Sesquilinear forma

A algebra , egy sesquilinear formában egy komplex vektortér E egy térképen az E × E a ℂ, lineáris szerinti változók közül az egyik és a félig-lineáris képest a többi változó. Ezért „másfél” linearitás tulajdonsággal rendelkezik (vö. A sesqui előtaggal , ami azt jelenti, hogy „másfél arányban”). Ez a valódi bilináris formák komplex megfelelője .

A leginkább tanulmányozott sesquilinear formák a Hermite- formája , amelyek megfelelnek a szimmetrikus (valós) bilineáris formák. Ezek közül a pozitív definit Hermitian formák lehetővé teszik, hogy az E a skalár szorzat és nyitott a tanulmány Hermitian terek , komplex prehilbertian terek és Hilbert terek .

Kezdetben a ℂ-n egy hermita forma létrehozásának első lépéseként tervezték, hogy a szeszkvilináris forma fogalma kiterjeszthető a többi test vektorterére , sőt a gyűrűkön lévő modulokra is .

Fogalommeghatározások és konvenciók

Fél-lineáris alak

Legyen E lehet egy ℂ-vektortér, térkép φ a E , hogy ℂ egy félig-lineáris (vagy antilinear ) formában, ha tiszteletben tartja az összeadás és szinte a szorzás egy skalár: minden $x$ , $y$ az E , az összes $λ$ a ℂ:

{\ displaystyle \ varphi (x + \ lambda y) = \ varphi (x) + {\ overline {\ lambda}} \ varphi (y) \,}

ahol $λ$ a konjugátum a $λ$ .

Egy félig lineáris alkalmazás (vagy forma) ellenőrzi:

{\ displaystyle f ({\ rm {i}} x) = - {\ rm {i}} f (x),}

ami igazolja a másik használt kifejezést: antilináris alkalmazás.

Sesquilinear formák

A következő egyezmények lineáris érv megválasztását teszik lehetővé. Az alábbi választást (szeszkvilináris forma a bal oldalon: első fél-lineáris változó, második lineáris változó) minden fizikus alkalmazza, ez eredetileg a bra-ket jelölésnek köszönhető (talán nem univerzális), de az ellenkezője az 1950-es évek óta gyakori a matematikában.

Legyen E és F komplex vektortér, az $f$ : E × F → map térkép bal szeszkvilináris forma, ha:

a) Ez a lineáris a jobb: az összes X a E , Y , Y ' a F , minden

λ

a ℂ:

{\ displaystyle f (x, y + \ lambda y ') = f (x, y) + \ lambda f (x, y') \,}

b) A bal félig lineáris , ami azt jelenti, hogy az összes x , x ' az E és Y a F , minden

λ

a ℂ:

{\ displaystyle f (x + \ lambda x ', y) = f (x, y) + {\ overline {\ lambda}} f (x', y)}

A szeszkvilináris formák (a bal oldalon) az E × F ℂ térképeinek terének összetett vektoros alterét képezik.

Az $f$ : E × F → map térkép akkor és csak akkor derékszögű alak , ha a g ( x , y ) = f ( y , x ) által definiált $g$ : F × E → ℂ térkép szezquilináris balra.

Remete formák

Az E komplex vektortér bal oldali (vagy jobb oldali) hermitikus (vagy szeszkvilináris ) alakja egy bal oldali (ill. Jobb oldali, a választott egyezmény szerint) E × E szekvilináris forma, amely kielégíti a hermetikus szimmetria tulajdonságát:

Minden x és y a E ,

{\ displaystyle f (y, x) = {\ overline {f (x, y)}}}

Különösen, bármely vektor x a E : , ezért egy valós szám. ${\ displaystyle f (x, x) = {\ overline {f (x, x)}}}$ $f (x, x)$

Ezzel ellentétben egy olyan szeszkvilináris f alak , amely f ( x , x ) bármely x vektor esetében valós , Hermiti.

Demonstráció

Ha minden x esetében az f ( x , x ) komplex szám valós, akkor minden y és z esetében ${\ displaystyle f (y, z) + f (z, y) = f (y + z, y + z) -f (y, y) -f (z, z) \ in \ mathbb {R}}$ és ugyanaz a (helyettesítve z által $i$ z ) ${\ displaystyle {\ rm {i}} (f (y, z) -f (z, y)) \ in \ mathbb {R}.}$ A két f ( y , z ) és f ( z , y ) számnak tehát valós összege és tiszta képzetes különbsége van , vagyis konjugáltak.

A hermitikus formák (balra) a szeszkvilináris formák (balra) terének valódi vektoros alterét képezik.

Pozitív remetei formák

A pozitív remete forma olyan szeszkvilináris forma, mint például:

minden X az E , ,

{\ displaystyle f (x, x) \ in \ mathbb {R} ^ {+}}

akkor a Hermitianus a fenti jellemzés szerint.

