A valódi jog elkészült

A matematika , a kitöltött számegyenesen kijelöli a rendezett halmaza alkotja valós számok , amelyek két további elemei: egy nagyobb elem , megjegyezte $+ \infty$ , és egy kisebb elem, megjegyezte $-\infty$ . Jelölése $[-\infty, + \infty]$ , ℝ ∪ ${-\infty, + \infty}$ vagy ℝ (a sáv itt az adhéziót szimbolizálja, mert a sorrend topológiájával ellátott teljes valós sorban a ℝ sűrű ).

Ez a készlet nagyon hasznos elemzésben és különösen az integráció egyes elméleteiben .

Tulajdonságok

Tevékenységek

Az összeadás és szorzás, amelyet a valós számok halmazán határozunk meg, az alábbiak szerint részben kiterjesztésre kerülnek a teljes sorig.

Kiegészítés

Minden $x \in] -\infty, + \infty]$ , $x + (+ \infty) = + \infty esetén$ .

Minden $x \in [-\infty, + \infty [$ , $x + (-\infty) = -\infty esetén$ .

Szorzás

Minden $x \in ℝ esetén$ :

$x \times (+ \infty) = + \infty,$ ha $x > 0,$ és $-\infty,$ ha $x <0$ ;
$x \times (-\infty) = -\infty,$ ha $x > 0,$ és $+ \infty,$ ha $x <0$ ;

Meghatározatlan tranzakciók

Lehetetlen ℝ olyan csoportszerkezettel ellátni , amelynek (ℝ, +) egy alcsoportja , mert nem adunk hozzá elegendő elemet (lásd: „ Egy alcsoport indexe ”). Ezért inkább nem definiáljuk ( $+ \infty$ ) + ( $-\infty$ ).

Ugyanígy a határok számításának keretein belül nem adunk irányt a $+ \infty$ vagy $-\infty$ $0$ $szorzatainak$ vagy hányadosainak . A méréselméletben és a konvex elemzésben azonban gyakran alkalmazzák az egyezményt . ${\ displaystyle 0 \ szor \ pm \ infty = 0}$

Összegzés

Az elkészült valós vonalra részben kiterjesztett összeadást és szorzást az alábbi táblázatok foglalják össze, a szürke mezők a határozatlan formákat képviselik:

$+$	$- \ infty$	${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$	$+ \ infty$
$- \ infty$	$- \ infty$	$- \ infty$
$x \ itt: {\ mathbb {R}}$	$- \ infty$	$x + y$	$+ \ infty$
$+ \ infty$		$+ \ infty$	$+ \ infty$

$\ alkalommal$	$- \ infty$	${\ displaystyle y <0}$	${\ displaystyle 0}$	$y> 0$	$+ \ infty$
$- \ infty$	$+ \ infty$	$+ \ infty$		$- \ infty$	$- \ infty$
$x <0$	$+ \ infty$	${\ displaystyle x \ szor y}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x \ szor y}$	$- \ infty$
${\ displaystyle 0}$		${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$
$x> 0$	$- \ infty$	${\ displaystyle x \ szor y}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x \ szor y}$	$+ \ infty$
$+ \ infty$	$- \ infty$	$- \ infty$		$+ \ infty$	$+ \ infty$

Rendelési viszony

A ℝ halmaz rendelési relációval van ellátva, amely megjegyzi ≤, amely kiterjeszti a ℝ szokásos rend relációját.

Ez az összefüggés olyan, hogy $-\infty$ a legkisebb eleme ℝ és $+ \infty$ a legnagyobb elem.

Így, ha , és abban az értelemben, hogy a szokásos rend reláció ℝ, van: $(a, b) \ in \ mathbb {R} ^ {2}$ $a \ leq b$

- \ infty \ leq a \ leq b \ leq + \ infty.

Mint hogy ℝ, a megszokott rend reláció ℝ az összes .

Az elkészült valós vonal teljes rács , vagyis ennek a halmaznak bármelyik része rendelkezik felső és alsó határral , beleértve az üres set halmazt is ( $+ \infty$ az alsó határa és $-\infty$ a felső határa, amint azt a § „Példák” Felső és alsó határértékről szóló cikk ” .

A sorrendben a ℝ indukálja topológia a sorrendben : egy nyitott alapja alkotják időközönként formájában] egy , $+ \infty$ ] vagy a [ $-\infty$ , b [vagy] egy , b [a egy és b valós. A topológia indukált a ℝ e topológia on ℝ tehát a topológia a sorrendben ℝ, azaz a szokásos topológia. Más szavakkal: a negyedekben a ℝ egy igazi X jelentése ugyanaz, mint azok, amelyeket a szokásos topológia a ℝ, esetleg nőtt $-\infty$ és / vagy a $+ \infty$ .

Minden pontján ℝ egy megszámlálható környéken alapján . Például :

az] n , $+ \infty$ ] intervallumok n egész számmal (vagy pozitív egész számmal) a $+ \infty$ szomszédságainak alapját képezik ;
a [ $-\infty$ , n [ intervallumok n egész számmal (vagy negatív egész számmal) alkotják a $-\infty$ szomszédságainak alapját ;
bármely valós x esetén az intervallumok] x - 1 / n , x + 1 / n [ n szigorúan pozitív egész számmal képezik az x szomszédságainak alapját .

A topologikus tér ℝ van még metrizálható , de nem távolság természetesen kiszabott több mint egy másik; Különösen nincs bekapcsolva ℝ nincs távolság továbbra is a szokásos távolság meghosszabbítása on-n.

Között a távolságok indukáló topológia az ℝ idézhetjük:

$d '(x, y) = | \ arctan y- \ arctan x |$ , számolva $\ arctan \ pm \ infty = \ pm \ pi / 2$
$d '(x, y) = | \ tanh y- \ tanh x |$ , számolva $\ tanh \ pm \ infty = \ pm 1$

Valóban, a térkép $arctan$ (ill. $Tanh$ ) egy izomorfizmus a megrendelt készletek a ℝ a $[-π / 2, π / 2]$ (ill. A $[-1, 1]$ ), ezért homeomorfizmus közötti topológiák társított Ezen megrendelések .

Ezek homeomorphisms is mutatják, hogy ℝ van kompakt .

Lásd is

Alexandroff kompenzálta