Cantor szettje

A matematikában az egész Cantor (vagy a triádikus Cantor-készlet , vagy a Cantor-por ) egy mindent figyelemre méltó, a valódi vonal, amelyet Georg Cantor német matematikus épített .

Ez egy zárt részhalmaza az egység intervallum [0, 1] , a üres belső . Ezt szolgálja az példáján mutatja be, hogy létezik végtelen halmazok, amelyek megszámlálhatatlan , de elhanyagolható abban az értelemben, Lebesgue intézkedés . Ez a fraktál legkorábbi példája is (bár a kifejezés csak egy évszázaddal később jelent meg), és nem egész dimenzióval rendelkezik .

Végül elfogad egy értelmezést a 3-as bázis valósainak fejlődési szöge alatt . Ezért gyakran megjegyzik K 3-at .

Iteratív módon építjük a [0, 1] szegmensből a középső harmadik eltávolításával; akkor a műveletet megismétlik a két megmaradt szegmensen stb. A folyamat első hat iterációját a következő ábrán láthatjuk:

Építkezés

Iteratív konstrukció

Az operátor jelöli "távolítsa el a középső harmadot": T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}

T:én→én0∪én1  [nál nél,b]↦[nál nél,nál nél+b-nál nél3]∪[b-b-nál nél3,b].{\ displaystyle {\ begin {tömb} {cccl} {\ mathcal {T}}: & én & \ jobbra nyíl & I_ {0} \ csésze I_ {1} \ \ & \ [a, b] & \ mapsto & \ displaystyle \ left [a, a + {\ frac {ba} {3}} \ right] \ cup \ left [b - {\ frac {ba} {3}}, b \ right] \ end {tömb}} .}

Indukcióval jelöljük és definiáljuk a [0, 1] részek sorozatát a relációval: NÁL NÉL0=[0,1]{\ displaystyle A_ {0} = [0,1]}

∀nem∈NEM, NÁL NÉLnem+1=T(NÁL NÉLnem).{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ A_ {n + 1} = {\ mathcal {T}} (A_ {n}).}

Nekünk van :

NÁL NÉL1=[0,13]∪[23,1];{\ displaystyle A_ {1} = \ bal [0, {\ frac {1} {3}} \ jobb] \ csésze \ bal [{\ frac {2} {3}}, 1 \ jobb];} NÁL NÉL2=[0,19.]∪[29.,13]∪[23,79.]∪[8.9.,1];{\ displaystyle A_ {2} = \ balra [0, {\ frac {1} {9}} \ jobbra] \ csésze \ balra [{\ frac {2} {9}}, {\ frac {1} {3 }} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {3}}, {\ frac {7} {9}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {8} {9}}, 1 \ jobbra];}

NÁL NÉL3=[0,127.]∪[227.,19.]∪[29.,727.]∪[8.27.,13]∪[23,19.27.]∪[2027.,79.]∪[8.9.,2527.]∪[26.27.,1].{\ displaystyle A_ {3} = \ balra [0, {\ frac {1} {27}} \ jobbra] \ csésze \ balra [{\ frac {2} {27}}, {\ frac {1} {9 }} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {9}}, {\ frac {7} {27}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {8} {27}}, {\ frac {1} {3}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {3}}, {\ frac {19} {27}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {20} {27}}, {\ frac {7} {9}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {8} {9}}, {\ frac {25} {27}} \ right] \ csésze \ balra [{\ frac {26} {27}}, 1 \ jobbra].}

Ezután a Cantor-halmazt a „határ” , amikor inkább  : K3{\ displaystyle K_ {3}}NÁL NÉLnem{\ displaystyle A_ {n}}nem{\ displaystyle n}+∞{\ displaystyle + \ infty}

K3=⋂nem∈NEMNÁL NÉLnem.{\ displaystyle K_ {3} = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}.}

Írás a 3. alapba

Azt is meghatározza a Cantor-halmazt keresztül 3 alap írásban . Valójában bármilyen valós megírható: x∈[0,1]{\ displaystyle x \ in [0,1]}

x=∑nem=1∞xnem3nem;{\ displaystyle x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x_ {n}} {3 ^ {n}}};}

a . Ezután írunk xnem∈{0,1,2}{\ displaystyle x_ {n} \ in \ {0,1,2 \}}

x=0,x1x2x3x4x5....{\ displaystyle x = 0, x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} x_ {5} \ ldots}

Ez az írás egyedülálló kivéve, hogy ki lehet cserélni a (és a ) a végén egy írás. Ha ezt az átalakítást választjuk, akkor az alábbiak szerint határozhatjuk meg: 1 000 000...{\ displaystyle 1000000 \ ldots}0222222...{\ displaystyle 0222222 \ ldots}2 000 000...{\ displaystyle 2000000 \ ldots}1222222...{\ displaystyle 1222222 \ ldots}K3{\ displaystyle K_ {3}}

A Cantor halmaz a [0, 1] valós értékeiből áll , amelynek egy 3 alapú írása csak 0-kat és 2-et tartalmaz.

