Potenciális kvadrivektor

A fizika , a négy-vektort a potenciális vagy Quadri-potenciális vagy mező nyomtávú , jelöljük általában a néma index egy vektor négy komponensek által meghatározott , ahol jelöli a skaláris potenciál (szintén jelöljük V ), c a fény sebessége az üres , és a vektorpotenciál, amely a koordináta-rendszer megválasztásától függ. Például derékszögű koordinátákban ez utóbbit ábrázolja , amely összességet jelent a quad-vektor számára . ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ mu = 0,1,2,3}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ phi} {c}} \\ {\ vec {A}} \ end {pmatrix}}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} {\ frac {\ phi} {c}} \\ A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}$

Különösen a speciális relativitáselméletben és a relativisztikus kvantummechanikában használják .

Definíciók

A kvadripotenciál a téridő koordinátáitól függ, vagy ott, ahol a kvadr-vektor téridő van, vagy derékszögű koordinátákban . Végül megírják a nyomtávot . Cartesian nyelven kapja meg a teljes kiterjesztést ${\ displaystyle A ^ {\ mu} = A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu})}$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} ct \\ {\ vec {r}} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = {\ begin {pmatrix} \ phi ({\ vec {r}}, t) / c \\ {\ vec {A}} ({ \ vec {r}}, t) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = {\ begin {pmatrix} \ phi (x, y, z, t) / c \\ A_ {x} (x, y, z, t) \\ A_ {y} (x, y, z, t) \\ A_ {z} (x, y, z, t) \ end {pmatrix}}}$

A skaláris potenciált az határozza meg ${\ displaystyle \ phi (x ^ {\ nu}) = \ phi ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int _ { V '} {\ frac {\ rho ({\ vec {r'}}, t ') | _ {t' = t- | {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} | / c }} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} |}} dV'}$

A vektorpotenciált a ${\ displaystyle {\ vec {A}} (x ^ {\ nu}) = {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} { 4 \ pi}} \ int _ {V '} {\ frac {{\ vec {j}} ({\ vec {r'}}, t ') | _ {t' = t- | {\ vec {r }} - {\ vec {r '}} | / c}} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r'}} |}} dV '}$

ahol jelöli a töltéssűrűség és a áramsűrűség a térfogata V " tekinthető. Az idő t „ jelöli a késleltetett idő vagy szinten a forrás, mivel a területen elterjed sebességgel C , így a mező a forrás által kibocsátott az idején t” érezhető lesz abban az időben . ${\ displaystyle \ rho ({\ vec {r '}}, t')}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} ({\ vec {r '}}, t')}$ ${\ displaystyle {\ vec {r '}}}$ $\ vec {r}$ ${\ displaystyle t = t '+ | {\ vec {r}} - {\ vec {r'}} | / c}$

Egyenletek

A relativisztikus Maxwell-egyenletek közül , ha a Lorenz-szelvényt választjuk , amely meghatározható , vagy a következő 4 egyenletet kapjuk: ${\ displaystyle \ részleges _ {\ mu} A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges t}} + {\ szöveg {div}} {\ vec {A}} = 0}$

{\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} \ részleges ^ {\ alpha} A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ mu _ {0} J ^ {\ mu} (x ^ {\ nu })}

vagy

${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} = {\ frac {\ partialis {\ részleges x ^ {\ alfa}}} = \ balra ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}}, {\ vec {\ nabla}} \ jobbra}}$ a kovariáns gradiens kvadrivektort és ennek ellentmondó megfelelőjét jelöli . Valóban, az a Minkowski metrikus az aláírás (+, -, -, -). ${\ displaystyle \ particional ^ {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ részleges t}} \\ - {\ vec {\ nabla} } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ részleges ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ beta = 0} ^ {3} \ eta ^ {\ alpha \ beta} \ részleges _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {\ alpha \ beta}}$
Az indexek ismétlése magában foglalja a kifejezések összegét Einstein konvenciója szerint . Ez magában foglalja azt, ami nem más, mint az Alert operátor . ${\ displaystyle x _ {\ mu} y ^ {\ mu} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} x _ {\ mu} y ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} \ részleges ^ {\ alpha} = \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges t ^ {2}}} - \ Delta}$
${\ displaystyle \ mu _ {0} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} c ^ {2}}}}$ a vákuum áteresztőképességét jelöli
${\ displaystyle J ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ rho _ {0} V ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ rho _ {0} \ gamma (c, {\ vec {v}}) = \ gamma (c \ rho _ {0}, {\ vec {j_ {0}}}) = (c \ rho, {\ vec {j}})}$ az aktuális sűrűség kvadrivektort jelenti .

