Bilinear forma

A matematikában , pontosabban a lineáris algebrában , a bilinear forma egy speciális típusú leképezés, amely egy vektortér két vektorához (egy bizonyos kommutatív mező fölött ) egy skalárt (azaz ennek a testnek egy elemét ) társítja .

Néhány bilineáris formák is dot termékeket . A ponttermékeket (véges vagy végtelen dimenziós vektortereken) széles körben használják a matematika minden ágában a távolság meghatározására .

A fizikai klasszikus , a relativisztikus vagy a kvantum ezt a formális keretet használja.

Motivációk

A bilinear formák a matematika számos területén előfordulnak. A nagyon sokféle kérdés megoldására használt eszközök nagy csoportját alkotják.

Lineáris algebra

A bilinear formák natív tartománya a lineáris algebra. A bilinear forma fogalmát a vektorterek határozzák meg, és a lineáris algebra moduljaira , alapstruktúráira általánosítják . Ezek az alakzatok szorosan kapcsolódnak a lineáris alkalmazásokhoz . Az utóbbihoz kapcsolódó ismeretek lehetővé teszik a bilinear forma felépítésének megvilágítását, és a bilinear formák kölcsönösen lehetővé teszik a lineáris alkalmazások bizonyos sajátosságainak tisztázását, például önállóan csatlakozó endomorfizmusok esetén .

Van egy sajátos vektortér, amely nagy szerepet játszik a bilináris formákban: a kettős . A bilinear formák vektortere pontos mása a kettős térben lévő tér lineáris térképeinek. A tér geometriájának, valamint a kettősnek az ismerete lehetővé teszi a lineáris alkalmazások egyikének a másikra való felderítését, és ezzel egyidejűleg a bilináris formákét is. A véges dimenzió esetében ez az elemzés egyszerű, a kettős a kezdőtér (nem kanonikus ) másolata .

Van egy általános módszer a bilinear formák létrehozására, a tenzor termék elméleti eszközt nyújt a bilinear formák bizonyos tulajdonságainak bemutatására. Lehetővé teszi új vektorterek felépítését is egy meghatározott geometriával, amelyet a fizikusok nagyszerűen használnak. Így a mágneses tér igazolja a szimmetria tulajdonságait, amelyeket jól ábrázol a bilináris alakzatok egy bizonyos tere. A vektortér-szerkezet mellett bilináris eredetük különleges tulajdonságokat hordoz, ezért egy új kifejezést használnak, a tenzort .

Geometria

A jól megválasztott bilináris forma hozzáadása a geometriák formalizálódásának forrása . Talán a leghíresebb példa a véges dimenziós esetekben a valóságok számmezője fölötti vektorterek euklideszi tere . Ez a skaláris szorzatnak nevezett bilináris forma ugyanazt a szerepet tölti be, mint a kanonikus bilináris forma a tér és a kettős között, lehetővé téve a konkrétabb és könnyebben hozzáférhető formalizálást.

Nem ez az egyetlen példa, a komplex számokra ekvivalens létezik . Egy másik végtelen dimenzióban létezik, amikor a prehilbertizus terek egy sajátos lényeges esetet, a Hilbert-teret tartalmazzák . Véges dimenzióban a más tulajdonságokkal rendelkező biliáris forma megválasztása lehetővé teszi más geometriák felépítését. A Minkowski tér ilyen jellegű megközelítéssel épül fel. Geometriai keretet ad a relativitáselmélet speciális elméletéhez .

A bilináris alakzatok hatása a geometriában nem korlátozódik az új terek formalizálására. Mély a kapcsolat bizonyos felületek, például kvadrikusok és bilináris alakzatok között. A lineáris algebrából származó különféle eszközök hozzájárulása általános osztályozást és bármilyen dimenziót tesz lehetővé.

Funkcionális elemzés

Gyümölcsösnek tekinthető az elemzés eredményeként kapott függvények halmaza, például a [0,1] szegmens valós értékekkel rendelkező és végtelenül differenciálható függvényei . Az ilyen jellegű halmaz végtelen dimenziójú vektortér, a véges bíboros bázisok használatán alapuló lineáris algebra eredményei már nem érvényesek. Az ilyen jellegű tereken végzett bilináris formák vizsgálata eredményesnek bizonyul.

Egy eszköz elengedhetetlenné válik az ilyen jellegű vektorterek, a topológia vizsgálatához . Természetesen egy másik topológiát indukál a duálon. Van egy speciális eset, amely analóg a véges dimenzióval, ahol a kettős a függvények terének másolata. Ez a helyzet például a [0,1] függvények halmazával, valós értékekkel, amelyek négyzetek integrálhatók . Egy ilyen tér egy skaláris szorzattal biztosítható, amely az euklideszi terekhez hasonló szolgáltatást nyújt, ez a Hilbert-tér nevét viseli .

Általános esetben a kettős szerkezete eltér a kiindulási tér szerkezetétől. Egy másik bilináris alakot használunk, amelyet az f kettős elemhez és az x tér eleméhez társítunk f ( x ). Egy ilyen szerkezet vizsgálata egyszerűbb, ha a topológia olyan szabványból származik, amelynek legalább egy jó tulajdonsága, teljessége van . Egy ilyen teret Banach-térnek hívnak . A kettős és a tér közötti kanonikus bilináris forma gyakran a dot szorzat nevét veszi fel .