Vagy inkább formálisan:

K3={∑nem=1∞xnem3nem |∀én∈NEM∗,xén∈{0,2}}.{\ displaystyle K_ {3} = \ balra \ {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x_ {n}} {3 ^ {n}}} \ | \ mind az i \ be \ mathbb {N} ^ {*}, x_ {i} \ in \ {0,2 \} \ jobb \}.}

Például a valódi 1/3 ebben a halmazban van, mivel a két írást 0,1000… és 0,02222 ... a 3 alapba veszi. A valódi 2/3-ot is (0,2000… vagy 0,12222…). Észrevehetjük, hogy a megfelelő bővítést és a helytelen bővítést elismerő számok között nincs olyan, akinek két írása igazolja a kért tulajdonságot.

Tulajdonságok

Mért

A Cantor halmaz nulla mértékű, vagyis elhanyagolható a Lebesgue-mérték értelmében .

Valóban megjegyezve a Lebesgue mérték , van: ℓ{\ displaystyle \ ell}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• ℓ([0,1])=1{\ displaystyle \ ell \ left ([0,1] \ jobb) = 1} ;
• Egy találkozó időközönként:  ;NÁL NÉLnem{\ displaystyle A_ {n}}ℓ(T(NÁL NÉLnem))=ℓ(NÁL NÉLnem+1)=23ℓ(NÁL NÉLnem){\ displaystyle \ ell \ left ({\ mathcal {T}} (A_ {n}) \ right) = \ ell (A_ {n + 1}) = {\ frac {2} {3}} \ ell (A_ {nem})}

hol van a „középső harmad ablációja” operátor (lásd az első bekezdést ). T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}

Arra következtetünk, hogy a fenti iteratív felépítés lépéseire:

∀nem∈NEM, ℓ(NÁL NÉLnem)=(23)nem.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ \ ell \ left (A_ {n} \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {n}.}

És mivel a Cantor-halmazt tartalmazza az összes  : . NÁL NÉLnem{\ displaystyle A_ {n}}ℓ(K)=0{\ displaystyle \ ell \ bal (K \ jobb) = 0}

A Cantor-készlet tehát "kicsi" a Lebesgue-intézkedés értelmében .

Megszámlálhatatlanság

A Cantor halmaz azonban nem számolható . Pontosabban, azt a erejét a folytonos , azaz, hogy ekvipotenciális hogy , a készlet részei a készlet a természetes egész számok (vagy , sőt ekvivalensnek mutatkozott , nem megszámlálható szerint a Cantor-tétel ). P(NEM){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}P(NEM){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Egy valóban, köszönhetően az írást a 3 alap felett , meg egy bijekciót a figyelembe , társítanak bármely részét a valós , ahol jelöli a karakterisztikus függvénye az alkatrész . P(NEM){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}K3{\ displaystyle K_ {3}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}∑k=0∞2×1NÁL NÉL(k)3k+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ szor 1_ {A} (k)} {3 ^ {k + 1}}}}1NÁL NÉL{\ displaystyle 1_ {A}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

Így a Cantor halmaz „nagy” abban az értelemben, halmazelmélet .

• A Cantor készlet kompakt és csak felhalmozási pontokkal rendelkezik (nincs izolált pontja ). Azt mondják, ez egy tökéletes készlet . Különben is, belül üres,

Demonstráció

Vagy P pontot , és egy nyitott labda (nyitott intervallum) központú P . Ez a nyitás szükségszerűen tartalmaz egy valós értéket, amelynek bővítése a 3-as bázisban tartalmazza az 1-es számot, amely nem eleme . Tehát P nincs bent . Ezenkívül ugyanabban az intervallumban mindig létezik olyan valós, amelynek bővülését a 3. bázisban csak 0-val vagy 2-vel írjuk. Ezért P nem izolált pont. K3{\ displaystyle K_ {3}}K3{\ displaystyle K_ {3}}K3{\ displaystyle K_ {3}}

• A Cantor halmaz szintén teljesen szakaszos, vagyis mindegyik szingulett a maga összekapcsolt alkotóeleme .

• Ez homeomorf hogy Cantor térben , felruházva a terméket topológia .{0,1}NEM{\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {\ mathbb {N}}}

• Az X topológiai tér akkor és csak akkor homeomorf a Cantor-térrel szemben, ha X tökéletes tömörség , amelynek megszámlálható alapja a nyitott-zárt.

• Bármely kompakt metrikus tér a Cantor képe, amelyet folytonos térkép állít be. Ennek a tulajdonságnak fontos következményei vannak a funkcionális elemzésben . Ezenkívül minden tökéletes, teljesen szakaszos kompakt metrikus tér homeomorf a Cantor-halmazhoz képest; a sík vagy az ezzel a tulajdonsággal rendelkező szokásos tér altereit gyakran Cantor porának nevezik .

