Monoton határtétel

A tétel a monoton limit egy tétel az elemzés , hogy bármely folytonossági egy numerikus függvény monoton a „által ugrik ”, és monoton szekvenciák van egy határ .

Nyilatkozat a függvényekről

Hagyja $] egy , b [lehet$ egy nem üres nyílt valós intervallum (korlátos vagy nem :) és egy növekvő függvénye . Így : $- \ infty \ leq a <b \ leq + \ infty$ ${\ displaystyle f: \ left] a, b \ right [\ to \ mathbb {R}}$

$f$ beengedi $b-ben$ egy korlátot a bal oldalon, amely véges, ha $f-$ t növelünk, és amiegyébként megegyezik $+ \infty-vel$ .
$Az f$ elismerésnek $van$ egy korlátja a jobb oldalon, amely véges, ha $f$ értéke alulértékelt ésegyébként $-\infty$ értékű.
$f$ elismeri bármely ponton $x$ a $] egy , b [$ egy határt a jobb és egy határt a bal oldalon, amely jelöljük rendre $F ( x + )$ és $f ( x - )$ ; elkészültek és ellenőrizzék. ${\ displaystyle f (x ^ {-}) \ leq f (x) \ leq f (x ^ {+})}$

Általánosabban :

Legyen része , egy növekvő alkalmazás és . $D$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: D \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle a \ in {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$

Ha van tapadó , hogy akkor $nál nél$ ${\ displaystyle D \ cap] - \ infty, a [}$ ${\ displaystyle \ lim _ {a ^ {-}} f = \ sup f (D \ cap] - \ infty, a [)}$ .
Ha csatlakozik, akkor $nál nél$ ${\ displaystyle D \ cap] a, + \ infty [}$ ${\ displaystyle \ lim _ {a ^ {+}} f = \ inf f (D \ cap] a, + \ infty [)}$ .

Az analóg tétel csökkentése funkciók levezethető e helyett $f$ által $- f$ ; tanácsos megfordítani az egyenlőtlenségek irányát, és kicserélni a „minorée” és a „növelt”, valamint a „ $+ \infty$ ” és „ $-\infty$ ” kifejezéseket.

Nyilatkozat lakosztályokról

Ha a kezünkbe veszünk , és az általános megállapítás fenti, megkapjuk: ${\ displaystyle D = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle a = + \ infty}$

Hagy egy növekvő sorozat a valós számok . Szóval . Ebből kifolyólag : $u = \ bal (u_ {n} \ jobb) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ lim u = \ sup u (\ mathbb {N})}$

ha a szekvencia megnövekszik, akkor konvergens ;
ha a szekvencia nem növekszik, akkor $+ \infty$ felé hajlik .

Az analóg tétel csökkentésére szekvenciákat lehet következtetni e helyett a . $u$ ${\ displaystyle -u}$

Megjegyzések és hivatkozások

E. Ramis, C. Deschamps és J. Odoux, Speciális matematika tanfolyam , vol. 3, Masson ,1976, P. 119-120, következmények.
F. Benoist, B. Szegecs, S. MAFFRE, L. és B. Touzillier Dorat, Matematika ECS 1 st év , Dunod , coll. "A társ",2011( online olvasható ) , p. 396.
Ramis, Deschamps és Odoux 1976 , p. 119. cikk, csak állítsa és bizonyítsa , de az általános eset igazolása megegyezik: lásd például a "Monotonikus korlát tételt" a Wikiverzitásról . $a \ in \ mathbb {R}$

Kapcsolódó cikkek

Specker szekvenciája, példa racionális számok sorozatára, amely kiszámítható, növekvő és korlátozott, de amelynek határa nem kiszámítható valós szám .
Bijekciós tétel (erős változat) , néha a monoton határtételt alkalmazva egy intervallum intervallumonkénti monoton túlfutásának folytonosságának megállapítására .