Számtan

A funkcionális tereket tanulmányozó matematikusok megközelítése abban áll, hogy visszavonnak egy korábban használt hipotézist, a véges dimenziót. Végül gyümölcsöző, és a funkcionális elemzésben sok tétel egy bilináris forma tanulmányozásából származik, mint egy skaláris szorzat, amely analóg az euklideszi terekkel, vagy a tér és annak kettője közötti kanonikus formából származik. Eltávolítható egy másik feltételezés, amely garantálja, hogy a vektortér mögött álló testben a nulla kivételével bármely más szám inverz legyen a szorzáshoz.

Hosszú ideje tanulmányozott példa a Diophantine egyenletek . Ezek egy részét több változóval és egész együtthatóval rendelkező polinomegyenlet gyökereinek kereséseként írják . A megoldásokat csak egész számokkal fejezik ki. Híres és nehéz példa Fermat nagy tétele . Az egyenlet x n + y n = z n . A megoldások ℤ 3 metszéspontjainak tekinthetők , ahol ℤ az egészek halmazát és egy háromdimenziós geometriai tér felületét jelöli . A referencia-változás időnként lehetővé teszi a Diophantine-egyenlet kifejezésének egyszerűsítését. Ahhoz, hogy releváns legyen, a koordináta-rendszer változásának tiszteletben kell tartania a tér geometriáját. Izometriaként jelenik meg , vagyis a távolságokat és a szögeket figyelembe vevő transzformációként, a jó bilináris alak érdekében. Ez a megközelítés a bilináris formák véges dimenziós moduluson történő vizsgálatához vezet . A „Modulus” itt kvázivektor- teret jelent, a skalárok egyszerűen már nem mindig megfordíthatók. Például redukálhatók egész számok halmazára. Egy példa az ilyen jellegű használják a bizonyítéka a Fermat két négyzet tétel által Joseph-Louis Lagrange ( 1736-ban - 1813-ban ) .

Definíciók

Ez a szakasz általános definíciókat ad a bilinear formákról, majd további definíciókat ad a különféle összefüggésekhez.

Általános meghatározások

Az űrlap a matematikában egy vektortér alkalmazását jelöli a skalárterületén . A bilinear formát a vektorpárok határozzák meg: a tér elhagyása ugyanazon K test két E és F vektorterének derékszögű szorzata . Amikor E és F ugyanazt a teret jelöli, akkor az E-n bilinear formának hívják . ( x | y ) gyakori jelölés, amely a pár ( x , y ) képét bilinear alakkal jelöli ; a cikk többi részében használják.

Az alak az első változóhoz képest úgynevezett lineáris, ha minden y esetében az x asszociált ( x | y ) alkalmazás lineáris. Hasonlóképpen, a forma az úgynevezett lineáris képest a második változót, ha az összes X , az alkalmazás lehet a kapcsolódó ( x | y ) lineáris.

• Legyen (| ..) E × F alkalmazása K-ban . A (. |.) Függvényről azt mondjuk, hogy bilináris, ha két változójához képest lineáris .

Megjegyzés  : ha a skalárok mezőjének jellemzői eltérnek a 2-től, akkor az E tér bármely bilináris alakjához másodfokú alak társul . Ez az alkalmazás társítja a skalárt ( x | x ) egy x vektorhoz . Pontosabban, a térkép, amely minden szimmetrikus bilinear alakhoz társítja másodfokú alakját, izomorfizmus . A reciprok izomorfizmus asszociál a másodfokú formával χ a bilinear formával (. |.).

∀x,y∈E(x|y)=14(χ(x+y)-χ(x-y)){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ frac {1} {4}} {\ Big (} \ chi (x + y) - \ chi (xy) {\ Big )}}

• A fenti vonallal meghatározott bilináris alakot (. |.) A másodfokú pol poláris alakjának nevezzük .

Megjegyzés  : Összetett számok esetén létezik egy másik, eltérő linearitású és gyakran érdekesebb forma, ezután szeszquilináris formáról beszélünk .

Alapértelmezés szerint a cikk többi részében E és F két vektortér egyazon K testen és (. |.) Bilináris alakot jelöl.

Az ortogonalitáshoz kapcsolódó meghatározások

A két vektor közötti ortogonalitás fogalma egy bilináris forma esetében általánosítja a merőlegességet egy euklideszi tér esetében .

• Két vektor x az E és y az F azt mondják, hogy ortogonális , ha a kép a pár ( x , y ) a bilineáris formában nulla.
• Az F vektorcsalád Φ családjának minden elemére merőleges vektorok halmaza E vektortér , amelyet th derékszögűnek nevezünk, és gyakran megjegyezzük ⊥ ⊥ . Hasonlóképpen, az E család ortogonális vektorai F alterei .
  Ha E egyenlő F-vel, és a bilináris forma nem szimmetrikus, az összetévesztés elkerülése érdekében bal és jobb ortogonálisról beszélünk.
• Különösen, a kernel a bal egy bilineáris formában E × F jelentése a altér F ⊥ az E alkotja vektorok x olyan, hogy:∀y∈F(x|y)=0.{\ displaystyle \ összes y \ -ban F \ quad (x | y) = 0.}Azt is meghatározza a mag jobbra E ⊥ , amely egy altér F .
• A bilinear formáról azt mondják, hogy nem degenerált a bal oldalon, ha a bal oldali magja nullára csökken, azaz ha∀x∈E(∀y∈F(x|y)=0)⇒x=0,{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (\ forall y \ in F \ quad (x | y) = 0) \ Rightarrow x = 0,}és az egyik ugyanúgy definiálja a jobb oldali nem degenerációt. A formát nem degeneráltnak mondják, ha mind bal, mind jobb oldalon van.