Önhasonlóság

A h homotetika által beállított Cantor képe 0 középponttal és 1/3 arányban maga a Cantor készlet része. Pontosabban

K3=h(K3)∪(h(K3)+23).{\ displaystyle K_ {3} = h \ bal (K_ {3} \ jobb) \ csésze \ bal (h \ bal (K_ {3} \ jobb) + {\ frac {2} {3}} \ jobb). }

Ez tehát két rész szétválasztott összejövetele, amely homotézik vele szemben. Az ön-hasonlóságnak nevezett megnyilvánulása , amely a fraktálok egyik alapvető tulajdonsága . K3{\ displaystyle K_ {3}}

Dimenzió

A fentiek következtében kiszámíthatjuk a Minkowski dimenziót  ; ez log 3 (2) = log b (2) / log b (3) ≈ 0,631, ahol b bármelyik bázis. Ez irracionális , sőt transzcendens szám . Néha tört dimenzióról beszélünk, mert ez nem egész szám, még akkor is, ha nem inkább racionális szám .

Ez a log 3 (2) érték egyben a halmaz Hausdorff dimenziója is.

Változatok

Legyen s szigorúan 0 és 1 közötti szám. Ha ahelyett, hogy minden intervallumot háromra osztanánk, és eltávolítanánk a központi intervallumot, az n- edik lépésnél eltávolítunk egy hosszúsági intervallumot a fenti generáció minden intervallumának közepén, akkor szerezzen be egy Cantor készletet, amelynek Lebesgue-mértéke 1 s . Ez lehetővé teszi, hogy egy üres beltéri kompakt mérést a lehető legközelebb 1-hez kapjon. Az s = 1 eset a szokásos Cantor halmazt adja vissza. A Smith-Volterra-Cantor egész területén hasonló eljárást alkalmaznak . s/3nem{\ displaystyle s / 3 ^ {n}}

A Cantor készlet másik változata a Cantor tér . Ugyanarra az általános elvre épül, de négyzet alapján: egy négyzetet tekintünk, amelyet 9 azonos méretű négyzetre vágunk, és töröljük az összes olyan négyzetet, amely nincs a kezdő négyzet sarkában. A készlet iteratív módon épül fel úgy, hogy megismétli ezt a műveletet az új négyzeteken. Nem más, mint egy önállóan beállított Cantor kartéziai terméke (nem tévesztendő össze a Sierpiński szőnyeggel ). K3×K3{\ displaystyle K_ {3} \ szorzat K_ {3}}

Ugyanez a konstrukció a 3. dimenzióban a Cantor-kockához vezet , amely megegyezik a derékszögű szorzattal (nem tévesztendő össze a Menger szivaccsal ). K3×K3×K3{\ displaystyle K_ {3} \ szorzat K_ {3} \ szorzat K_ {3}}

Megjegyzések és hivatkozások

1. G. Cantor, „  A tökéletes pontkészletek erejéről  ”, Acta Math. , vol.  4,1884, P.  381-392 ( DOI  10.1007 / BF02418423 ).
2. Ez a Hausdorff távolsági topológia valódi korlátja is .
3. Lásd L. Iôôs és S. Peronno L3 disszertációjának 52. tételét: „Autosimilarity, Cantor triádikus együttes és Hausdorff-dimenzió” , Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines Egyetem , 2007.
4. (a) S. Willard, Általános Topológia , Addison-Wesley, Reading, MA 1970 th. 30-7.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Antoine nyakláncát
• Smith-Volterra-Cantor együttes
• Menger szivacs
• Cantor vagy az Ördög lépcsője
• A fraktálok listája Hausdorff dimenzió szerint

Bibliográfia

• (en) Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer és James A. Yorke  (en) , Káosz: Bevezetés a dinamikus rendszerekbe , New York, Springer,1996, 603  p. ( ISBN  0-387-94677-2 , olvasható online ) , fejezet.  4.1 („Cantor készletek”) , p.  150-152- Ez a dinamikus rendszerek bevezető kézikönyve az egyetem első ciklusának és a második ciklus kezdetének hallgatóinak szól (Ix. O.).
• (en) Julian F. Fleron, „  Megjegyzés a kántorkészlet és a kántorfunkció történetéhez  ” , Matematika Magazin ,1994. április( online olvasás )
• (en) George Pedrick , Első elemzési tanfolyam , Springer,1994, 279  p. ( ISBN  0-387-94108-8 , online olvasás ) , p.  29., 6. gyakorlat
• (en) Charles Chapman Pugh , valós matematikai elemzés , New York, Springer ,2002, 437  p. ( ISBN  0-387-95297-7 , online olvasás ) , p.  95-98
• en) Murray H. Protter és ifjabb Charles B. Morrey, A valós elemzés első tanfolyama , Springer,1977, 507  p. ( ISBN  978-1-4615-9992-0 , online olvasás ) , p.  494-495, 3. feladat

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">