Mert azt látjuk, az egyenlet , amely megfelel Maxwell egyenletek vákuumban . $\ mu = 0$ ${\ displaystyle \ square \ phi = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ text {div}} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$

Valóban, ${\ displaystyle \ square \ phi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges t ^ {2}}} - \ Delta \ phi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges t ^ {2}}} - {\ szöveg {div}} ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi) = - {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} ({\ szöveg {div}} {\ vec {A}}) - {\ szöveg {div} } ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi) = {\ text {div}} \ bal (- {\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi - {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} \ jobbra) = {\ text {div}} {\ vec {E}}}$

Mert azt látjuk, az egyenlet , amely megfelel Maxwell egyenletek vákuumban . ${\ displaystyle \ mu = 1,2,3}$ ${\ displaystyle \ square {\ vec {A}} = \ mu _ {0} {\ vec {j}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {H}} = {\ vec {j}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {D}}} {\ részleges t}} }$

Valóban, ${\ displaystyle \ square {\ vec {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} {\ vec {A}}} {\ részleges t ^ {2}}} - \ Delta {\ vec {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} {\ vec {A}}} {\ részleges t ^ {2}}} + {\ vec {\ text {rot}}} ({\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {A}}) - {\ vec {\ text {grad} }} ({\ text {div}} {\ vec {A}}) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} {\ vec {A}} } {\ részleges t ^ {2}}} + {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ vec { \ text {grad}}} ({\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges t}}) = {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} + {\ frac {1 } {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} \ balra ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi + {\ frac {\ részleges {\ vec { A}}} {\ részleges t}} \ jobbra) = {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} - \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac { \ részleges {\ vec {E}}} {\ részleges t}} = \ mu _ {0} \ balra ({\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {H}} - {\ frac {\ részleges {\ vec {D}}} {\ részleges t}} \ jobbra)}$

Tulajdonságok Lorentz-átalakítás alatt

Bármely vektor, amelynek négy komponense van, nem feltétlenül határoz meg kvadrivektort a relativisztikus fizikában. Ennek alapja a relativitás elve, a fénysebesség állandójával kombinálva egy vákuumban, ami azt eredményezi, hogy minden kvadrektornak a galilei tároló cseréjével kell átalakulnia a Lorentz-transzformáció szerint (amelyet a Lorentz-tenzor szimbolizál ). Így a tárház megváltoztatásakor, vagy ha a koordinátákat a Lorentz-transzformáció transzformálja, és a kvadrivektor változatlan marad, vagy a koordináták változatlanok maradnak, de akkor ez a négy-vektor átalakul, mindkét művelet ugyanazt az eredményt eredményezi . Hasonlóképpen, ha kvadrivektor, akkor továbbra is kvadrektor, mivel a fizika változatlan marad a referenciakeret változásával (függetlenül a megfigyelőtől). A számítások példáit lásd a relativisztikus számítások című cikkben . ${\ displaystyle {\ Lambda {} ^ {\ mu}} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle P ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = P ^ {\ mu} (\ Lambda _ {\ xi} ^ {\ nu} x ^ {\ xi}) = \ Lambda _ {\ xi} ^ {\ mu} P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$ ${\ displaystyle P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ xi} ^ {\ mu} P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$

A d'Alembertian egy differenciál operátor, amelynek az a tulajdonsága, hogy változatlan, amikor megváltoztatjuk a referenciakeretet a speciális relativitáselméletben. Matematikai szempontból a Lorentz-transzformációval invariáns . Valójában definíció szerint ,, mivel a gradiens kvadrivektor engedelmeskedik a kvadrektor fenti tulajdonságainak, a koordináták megváltoztatásával továbbra is gradiens kvadrektor, de a mennyiség pontosan ugyanazt a kifejezést adja meg, mint a d'Alembert. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően azt is megmutatjuk, hogy Maxwell egyenletei változatlanok maradnak Lorentz-transzformációval. ${\ displaystyle \ square = \ részleges _ {\ mu} \ részleges ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \ részleges ^ {\ nu} \ részleges ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} \ részleges ^ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} ({\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} \ részleges ^ {\ rho}) ({\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ sigma} \ részleges ^ {\ sigma}) = (\ eta _ {\ mu \ nu} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ sigma}) \ részleges ^ {\ rho} \ részleges ^ {\ sigma} = \ eta _ {\ sigma \ rho} \ részleges ^ {\ rho} \ részleges ^ {\ sigma} = \ részleges _ {\ sigma} \ részleges ^ {\ sigma } = \ négyzet}$

Kapcsolódó cikkek