Azon esethez tartozó definíciók, ahol E egyenlő F-vel

Abban az esetben, ha E egyenlő F-vel , a bilináris alakzatokra specifikus tulajdonságok vannak. Ebben a bekezdésben a bilinear formát az E × E-n határozzuk meg . Azt mondják

• szimmetrikus, ha:

∀x,y∈E(x|y)=(y|x){\ displaystyle \ forall x, y \ E \ quad (x | y) = (y | x)},

• antiszimmetrikus, ha:

∀x,y∈E(x|y)=-(y|x){\ displaystyle \ forall x, y \ E \ quad (x | y) = - (y | x)},

• felváltva, ha:

∀x∈E(x|x)=0{\ displaystyle \ forall x \ E \ quad (x | x) = 0},

• akkor definiálható, ha nem nulla nem izotróp vektorral rendelkezik :

∀x∈E((x|x)=0⇒x=0){\ displaystyle \ forall x \ E \ quad-ban ((x | x) = 0 \ Rightarrow x = 0)},

• fényvisszaverő, ha:

∀x,y∈E(x|y)=0⇔(y|x)=0{\ displaystyle \ forall x, y \ E \ quad (x | y) = 0 \ Balra nyíl (y | x) = 0}.

Bármely szimmetrikus vagy antiszimmetrikus bilinear forma reflexív, és bármely reflexív formának ugyanaz a magja a jobb oldalon, mint a bal oldalon.

Bármely meghatározott forma nem degenerált.

Bármely alternatív forma antiszimmetrikus. Ha a test jellemzője eltér a 2-től, akkor a két fogalom ekvivalens.

A következő tulajdonság esetében feltételezzük, hogy a K mező teljesen rendezett , mint a valós számoké.

• Egy bilinear formát mondanak:
  • pozitív ha  ;∀x∈E(x|x)≥0{\ displaystyle \ forall x \ E \ quad (x | x) \ geq 0}
  • negatív, ha .∀x∈E(x|x)≤0{\ displaystyle \ forall x \ E \ quad (x | x) \ leq 0}

A Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség szerint minden nem degenerált pozitív (vagy negatív) szimmetrikus bilinear forma meghatározható.

Példák

A szokásos euklideszi tér

A valós számok ( x , y , z ) hármasai által képzett ℝ 3 teret fel lehet ruházni egy kanonikus skaláris szorzatnak nevezett bilináris alakkal . Ha megjegyzik (. |.), Akkor a következő határozza meg:

∀(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)∈R3((x1,y1,z1)|(x2,y2,z2))=x1x2+y1y2+z1z2.{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ quad {\ Nagy (} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) | (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) {\ Nagy)} = x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}.}

A skaláris szorzattal ellátott ℝ 3 helyet euklideszinek nevezzük .

A kettős bilináris forma

Egy ilyen tér fel van szerelve egy másik fontos bilináris formával, amelyet a kettős tér (ℝ 3 ) * határoz meg . Megfelel a lineáris alakok halmazának , vagyis a (ℝ 3 ) * lineáris térképeinek a skalárterében ℝ. Ez bilineáris forma a térképen, a (ℝ 3 ) * × ℝ 3 a ℝ, amelyben a pár ( d *, x ) társítja az igazi < d *, x > kép x a lineáris formában d *. Bizonyos szempontból hasonlít az előző példára.

Legyen ( e 1 , e 2 , e 3 ) lehet a kanonikus alapján ℝ 3 , Jelölje d i a kép < d *, e i > a e i által d *, és d a vektor ( d 1 , d 2 , d 3 ) a ℝ 3-ból . A következő tulajdonság ellenőrzött:

∀x∈R3⟨d∗,x⟩=(d|x).{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ quad \ langle d ^ {*}, x \ rangle = (d | x).}

Ezért van bizonyos egyenértékűség a két bilináris forma között, és bármely lineáris formát ℝ 3 vektor képvisel a ponttermék felhasználásával.

Megjegyzés  : A jelölés < s * x > ℝ 3 jelöli a kép X által d * in ℝ. Kettősségi horognak hívják . Ha nincs egyértelműség veszélye, akkor a vektortér nevét elhagyjuk. Ezt a jelölést gyakran használják a kettős és a tér közötti kanonikus bilinear formára. Az irodalomban megtalálható más bilináris formák, például dot termékek jelölése is.

Funkcionális tér

Tekintsük most a [0, 1] szakasz folytonos függvényeinek E terét ℝ-ben. A bilinear forma kulcsszerepet játszik az E-n . A következőképpen határozzák meg:

∀f,g∈E(f|g)=∫01f(t)g(t) dt.{\ displaystyle \ forall f, g \ in E \ quad (f | g) = \ int _ {0} ^ {1} f (t) g (t) ~ \ mathrm {d} t.}

Ismét, a tér E rendelkezik a többi bilineáris formában, az egy definiált E * × E , amely egy pár, egy elem d * a kettős az E és egy elem f a E társítja a kép < d *, f > által d * az f-ből . E „geometriája” azonban eltér az előző példától. Legyen δ lehet lineáris formában, amely, bármely funkciójában F a E, társult F (0). Megfelel az E * elemének , de nem "képviselheti" az E függvényét . Egy ilyen lineáris forma a Dirac δ függvényének nevét viseli . Bizonyos értelemben az E kettője "túl nagy" ahhoz, hogy az E funkciói "ábrázolják" .

