Korlátozott lakosztály

A matematika , a sorrend azt mondják, hogy korlátos , ha a beállított értékeinek egy korlátos része .

Példák

Valódi szekvencia ( u n ) korlátos, ha két rögzített m és M között marad :

{\ displaystyle \ létezik (m, M) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad m \ leq u_ {n} \ leq M}

(más szóval, ha a felső kötött és a alsó korlát a beállított annak feltételei vannak véges), vagy azzal egyenértékű módon, ha abszolút értéke van nőtt egy konstans M :

{\ displaystyle \ létezik M \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad | u_ {n} | \ leq M.}

Ahhoz, hogy egy szekvencia be legyen határolva, elegendő, ha „egy bizonyos rangból származik”. Valóban, ha | x n | ≤ K minden n > N esetén | x n | ≤ M minden n esetén , az M = max (| x 0 |, | x 1 |,…, | x N |, K ) beállításával.

Minden konvergens szekvencia következésképpen kötött (például az u n = (–1) n / ( n + 1) szekvencia , amely 0-ra konvergál, u 1 = –1/2 és u 0 = 1 között marad .
Bármely valós szekvencia, amely $\pm \infty-re$ hajlamos, nincs korlátozva (például: u n = 2 n , amely $+ \infty-re$ hajlik ).
Nem monoton szekvencia esetén a reciprok hamisak:
- egy bekötött szekvencia nem feltétlenül konvergens ( ellenpélda : u n = (–1) n korlátozott - 1-gyel növelve és –1-gyel csökkentve -, de nem ismer be korlátot);
- $Ahhoz$ , hogy egy szekvencia $\pm \infty$ felé $hajljon$ , nem elég, ha nincs korlátozva (ellenpélda: az a szekvencia, amely n páros esetén 0 , n pedig n páratlan értéket ér ).

Az u n = x n + $i$ y n komplex számok szekvenciája akkor korlátozott, ha annak modulusát állandó határolja, vagy ekvivalens módon, ha a két valós szekvencia ( x n ) és ( y n ) annak valós része és képzeletbeli része határolt.

Tapadási értékek egy valós, korlátozott szekvenciához

A korlátozott szekvenciák egyik nagy érdeke abban rejlik, hogy bármely korlátozott valós szekvenciából konvergens alszekvenciát vonhatunk ki . Ezt a Borel-Lebesgue ingatlanhoz szorosan kapcsolódó ingatlant néha „Bolzano-Weierstrass ingatlannak” nevezik. Különböző igazolások találhatók a Bolzano-Weierstrass- cikkben .

Példák :

ha x n = (–1) n , akkor a páros rangú tagok ( x 2 n ) folytatása 1-hez konvergál, és a páratlan rangú tagok ( x 2 n +1 ) –1-hez konvergál;
lehet, hogy az ember nem tudja megmagyarázni az ilyen folytatást. Például léteznek szigorúan növekvő n 1 , n 2 , ..., n k , ... egész számok , így a sin ( n k ) konvergál, de nincs kifejezésünk .
a legegyszerűbb az a helyzet, amikor a kötött szekvencia monotonabb: ebben az esetben már konvergens , a monoton határkor tétele szerint

Kapcsolódó cikk

Térköz ∞ ∞