Pozitív határozott hermita formák (ponttermékek)

A határozott remetei forma olyan remetei forma, amely

minden X az E , magában foglalja,

{\ displaystyle f (x, x) = 0 \,}

{\ displaystyle x = 0 \,}

A nem degenerált remetei forma olyan remetei forma, mint:

minden X az E , ha minden y a E , akkor

f (x, y) = 0 \,

{\ displaystyle x = 0 \,}

Minden határozott hermita forma tehát nem degenerált. A pozitív remetei forma esetében ez fordítva igaz a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenségnek köszönhetően : minden nem degenerált pozitív remetei formát meghatározunk.

A pozitív határozott hermita formát (vagy nem degenerált pozitív) hermita pontterméknek is nevezik .

Példák

Véges dimenzióban bebizonyítjuk, hogy az egyetlen bal oldali szeszkvilináris forma az alapban meghatározott térkép: ${\ displaystyle f (x, y) = {} ^ {t} {\ overline {X}} AY}$ ahol X és Y az oszlopvektorok, x és y koordinátái az alapban , és ahol A az által definiált mátrix . Az n dimenziós vektortéren a szezquilináris formák (a bal oldalon) komplex vektortere izomorf az n × n négyzetmátrixok vektortérével szemben . A formák sesquilinéaires felelnek mátrixok Egy olyan, hogy t A = A . $(e_ {1}, ..., e_ {n})$ ${\ displaystyle a_ {i, j} = f (e_ {i}, e_ {j}) \,}$
Vagy B egy nem üres halmaz, és ℂ B a vektor ℂ űralkalmazásokon B a ℂ , amelyek egy és b két elem B és x és y két ℂ elem B . A következő alak által meghatározott alak : ${\ displaystyle f_ {a, b}}$ ${\ displaystyle f_ {a, b} (x, y) = {\ overline {x (a)}} y (b)}$ szeszkvilináris formájú (bal) hermita szimmetria a on B-n .

Általánosítások

Sesquilinear forma bármely testben található értékekkel

Legyen K egy test és $σ$ egy automorfizmus rendje 2 (vagyis invutív ) és V egy vektortér a K mező felett . A jobb szekszilináris forma egy $h$ : V × V → K térkép , amely:

${\ displaystyle \ forall u, v, w \ in V \ quad h (u + v, w) = h (u, w) + h (v, w)}$
${\ displaystyle \ forall u, v, w \ in V \ quad h (u, v + w) = h (u, v) + h (u, w)}$
${\ displaystyle \ allall \ alpha \ in K \ quad \ forall u, v \ in V \ quad h (\ alpha u, v) = \ alfa h (u, v)}$
${\ displaystyle \ forall \ alfa \ in quad \ forall u, v \ in V \ quad h (u, \ alpha v) = \ sigma (\ alfa) h (u, v).}$

Más szavakkal, $h$ bal oldalon lineáris, jobb oldalon félig lineáris.

Ha az űrlap ráadásul kielégíti a hermetikus szimmetriának nevezett következő tulajdonságot: ${\ displaystyle \ forall u, v \ in V \ quad h (v, u) = \ sigma (h (u, v))}$ A sesquilinear forma egy hermitikus formában és feltételek 2) és 4) automatikusan valósul, amint a körülmények 1) és 3) vannak.

Sesquilinear forma, gyűrűs értékekkel

Legyen A az egy nem-kommutatív gyűrű és U és V a két A -modules a bal oldalon. Úgy véljük, egy anti-automorfizmus σ on Egy , azaz bijekciót on Egy , ellenőrzésére, az összes α és β a A , σ (α + β) = σ (α) + σ (β) és a σ (αβ) = σ ( β) σ (α).

Egy jobb sesquilinear formában U × V egy térképet H a U × V , hogy egy , a lineáris a bal és a félig-lineáris a jobb oldalon, azaz ellenőrzése:

${\ displaystyle \ forall u, v \ U, \ quad \ all w \ in V \ quad h (u + v, w) = h (u, w) + h (v, w)}$
${\ displaystyle \ forall u \ in U, \ quad \ forall v, w \ in V \ quad h (u, v + w) = h (u, v) + h (u, w)}$
${\ displaystyle \ forall \ alpha \ in A \ quad \ forall u \ in U \ quad \ forall v \ in V \ quad h (\ alfa u, v) = \ alfa h (u, v)}$
${\ displaystyle \ forall \ alpha \ in A \ quad \ forall u \ in U \ quad \ forall v \ in V \ quad h (u, \ alfa v) = h (u, v) \ sigma (\ alfa). }$

Megjegyzések és hivatkozások

N. Bourbaki , Algebra , II, p. 32.
Ez a hivatalos oktatási programok választása Franciaországban is.
Bourbaki, aki bevezette a „szeszkilináris alkalmazások” kifejezést az Algebra-ban , fej . IX. O. 10 a szeszkvilináris formáról beszél a jobb oldalon és az EVT-ben , fejezet. V, p. Az 1 bal szeszkvilináris hermita formákat választ.
N. Bourbaki, EVT , fej. V, p. 2, jegyzet.
N. Bourbaki, Algebra , fej. 9, Springer, 2007, p. 10, 18 és 19.

Kapcsolódó cikk

Polarizációs identitás