Bilinear forma és lineáris alkalmazás

Dupla

A kettős E * a lineáris formák tere az E-n . Az E * × E-n kanonikus bilinear forma van . a kettős f * elemből és a tér x eleméből álló bármely párhoz társítja a vektor képét a lineáris alak alapján.

• Az E * × E kanonikus bilinear formája nem degenerált.
  Valójában definíció szerint az E egyetlen null lineáris alakja a null forma. A bal oldali mag tehát nullára redukálódik. Az összes lineáris alakzatot törlő vektor az összes hipersíkhoz tartozik  ; ezért ez a nulla vektor, ami azt mutatja, hogy a jobb oldali kernel is nulla vektorra redukálódik.

Ez a bilináris forma különös szerepet játszik: lehetővé teszi az összes bilináris forma expresszióját. Legyen (| ..) az E × F bilináris alakja . Ha x az E eleme , akkor ( x |.) Az F kettősének eleme . Legyen φ 1 az E alkalmazása F * -re, amely x-ben egyesíti az ( x |.) Lineáris alakot . Meghatározható az F 2 φ megvalósításánál az E kettőig . A következő egyenlőségek vannak:

∀x∈E,∀y∈F(x|y)=⟨φ1(x),y⟩F=⟨φ2(y),x⟩E.{\ displaystyle \ forall x \ E, \; \ forall y \ in F \ quad (x | y) = \ langle \ varphi _ {1} (x), y \ rangle _ {F} = \ langle \ varphi _ {2} (y), x \ rangle _ {E}.}

• Az φ 1 és φ 2 térképek lineárisak.
  Ez a tulajdonság a forma bilinearitásának közvetlen következménye (. |.).

Mag

Legyen N 1 és N 2 a mag a bilináris forma bal és jobb oldalán. A fenti definíciók szerint ezek a kapcsolódó linear 1 és φ 2 lineáris térképek magjai , és (. |.) Kanonikusan faktorizálnak egy nem degenerált bilinear formával a hányadosokon , azaz az ( E / N 1 ) × ( F / N 2 ). Ez a megjegyzés lehetővé teszi, hogy az ortogonálisok vizsgálatát egy nem meghatározott bilinear formára csökkentjük a nem degenerált formára.

Véges dimenzióban van még: a bilináris forma (. |.) Nem és csak akkor degenerálódik, ha φ 1 izomorfizmus; akkor E és F azonos dimenzióval rendelkeznek, és φ 2 is izomorfizmus. (Különösen az E / N 1 és az F / N 2 mindig azonos dimenzióval rendelkezik.)

Demonstrációk a véges dimenziós esetről

• Ha (. |.) Nem degenerált, és ha E és F mérete véges, akkor egyenlő:

Valójában, φ 1 ekkor E lineáris injekciója F * -ba , ezért dim ( E ) ≤ dim ( F *) = dim ( F ), és hasonlóképpen (φ 2 ) dim ( F ) ≤ dim ( E ).

• A bilinear forma akkor és csak akkor nem degenerált, ha φ 1 izomorfizmus, és akkor φ 2 isomomorfizmus:

Ha a bilináris forma nem degenerált, akkor φ 1 és φ 2 injektív jellegűek, és az előző tétel szerint az indulási és érkezési terük méretei (végesek és) egyenlőek, tehát izomorfizmusok. Fordítva, ha φ 1 izomorfizmus, akkor dim ( E ) = dim ( F *) = dim ( F ) és az előző tétel következményei szerint dim ( E ) = dim ( F / N 2 ), ezért N 2 = {0}, és a forma nem degenerált.

Ortogonalitás

Az ortogonálisnak definiált vektor alterek, különösen a magok , megfelelnek a következő tulajdonságoknak:

• Ha Φ 1 szerepel Φ 2-ben , akkor Φ 2 ⊥ szerepel Φ 1 ⊥-ben . (Különösen a baloldali mag található a balra merőlegesen, sőt a jobb oldalon is.)
• A Φ ⊥ derékszöge tartalmaz Φ-t.
• Legyen E 1 és E 2 az E két vektortértere , akkor az E 1 és E 2 összegének derékszöge az ortogonálisok metszéspontja. A kereszteződés derékszöge az ortogonálisak összegét tartalmazza:

(E1+E2)⊥=E1⊥∩E2⊥és(E1∩E2)⊥⊃E1⊥+E2⊥{\ displaystyle (E_ {1} + E_ {2}) ^ {\ bot} = E_ {1} ^ {\ bot} \ cap E_ {2} ^ {\ bot} \ quad {\ text {és}} \ quad (E_ {1} \ cap E_ {2}) ^ {\ bot} \ supset E_ {1} ^ {\ bot} + E_ {2} ^ {\ bot}}

Ahhoz, hogy az E × F bilináris formája K-ban ne degenerálódjon véges dimenzióban, van még:

• az E bármely sub alterületére az / 2 által indukált F / Φ map térkép ⊥ * -ban izomorfizmus (comp 2 komponálásával az E * természetes térképével Φ * -on)

Következésképpen:

• bármely sub altér esetében a Φ ⊥ kodimérete megegyezik a Φ dimenziójával (figyelem: ha E = F , akkor az altér derékszöge nem feltétlenül kiegészítő);
• a Φ or derékszöge a Φ által generált vektortér (más szavakkal: az a térkép, amely E alteréhez ortogonálisat társít, invutív );
• két altér metszéspontjának ortogonális komplementere megegyezik az ortogonális összegével.

lineáris téralkalmazások a kettőshöz

Az E × F-n lévő bilináris formák halmaza egy vektorteret képez, amelyet L 2-nek ( E , F  ; K ) vagy egyszerűbben L 2-nek ( E , F ) jelölünk .

