A matematika , a logisztikai szekvencia egy egyszerű szekvencia , de a kiújulás, amelyek nem lineáris. Megismétlődési viszonya az
A μ paraméter értékétől függően (a [0; 4] -ben annak biztosítására, hogy x megmaradjon a [0; 1] -ben) konvergens szekvenciát, rezgéseknek kitett szekvenciát vagy kaotikus szekvenciát generál .
Gyakran idézett példa a viselkedési összetettség, adódhatnak olyan egyszerű nemlineáris kapcsolat, ez a folytatás népszerűsítette biológus Robert May in 1976 . A logisztikai csomag egyik alkalmazása a biológiai populáció méretének modellezése nemzedékekről generációra.
Ez a Verhulst modell diszkrét időbeli megoldása . A „logisztika” kifejezés Pierre François Verhulst munkájából származik, amely a logisztikai görbét modellje folyamatos időmegoldásának nevezi . 1845-ben írta e jelenségnek szentelt munkájában: "A logisztika kifejezést ennek a görbének adjuk" . A szerző nem magyarázza meg választását, de a „logisztika” gyökere megegyezik a logaritmuséval, a logisztika pedig görögül jelenti a „számítást”.
A logisztikai modellben figyelembe vesszük, hogy az x n itt felsorolt változó egy faj populációjának és a faj maximális populációjának arányát jelöli (ez 0 és 1 közötti szám). A μ paraméter változtatásával több különböző viselkedés figyelhető meg:
0. eset ≤ µ ≤ 1 a lakosság kioltott.Végül a faj elpusztul, a kiinduló populációtól függetlenül. Vagyis .
1. eset ≤ µ ≤ 3 a népesség nagysága stabilizálódik.A fent leírt oszcillációs periódusok megfelelnek a következő szabálynak. Vegye figyelembe a szigorúan pozitív egész számokon meghatározott Charkovski-sorrendet az alábbiak szerint:
Más szavakkal, először a 3-tól kezdődő páratlanokat növekvő sorrendbe helyezzük, majd a páratlanokat megszorozzuk 2-vel, majd 4-gyel stb. és a 2 hatványával csökkenő sorrendben fejezzük be. Ha a µ paraméter értéke megfelel az n oszcillációs periódusnak , akkor Charkovski sorrendjében az összes n- t követő egész szám megfelel azoknak az oszcillációs periódusoknak, amelyek a paraméter µ- nél kisebb értékeinél már megjelentek . Tehát, mivel µ = 3,82 megfelel a 3. periódusnak, az összes lehetséges oszcillációs periódus már megjelent a 0 és 3,82 közötti µ értékeknél .
Egy bifurkációs diagram (in), amelyet a különböző esetek grafikus összefoglalására használnak:
Néhány egyszerű érv és néhány grafikon lehetővé teszi számunkra, hogy részben megvilágítsuk a fenti eredményeket.
A logisztikai szekvencia alakulása ábrázolható a síkban ( x n , x n +1 ).
Az alapegyenlet egy parabola, amely a vízszintes tengely 0 és 1 abszcisza pontjain halad át. Annak érdekében, hogy az x n +1 értékei ne váljanak negatívakká, csak a két pont között szereplő ívet kell megtartani; Ez mutatja, az x n = 1 / 2 , maximum érték μ / 4 . Ennek az értéknek szintén 0 és 1 között kell lennie, ezért μ <4.
Ha a szekvencia konvergál, akkor annak határa kielégíti a lim x n +1 = lim x n egyenletet . Ez az x- szel jelölt lehetséges határ a másodfokú egyenlet megoldása
és ezért felveheti az egyik vagy másik értéket
A szekvencia viselkedésének leírásához x 0 abszcisszából kell kiindulni , a parabolán meg kell határozni az x 1 értéket, amelyet aztán átalakítunk egy új abszcisszává, amely áthalad az x n +1 = x n felezőn, és ismételje meg ezt a kettőt tevékenységek.
A μ paraméter bizonyos értékeinél a szekvencia klasszikus szekvenciaként viselkedik, és a két lehetséges határ egyikéhez konvergál. Az alapegyenlet formában átírható
Ha , a szekvenciát egy 0 felé hajló geometriai szekvencia határolja.
Ahhoz, hogy a viselkedést a második lehetséges határhoz képest lássuk, elegendő elvégezni az x n = u n + 1 - 1 / μ változó változását . A képlet a következő lesz:
Ebben az esetben, a konvergencia feltétel megkívánja, hogy a második tag között -1 és + 1: .
Ellenőrizzük, hogy ha u n közel van az 1 - 1 / μ határértékhez, akkor 1 μ μ u n közel 2 - μ értékhez, és u n a határértéke felé haladva növeli az értékeket, ha μ értéke kisebb 2-nél, váltakozó értékek, ha nagyobb, mint 2.
![]() |
![]() |
![]() |
Az előző bekezdésben az x n +1 = f ( x n ) forma ismétlődési képlete lehetővé tette az első vonzerők megszerzését az x = f ( x ) egyenletnek megfelelő lehetséges határ keresésével .
Amikor μ nagyobb lesz, mint 3, akkor megoldást kell keresnünk az x = f ( f ( x )) egyenletre . Ez egy negyedik fokú egyenlethez vezet, amelynek természetesen megvan a már ismert gyökere - de ezek már nem vonzók - és az új gyökérpár.
Nincs többé konvergencia: megjelenik egy határciklus. Az iteráció eredménye váltakozva változik az utolsó két gyök egyikéből a másikba: u n + 1 = u n-1, míg u n + 2 = u n . Μ = 3,4 esetén az egymás utáni közelítő értékek 0,84, 0,45, 0,84, 0,45, 0,84 jelennek meg.
E ciklus √6 + 1 stabilitási határán túl két új bifurkáció lép fel, amelyek az x = f (f (f (f (f (x)))) megoldásoktól függenek. Μ = 3,47 esetén az egymást követő értékek 0,47, 0,86, 0,40, 0,84, 0,47 nagyságrendűek.
![]() |
![]() |
A fejlődés a bifurkációtól a bifurkációig egyre összetettebbé válik. A folyamat kb. Μ> 3,57 esetén olyan rendszereket eredményez, amelyek általában már nem mutatnak látható attraktorokat. A grafika ezután a kifejezés szokásos értelmében vett „kaotikus” evolúciót képvisel.
A matematikusok nyelvén azonban a káosz szó erős érzékenységet képvisel a kezdeti feltételekkel szemben. A μ = 3,9-nek megfelelő két grafikon, u 0 0,100 és 0,011 kezdeti értékkel mutatja, hogy a pályák eltávolodnak egymástól, amíg gyorsan meg nem különböztetik egymást. Konkrét probléma esetén a kezdeti feltételeket soha nem ismerjük pontosan: egy bizonyos idő elteltével a kaotikus jelenség kiszámíthatatlanná vált, annak ellenére, hogy az azt meghatározó törvény tökéletesen meghatározó.
![]() |
![]() |