható funkciókat az igazi ingyenes.
fλ:t↦eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}
Demonstráció
Vagy ilyen
(nál nélλ)λ∈R∈R(NEM){\ displaystyle (a _ {\ lambda}) _ {\ lambda \ in \ mathbb {R}} \ in \ mathbb {R} ^ {(\ mathbb {N})}}
∑nál nélλfλ=0.{\ displaystyle \ sum a _ {\ lambda} f _ {\ lambda} = 0.}
Ha azoknak a valósoknak az n száma , amelyeknél nem nulla, akkor ezeket feljegyezve és a hozzájuk tartozó együtthatókat figyelembe véve az egyenlet átíródik:
λ{\ displaystyle \ lambda}nál nélλ≠0{\ displaystyle a _ {\ lambda} \ neq 0}λ1,...,λnem{\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}nál nél1,...,nál nélnem{\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}
∑k=1nemnál nélkfλk=0.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} f _ {\ lambda _ {k}} = 0.}
A fenti egyenlet beállításával és kiértékelésével a 0, 1, 2,…, n - 1 realokban megkapjuk, hogy a Vandermonde mátrixxk=eλk{\ displaystyle x_ {k} = {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {k}}}
(1x1x12...x1nem-11x2x22...x2nem-11x3x32...x3nem-1⋯⋯⋯⋯⋯1xnemxnem2...xnemnem-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & \ dots & x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {2} & x_ {2 } ^ {2} & \ pontok & x_ {2} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {3} és x_ {3} ^ {2} & \ pontok & x_ {3} ^ {n-1} \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ {2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \ end { pmatrix}}}az n -tupulhoz társított vonalait együtthatók kapcsolják össze . Mivel meghatározója nem nulla, ez abszurd, tehát n = 0, azaz az összes nulla.
(x1,...,xnem){\ displaystyle (x_ {1}, \ pontok, x_ {n})}nál nélk{\ displaystyle a_ {k}}nál nélλ{\ displaystyle a _ {\ lambda}}
Azt is bizonyítja, hogy általában a komplex vektortér a funkciók ℝ hogy ℂ a beállított funkciók az összetett ingyenes.
fλ:t↦eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}
Tulajdonságok
- A ( v ) család és a { v } rész akkor és csak akkor szabad, ha a v vektor nem nulla.
- A család ( v 1 , v 2 ) kapcsolatban akkor, ha v 1 és v 2 olyan egyenesre (különösen a család ( v , v ) mindig kapcsolatban, hogy v nulla vagy sem).
- Ha egy család egyik alcsaládja rokon (főleg, ha két vektora kollináris, vagy ha egyikük nulla), akkor ez a család rokon. Más szóval , ha egy család szabad, akkor minden alcsaládja szabad.
- Egy család csak akkor kapcsolódik egymáshoz, ha egyik eleme lineáris kombinációja a többinek.
- Mivel egy lineáris kombináció véges számú kifejezésre vonatkozik, a végtelen család akkor és csak akkor szabad, ha minden véges alcsaládja szabad.
- Az üres család és az üres rész szabad.
- Ha K a területén a frakciók egy integrált gyűrű alakú A (például, ha K = ℚ és A = ℤ ), egy család vektorok E jelentése K -mentes, ha, és csak akkor, ha A -mentes (az E tekintik A -modul ).
Lineáris függőségek vetületi tere
A lineáris függőség viszonyában vektorok is képviseli - tuple a skalár, nem minden nulla, oly módon, hogy
nem{\ displaystyle n}v1,...,vnem{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}nem{\ displaystyle n} (nál nél1,...,nál nélnem){\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}nem{\ displaystyle n}
nál nél1v1+⋯+nál nélnemvnem=0E.{\ displaystyle a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n} = 0_ {E}.}Ha létezik ilyen lineáris függőségi viszony, akkor a vektorok lineárisan függenek. Ekkor lehetséges két lineáris függőségi viszonyt azonosítani, ha az egyik a másik reláció nem nulla többszöröse, mert ebben az esetben mindkettő a köztük lévő vektorok azonos lineáris függőségének felel meg. E azonosítás, a készlet -uples leíró lineáris függősége a vektorok egy projektív térben .
nem{\ displaystyle n}nem{\ displaystyle n}v1,...,vnem{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}
Megjegyzések és hivatkozások
-
(en) Serge Lang , Algebra ,1965[ a kiadások részlete ], 1965, p. 81.
-
N. Bourbaki , Algebra , p. A-II-26, 18. javaslat.
-
(in) Michael Artin , algebra [ kiadói részletek ], 3.14, p. 92.
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső hivatkozás
Christine Graffigne és Avner Bar-Hen, „ Cours L1, S1, Notion de famille libre ” , a Párizsi Egyetemen 5