A duálról szóló fenti bekezdés egy the 1 kánonikus térkép létezését mutatja , amely bármilyen bilináris formához (. |.) Társítja az E φ 1 lineáris térképét F * -ben, amelyet defined 1 ( x ) = ( x | ). Ez az ψ 1 - L 2 ( E , F ) megvalósítás L ( E , F *) -ben egyértelműen lineáris. Ez több bijektív, az inverz bijekciót tömörítő bármely lineáris leképezés f a S a F *, a bilineáris formában < f (.),.> F . Definiáljuk ugyanúgy izomorfizmus ¥ 2 származó L 2 ( E , F ) a L ( F , E *). Összefoglalva :

L(E,F∗)≃⟵ψ1L2(E,F)≃⟶ψ2L(F,E∗){\ displaystyle L (E, F ^ {*}) {\ begin {mátrix} \ simeq \\\ longleftarrow \\\ psi _ {1} \ end {mátrix}} L_ {2} (E, F) {\ kezdete {mátrix} \ simeq \\\ longrightarrow \\\ psi _ {2} \ vége {mátrix}} L (F, E ^ {*})}

a (bármely bilineáris formában b és minden vektor X a E és Y a F )

⟨ψ1(b)(x),y⟩F=b(x,y)=⟨ψ2(b)(y),x⟩E.{\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} (b) (x), y \ rangle _ {F} = b (x, y) = \ langle \ psi _ {2} (b) (y), x \ rangle _ {E}.}

A korlátozás, hogy F a transzponáltja a ψ 1 ( b ) jelentése ψ 2 ( b ) (és hasonlóképpen, hogy megfordítjuk a két index).

Az E ⊗ F tenzor szorzat definíciója szerint egy harmadik tér kanonikusan izomorf a bilináris térképekével:

L2(E,F)≃(E⊗F)∗.{\ displaystyle L_ {2} (E, F) \ simeq (E \ otimes F) ^ {*}.}

E három izomorfizmus bármelyikéből arra következtethetünk, hogy ha E és F dimenziói végesek, akkor az L 2 ( E , F ) mérete ezek szorzata.

Mátrixábrázolás

Legyen E , F két vektorterekben véges méretei, egy alapot az E és egy bázis F . Ahhoz, hogy minden mátrix tudunk társítani egy bilineáris formában  : ha x egy olyan vektor, a E koordinátákkal X a és y egy vektor F koordinátákkal Y a , E=(eén)1≤én≤m{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq m}}F=(fj)1≤j≤nem{\ displaystyle {\ mathcal {F}} = (f_ {j}) _ {1 \ leq j \ leq n}} NÁL NÉL∈Mm,nem(K){\ displaystyle A \ itt: {\ mathcal {M}} _ {m, n} (K)}φ:E×F→K{\ displaystyle \ varphi: E \ szorozza F-t K-ig}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

φ(x,y)=tx NÁL NÉL Y{\ displaystyle \ varphi (x, y) = ^ {\ operátornév {t}} X \ A \ Y},

koordinátáit X (ill. Y ) vannak elrendezve formájában oszlop mátrixa a m (ill. n ) elemek K , és t X kijelölő vonal mátrix transzponáltja az X .

Ezzel szemben a bilináris térkép teljesen meghatározza a mátrixot , mivel . φ{\ displaystyle \ varphi}NÁL NÉL=(nál nélén,j){\ displaystyle A = (a_ {i, j})}nál nélén,j=φ(eén,fj){\ displaystyle a_ {i, j} = \ varphi (e_ {i}, f_ {j})}

Ez egy izomorfizmust és a bilináris formák vektorterét állítja be ( rögzítve az E × F-en) . E,F{\ displaystyle {\ mathcal {E}}, {\ mathcal {F}}}Mm,nem(K){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {m, n} (K)}

A bilinear formák alapváltozási képlete eltér a lineáris alkalmazásokétól: összehasonlíthatjuk a kettőt a Passage mátrix cikkben .

Tenzor termék

Bilináris alakzatok felépítése

Ha a * (vagy B *) lineáris alak E felett (ill. F felett ), akkor az a * ⊗ b * jelölés az E és F kettős E * ⊗ F * tenzor szorzatának mindkét elemét jelöli , és a két térkép a * és b * tenzor szorzata , amely egy lineáris forma E ⊗ F -n ( más szóval bilináris forma E × F-n ), amelyet az alábbiak határoznak meg:

∀x∈E,∀y∈F(nál nél∗⊗b∗)(x⊗y)=⟨nál nél∗,x⟩⟨b∗,y⟩.{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall y \ in F \ quad (a ^ {*} \ otimes b ^ {*}) (x \ otimes y) = \ langle a ^ {*}, x \ rangle \ langle b ^ {*}, y \ rangle.}

Látni fogjuk később , hogy ez a kétértelműség jelölési ártalmatlan, mert a két kifogást jelöl felelnek meg egymásnak kanonikus felvétele E * ⊗ F * in ( E ⊗ F ) *. Hasonlóképpen, E ** ⊗ F ** (és még inkább E ⊗ F ) beágyazódik ( E * ⊗ F *) * ≃ L 2 ( E *, F *).

