Verhulst modell

A népességdinamikában a Verhulst-modell egy Pierre François Verhulst által 1840 körül javasolt növekedési modell . Verhulst ezt a modellt javasolta a Malthus- modellre adott válaszként, amely állandó növekedési ütemet javasolt fékezés nélkül, ami a népesség exponenciális növekedéséhez vezet.

Verhulst modellje azt képzeli, hogy a születési arány és a halálozási arány is rendre csökkenő és emelkedő affin függvények a populáció mérete. Más szóval, minél jobban növekszik a népesség nagysága, annál inkább csökken a születési aránya és nő a halálozási aránya. Verhulst ezzel szemben azt állítja, hogy ha a populáció kicsi , akkor nőni szokott.

Ugyanez a modell alkalmazható az autokatalitikus reakcióknál , amelyekben az érintett egyének növekedése arányos mind a már érintett egyedek számával, mind az egyének számával, akik még mindig érintettek lehetnek.

Ez a modell folyamatos időben egy logisztikai funkcióhoz , diszkrét idő alatt pedig egy olyan logisztikai szekvenciához vezet, amelynek sajátossága bizonyos körülmények között kaotikus .

Matematikai megvalósítás

Ha felhívjuk:

$y$ a népesség nagysága;
$m ( y )$ halálozási arány;
$n ( y )$ születési arány,

a populáció mérete a differenciálegyenletet követi

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y \ bal (n (y) -m (y) \ jobb)

Ha $m$ és $n$ növekvő és csökkenő affin függvény, akkor $n - m$ csökkenő affin függvény. Ha viszont $y$ értéke 0 felé halad, akkor a növekedés pozitív, akkor felírható az egyenlet

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y (a-by)

egy

és

b

két pozitív valós számok

Ezután a $K = a / b$ beállításával az egyenlet:

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = ay \ bal (1 - {\ frac yK} \ right) \ quad {\ text {with}} \ quad a, K> 0.

Azonnali megfigyelés azt mutatja, hogy:

az $y = K$ állandó függvény ennek az egyenletnek a megoldása;
ha $y < K,$ akkor a populáció növekszik;
ha $y > K,$ akkor a népesség csökken.

A $K$ paramétert teherbírásnak nevezzük .

Az autokatalitikus modell ugyanahhoz az egyenlethez vezet (növekedés az érintett populációval és a fennmaradó populációval arányosan)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = \ alpha y (Ky) = \ alpha Ky \ bal (1 - {\ frac {y} {K}} \ jobb).}

Folyamatos időfelbontás

Szigorúan pozitív funkciók keresése és meghatározása a rendszeren $[0; + \ infty [$

$y (0) = y_ {0} ~$
$y '= ay \ bal (1 - {\ frac yK} \ jobb)$

logisztikai megoldáshoz vezet

y (t) = K {\ frac 1 {1+ \ balra ({\ frac K {y_ {0}}} - 1 \ jobbra) e ^ {{- at}}}}

ahol megfigyeljük, hogy a népesség a K befogadóképesség felé hajlik, és növekszik, ha a kezdeti népesség alacsonyabb, mint a befogadó népesség, és egyébként csökken.

Diszkrét időfelbontás

Diszkrét idő alatt a modell átalakul

u _ {{n + 1}} - u_ {n} = au_ {n} \ balra (1 - {\ frac {u_ {n}} {K}} \ jobbra)

Aztán pózolva

$a + 1 = \ mu$
$v_ {n} = {\ frac {au_ {n}} {\ mu K}}$

az ismétlődési reláció válik

v _ {{n + 1}} = \ mu v_ {n} (1-v_ {n}) \,

Ebben a formában tanulmányozzák, mint logisztikai folytatást . Ez a szekvencia, bár kifejezése nagyon egyszerű, nagyon változatos eredményekhez vezethet; viselkedése a μ értékei szerint változik:

μ esetén 1 és 3, azaz 0 és 2 között a szekvencia konvergál és valóban találunk szekvenciát konvergáló K felé $nál nél$ $(v_ {n})$ ${\ frac {\ mu -1} {\ mu}}$ $(a})$
3-nál nagyobb μ esetén a szekvencia a μ értékétől függően 2, 4, 8, 16… érték között ingadozhat, vagy kaotikus lehet . $(v_n)$

Jegyzet és források

jegyzet

Lásd különösen Martial Schtickzelle , „ Pierre-François Verhulst (1804-1849). A logisztikai funkció első felfedezése ”, Népesség , Nemzeti Demográfiai Kutatóintézet, t . 36, n o 3,1981. május-június, P. 541-556 ( DOI 10.2307 / 1532620 , online olvasás ).
A források szerint 1838 [1] , 1844. [2] , 1846 in (en) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , "Pierre Francois Verhulst" , a MacTutor History of Mathematics archiválni , egyetem St Andrews ( online olvasás )..

Források

Pierre-François Verhulst " Közlemény a törvény, hogy a lakosság továbbra is növekszik ", Correspondance mathématique et testalkat , n o 10,1838, P. 113–121 ( online olvasás )
Pierre-François Verhulst „ matematikai kutatás joga népességnövekedés ”, New emlékiratai Királyi Tudományos Akadémia és a szépirodalom de Bruxelles , n o 18,1845, P. 1–42 ( online olvasás )
Pierre-François Verhulst „ második emlékirat joga népességnövekedés ” emlékiratai a Royal Academy of Sciences, betűk és Képzőművészeti Belgium , n o 20,1847, P. 1-32 ( online olvasható )
Bernard Delmas, Pierre-François Verhulst és a lakosság logisztikai törvényei a matematikában és a társadalomtudományban (167. szám, 2004.)
Nicolas Bacaër , Matematika és populációk története , Éditions Cassini, koll. "Só és vas",2008, 212 p. ( ISBN 9782842251017 ) , "Verhulst és a logisztikai egyenlet"

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Skálázható r / K modell

Külső linkek

Matematika a népességdinamikában , Christelle Magal