A tér vagy annak kettős használatának ténye mély jelentéssel bír a fizikában. Ezért, ha a kiindulási halmaz kettős tér, a fizikusok a contravariant és az ellenkező esetben kovariáns kifejezést használják. Az itt bemutatott első tenzor termék kétszer ellentmondásos.

Ha F = E , két további terméket fejlesztenek ki: a külső terméket és a szimmetrikus terméket . Az E * két a * és b * vektorára alkalmazva a 2-től eltérő jellemzővel kapjuk meg:

Szimmetrikus termék: nál nél∗⊙b∗=nál nél∗⊗b∗+b∗⊗nál nél∗{\ displaystyle a ^ {*} \ odot b ^ {*} = a ^ {*} \ otimes b ^ {*} + b ^ {*} \ otimes a ^ {*}} Külső termék: nál nél∗∧b∗=nál nél∗⊗b∗-b∗⊗nál nél∗{\ displaystyle a ^ {*} \ land b ^ {*} = a ^ {*} \ otimes b ^ {*} - b ^ {*} \ otimes a ^ {*}} ∀nál nél∗,b∗∈E∗nál nél∗⊗b∗=nál nél∗⊙b∗2+nál nél∗∧b∗2.{\ displaystyle \ forall a ^ {*}, b ^ {*} \ E ^ {*} \ quad a ^ {*} \ otimes b ^ {*} = {\ frac {a ^ {*} \ odot b ^ {*}} {2}} + {\ frac {a ^ {*} \ land b ^ {*}} {2}}.}

A szimmetrikus szorzat (ill. Külső) értéke szimmetrikus bilinear formában van (ill. Váltakozó). A szimmetrikus és a külső szorzók által generált vektor alterek közvetlen E * ⊗ E * összegűek . Ha E jelentése a véges dimenzióban n , az első altér dimenzió n ( n + 1) / 2, és a második, N ( n - 1) / 2.

Általánosságban (és bármilyen dimenzióban, de mindig a 2-től eltérő jellemzőkkel) bármelyik bilináris forma egyedülálló módon bomlik szimmetrikus és antiszimmetrikus összegeként:

∀x,y∈E(x|y)=(x|y)+(y|x)2+(x|y)-(y|x)2.{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ frac {(x | y) + (y | x)} {2}} + {\ frac {(x | y) - (y | x)} {2}}.}

Tenzortermék és kettősség

A két horgot a kettősség, a E és F , azonosítására lineáris formákat E * ⊗ E és F * ⊗ F , a tenzor termék egy lineáris formában ( E * ⊗ E ) ⊗ ( F * ⊗ F ) ≃ ( E * ⊗ F *) ⊗ ( E ⊗ F ), azaz az ( E * ⊗ F *) × ( E ⊗ F ) bilináris forma . Ez utóbbi örökli a két kampó degenerációjának elmaradását. Kanonikus lineáris injekciókból következtetünk:

E∗⊗F∗⊂(E⊗F)∗ésE⊗F⊂(E∗⊗F∗)∗.{\ displaystyle E ^ {*} \ otimes F ^ {*} \ részhalmaz (E \ otimes F) ^ {*} \ quad {\ text {et}} \ quad E \ otimes F \ részhalmaz (E ^ {*} \ otimes F ^ {*}) ^ {*}.}

• Az első injekció csak akkor szurjektív, ha E vagy F véges méretű.
• A második injekció akkor és csak akkor szurjektív, ha E és F egyaránt véges méretű, vagy ha a kettő közül az egyik nulla.

Demonstráció

Ezek a feltételek triviálisan elégségesek. Mutassuk meg, hogy szükség van rájuk.

• Legyen E és F végtelen méretű, a megfelelő bázisokat ( e i ) I-vel indexeljük, és ( f j ) J -vel indexeljük , például I ⊂ J-vel . Az elem d a ( E ⊗ F ) * által meghatározott d ( e i ⊗ f j ) = δ i , j nem a kép bármely elemének c a E * ⊗ F * összege r szempontjából a forma egy K * ⊗ b k *, mert bármely véges részhalmaza H az I , a négyzetes mátrix c ( e i ⊗ f j ), amikor i és j áthaladási H jelentése a rang legfeljebb r , míg ez nem igaz a d .
• Vagy F nem nulla, így egyenes D-t tartalmaz . Ha a második injekció E és F esetén történik, akkor E és D esetében is , ezért E izomorf véges dimenzió, mert kétszeres. (Egy másik módszer az alábbi első megjegyzés használata.)

Megjegyzések.

• Ha az első befogadáskor E-t és F- t kettősével helyettesítjük, majd ezt E ⊗ F ⊂ E ** ⊗ F ** -vel komponáljuk , megkapjuk a másodikat.
• Az Erdős-Kaplansky tétel és egy gyors számítású bíborosok azt mutatják, hogy az E * ⊗ F * és ( E ⊗ F ) * szóközök mindig azonos méretűek (ezért izomorfak, még akkor is, ha a kanonikus zárvány nem izomorfizmus).

Harmadik dimenzió

Ha E egy n = 3 dimenziós vektortér , akkor a váltakozó bilináris formák A 2 ( E ) tere n ( n - 1) / 2 = 3 méretű . Amint a skaláris szorzat lehetővé teszi számunkra a kettős elem azonosítását vektortérrel az E vektorhoz felváltva egy bilinear formát is lehet azonosítani . A térkép, amely, a három vektor x , y , z , társítja a determináns det ( x , y , z ) B egy alapon B , váltakozik trilineáris. Ez az alkalmazás nem függ az alap megválasztásától, feltéve, hogy az ortonormális és orientált . A vegyes termék nevét veszi fel  ; [ x , y , z ] -vel jelöljük . Ez azonosítja a vektor c a E a következő formában m c :

∀x,y∈Emvs.(x,y)=[vs.,x,y].{\ displaystyle \ forall x, y \ E \ quad m_ {c} (x, y) = [c, x, y].}

A két izomorfizmus

R3→(R3)∗nál nél↦(nál nél|⋅)ésR3→NÁL NÉL2(R3)vs.↦mvs.{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbb {R} ^ {3} & \ to & (\ mathbb {R} ^ {3}) ^ {*} \\ a & \ mapsto & (a | \ cdot) \ end {matrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ begin {matrix} \ mathbb {R} ^ {3} & \ to & A_ {2} (\ mathbb {R} ^ {3} ) \ \ c & \ mapsto & m_ {c} \ end {mátrix}}}

kompatibilisek a külső terméket (ℝ 3 ) * × (ℝ 3 ) * → A 2 (ℝ 3 ) és a kereszt terméket ℝ 3 × ℝ 3 → ℝ 3 , mind jelöljük ⋀:

∀nál nél,b∈R3,(nál nél|⋅)∧(b|⋅)=mnál nél∧b.{\ displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {R} ^ {3}, \ quad (a | \ cdot) \ land (b | \ cdot) = m_ {a \ land b}.}

Normalizált vektortér

A végtelen dimenzió esetén a bilinear formák tanulmányozása során további hipotézis hasznos. Ez abból áll, hogy a vektorteret topológiával látják el (gyakran előfordul, hogy ez a topológia olyan normából származik, amely metrikus szerkezetet ad a térnek ). Ezután a folyamatos bilináris formák érdekelnek minket. Ebben az összefüggésben az általános izomorfizmusok izometriák, és a topológiai kettős természetes teljessége erős tulajdonságokat hoz a bilinear formák terébe. Az ortogonalitási relációk megadják, hogy a subvektor-tereknél további feltételezés történik-e: a bezárás .

Ebben a bekezdésben E és F két, a K mezőn normalizált vektorteret jelöl, amely egyenlő ℝ vagy ℂ, tehát teljes.

Folyamatos bilináris forma

A bilinear formák folytonossága hasonló szabályokat követ, mint a normalizált vektorterek közötti határolt operátoroké . Valójában az E × F bármely b - lineáris alakja esetében a javaslatok egyenértékűek:

1. b minden ponton folytonos,
2. b folytonos (0, 0),
3. létezik olyan állandó C , hogy minden x vektor esetében E-ben és y- ben F- ben | b ( x , y ) | ≤ C ║ x ║║ y ║,
4. a két egységgömb derékszögű szorzatának b képe be van határolva,
5. A lineáris leképezés ψ 1 ( b ) olyan értékei a topológiai kettős F „ az F és folytatólagos E be F” ,
6. ψ 2 ( b ) értéke E ' -ben van és F- től E- ig folytonos

Ha E és F véges dimenziók, akkor b mindig folytonos (mivel véges dimenzióban bármely lineáris térkép folytonos).

Demonstráció

• 1 ⇒ 2 és 3 ⇒ 4 azonnali
• 2 ⇒ 3: mivel b értéke (0, 0) nulla, folytonosságát ezen a ponton írják∀ε>0, ∃μ>0, ∀e∈E, ∀f∈F,‖e‖,‖f‖≤μ⇒|b(e,f)|≤ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, ~ \ létezik \ mu> 0, ~ \ forall e \ E, ~ \ forall f \ F, \ quad \ | e \ |, \ | f \ | \ leq \ mu \ Rightarrow | b (e, f) | \ leq \ varepsilon}ezért feltételezi egy állandó C > 0 állandó létezését , amely∀e∈E, ∀f∈F,‖e‖,‖f‖≤1/VS⇒|b(e,f)|≤1,{\ displaystyle \ forall e \ E, ~ \ forall f \ F, \ quad \ | e \ |, \ | f \ | \ leq 1 / {\ sqrt {C}} \ Rightarrow | b (e, f ) | \ leq 1,}ezért 3, mivel

∀x∈E, ∀y∈F,x,y≠0⇒|b(x‖x‖VS,y‖y‖VS)|≤1.{\ displaystyle \ forall x \ E, ~ \ forall y \ F, \ quad x, y \ neq 0 \ Rightarrow \ left | b \ left ({\ frac {x} {\ | x \ | {\ sqrt {C}}}}, {\ frac {y} {\ | y \ | {\ sqrt {C}}}} \ right) \ right | \ leq 1.}

• A 4 ⇔ 5 ⇔ 6: 5 azt jelenti, hogy az E egységgömb képe F ' határolt része , amelyet 4-gyel írunk. Hasonlóképpen 6-ra is.
• 5. és 6. ⇒ 1: ha ψ 1 ( b ) és ψ 2 ( b ) értéke folyamatos és 0-ban folytonos, akkor minden ε> 0 esetén létezik μ ∈] 0, 1], hogy‖h‖≤μ⇒‖b(h,⋅)‖≤εés‖k‖≤μ⇒‖b(⋅,k)‖≤ε{\ displaystyle \ | h \ | \ leq \ mu \ Rightarrow \ | b (h, \ cdot) \ | \ leq \ varepsilon \ quad {\ text {és}} \ quad \ | k \ | \ leq \ mu \ Rightarrow \ | b (\ cdot, k) \ | \ leq \ varepsilon}így b folytonos az összes pontban ( x , y ), mert‖h‖,‖k‖≤μ⇒‖b(x+h,y+k)-b(x,y)‖=‖b(x,k)+b(h,y)+b(h,k)‖≤ε(‖x‖+‖y‖+1).{\ displaystyle \ | h \ |, \ | k \ | \ leq \ mu \ Rightarrow \ | b (x + h, y + k) -b (x, y) \ | = \ | b (x, k) + b (h, y) + b (h, k) \ | \ leq \ varepsilon (\ | x \ | + \ | y \ | +1).}

Folyamatos bilináris alakzatok tere

A folytonos bilinear formák ℒ 2 ( E , F ) halmaza egyértelműen a bilinear formák L 2 ( E , F ) térének vektor-altere .

• Az E × F folytonos bilinear formák terét az operátorok normája normalizálja.

A bilinear forma normája a két egységgolyó B E (1) és B F (1) derékszögű szorzatának abszolút érték vagy modulus képének felső határa .

‖b‖=supx∈BE(1),y∈BF(1)b(x,y).{\ displaystyle \ | b \ | = \ sup _ {x \ B_ {E} (1), y \ B_ {F} (1)} b (x, y).}

Annak meggyőződéséhez, hogy ez a térkép valóban norma, elegendő észrevenni, hogy ez az ℒ ( E , F ' ) operátorainak normájának képe az om 1 izomorfizmus által  ; Következésképpen:

• Az ψ 1 (ill. Ψ 2 ) térkép a ℒ 2 ( E , F ) izometriája ℒ ( E , F ' ) -ben (ill. ℒ ( F , E' )), ha a terek az operátorok normájával vannak ellátva .

A tér ℒ ( E 1 , E 2 ) teljes, ha E 2 jelentése . Amint K teljes, ℒ ( F , K ), vagyis F ' , tehát szintén ℒ ( E , F' ). Következésképpen:

• Az E × F folyamatos bilináris formáinak tere teljes.

Ha az F teljes és pontértékkel van ellátva (. |.), Akkor F Hilbert-térnek minősül . Ebben az esetben Riesz ábrázolási tétele azt jelzi, hogy F és kettője között izometrikus izomorfizmus van . Az alkalmazás az, amely egy x vektorhoz társítja az ( x |.) Alakot, következésképpen:

• A térkép, amely bármely üzemeltető egy a E , hogy F társítja a következő bilineáris formában jelöljük (. |.) Egy izometrikus izomorfizmus.

∀x∈E,∀y∈F(x|y)nál nél=(nál nél(x)|y){\ displaystyle \ forall x \ E, \; \ forall y \ in F \ quad (x | y) _ {a} = (a (x) | y)}

A konfiguráció megegyezik a véges dimenzióval.

Ortogonális és biortogonális

Legyen b folytonos bilinear alak két topológiai vektortér E × F szorzatán .

• Bármely E family család esetében a Φ ⊥ altér F-ben zárva van .
  Valóban, az ψ 1 ( b ) ( x ) lineáris formák magjainak metszéspontja, amikor x áthalad Φ, de ezek a magok zárva vannak, mert ezek a formák folyamatosak.

Következésképpen a biortogonális (Φ ⊥ ) ⊥ nemcsak a Φ által generált vektorteret, hanem annak tapadását is tartalmazza .

A horog közötti Banach-tér E és kettős E ' , a Biortogonális egy altér Φ az E csökken a tapadása Φ (ez egy közvetlen következménye a Hahn-Banach-tétel ), így ha E jelentése reflexív , az ingatlan kiterjed az E ' alterekre . De a reflexivitás ezen hipotézise nélkül a tulajdonság nem terjed ki (vö. Például az ℓ 1 tér és kettős ℓ ∞ a nulla határértékű szekvenciák c 0 altere ).

Megjegyzések és hivatkozások

1. Serge Lang , Algebra [ a kiadások részlete ]angolul, 1965, c. XIII, 5. bek.
2. (en) Rainer Kress , Lineáris szerves egyenletek , Springer,1999( online olvasható ) , p.  39–40.
3. Neil Strickland (de) válasza ihlette tüntetés a (z) Duals és Tensor termékekben a MathOverflow-n . 

• J.-M. Arnaudiès és H. Fraysse matematika tanfolyam 4: Bilinear algebra és geometria , Dunod, 1990
• C. Semay és B. Silvestre-Brac, Bevezetés a tenzorszámításba, alkalmazás a fizikába , Dunod, 2007 ( ISBN  978-2-10-050552-4 )
• Haïm Brezis , Funkcionális elemzés: elmélet és alkalmazások [ a kiadások részletei ]

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Többvonalas forma
• Sesquilinear forma
• Bilinear alkalmazás
• Több vonalas alkalmazás

Külső linkek

• Bilinear formák a les-mathematiques.net oldalon. Ez az oldal elsősorban a véges dimenzióval foglalkozik.
• Bilinear integrálalakok és integráloperátorok , Laurent Schwartz . Ez a beszélgetés csak egy végtelen dimenzióval foglalkozik.
• en) "  Bilinear forma  " , a PlanetMath- on

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">