Folyamatos teljesítmény

Ez a cikk egy vázlatot vonatkozó matematika .

Megoszthatja ismereteit fejlesztésével ( hogyan? ) A megfelelő projektek ajánlásai szerint .

A matematikában , pontosabban halmazelméletben azt mondjuk, hogy az E halmaz rendelkezik a kontinuum (vagy néha a kontinuum kardinálisának ) erejével, ha ekvipotens a valós számok ℝ halmazára , azaz mondjuk, hogy van-e bijection a E- től ℝ-ig.

A ℝ bíborosát néha megjegyzik , utalva a rendezett halmaznak adott folytonosságra (en) , a névre (ℝ, ≤). Ezt a sorrendet (és még inkább az alapkészlet bíborosát ) néhány klasszikus tulajdonság teljesen meghatározza ( az izomorfizmusig ). ${\ mathfrak {c}}$

Az is gyakran jelöljük 2 ℵ₀ , mert ℝ ekvipotens a beállított P (ℕ) részeinek a készlet ℕ a természetes egész számok , amelynek számossága (a megszámlálható ) jelöljük ℵ₀, és hogy minden beállított E , bíboros van , ahol jelöli E bíborosát . ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ mathrm {Card} \ E}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Kártya} \ E}$

Történelem

Ezt a felfogást köszönhetjük Georg Cantornak, aki egy 1874-ben megjelent cikkében kimutatta, hogy a kontinuum nem egyenértékű a megszámlálhatóval, és ezért több "végtelen" létezésével.

Cantor hiába próbálta bizonyítani, hogy a valóságok bármelyik részhalmaza megszámlálható vagy a kontinuum ereje. Ezt a hipotézist, amelyet kontinuum hipotézisnek neveznek, sem a ZFC halmazok elmélete nem tudja megerősíteni, sem érvényteleníteni , amelyről azt gondolják, hogy Cantor elméletének meglehetősen hű formalizálása.

A kontinuum ereje a ℕ összes részének kardinalitása

Ez jön le, hogy ugyanaz a dolog - azonosításával minden egyes részét ℕ annak karakterisztikus függvénye - azt állítani, hogy OT ekvipotens a {0, 1} ℕ a szekvenciák a nullák és egyesek. A bizonyítás fő gondolata az, hogy egy ilyen szekvenciát ( k 0 , k 1 ,…) figyelembe vessünk , mint egy 0 és 1 közötti valós n n alapjában a 0, k 0 k 1 ... kiterjesztést .

Az n > 2 bázisban a térkép, amely a nullák és az egyesek bármelyik sorozatához hozzárendeli a valódit, amelyet képvisel , {0, 1} ℕ injekciója a [0, 1 [tehát ℝ-ben], tehát az a kártya ( P (ℕ) ) ≤ kártya (ℝ). Sőt, a térkép, amely bármely valós x társult a sor racionális szigorúan kisebb, mint x is injektív, ezért kártya (ℝ) ≤ kártya ( P (ℚ)) = kártya ( P (ℕ)). A Cantor-Bernstein tétel lehetővé teszi számunkra a következtetést.
A 2. alap óvatosságot igényel a "helytelen fejlesztés" lehetőségei miatt (pl. = 0,0111 ... 0,1000 ...), de bizonyítékot adhat, amely nem Cantor-Bernstein tételén alapul.

Példák a DC teljesítményű szerelvényekre

Bármilyen megszámlálható végtelen D , a beállított P ( D ) a részei D megvan az ereje a kontinuum;
Ha két halmaz rendelkezik a kontinuum erejével, akkor a derékszögű szorzatuk is, mivel ekvivalens P ( A ) × P ( B ) -re A-val és B-vel megszámolható, tehát P ( C ) -re , ahol C a diszjunkt uniót (megszámolható) ) a a és B .
Az ℝ n halmaznak tehát van folytonos ereje nemcsak n = 1, hanem bármely n ≥ 1 egész szám esetén.
Az euklideszi tér ℝ n : annyi pont van egy vonalszakaszon, mint jobb, éppúgy, mint egy terv és ugyanannyi, mint az egész térben, méretétől függetlenül.
A valós szekvenciák the ℕ halmazának is „csak” a folytonos ereje van .
Egy még inkább , a beállított ℕ ℕ a szekvenciák természetes számok is. Kifejezettebb érv az, hogy a folytatott frakciókkal ezt a halmazot 0 és 1 közötti irracionális értékekkel helyettesítsük . Ez a módszer lehetővé tette Cantor számára 1878-ban, hogy megmutassa, hogy [0, 1] n rendelkezik a folyamatos erővel , megkerülve a fenti érvet. Közvetlenebb változat a „negatívan szabályos” törtek használata .
Bármely végtelen E halmaz esetében létezik olyan E végtelen részek halmaza, amelyek rendelkeznek a folytonosság erejével, és amelyek metszéspontjai kettő-kettő végesek.

Az egyenáramú áram kardinalitásának eldönthetetlensége

A in kardinalitása 2 ℵ₀ . Azt a megállapítást, hogy ℵ 1 , kontinuumhipotézisnek nevezzük . A szokásos halmazelméletben eldönthetetlen .

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

Egy változatnak figyelembe kell vennie n = 3 esetén a Cantor-halmazt .
Az E rögzített, megszámlálható részének a 0 és 1 véges szekvenciák halmazával történő azonosításával és az egyes 0 és 1 végtelen szekvenciák számára az E részének kezdeti szegmensekből álló részének kiválasztásával .

Hivatkozások

Lásd például a "Megszámlálhatatlan halmazokat" a Wikiverzióban .
(in) Fernando Q. GOUVEA, " Was Cantor meglepve? " , American Mathematical Monthly ,2011( online olvasás )
(in) Julian F. Fleron, " Megjegyzés a Cantor halmaz és a Cantor funkció történetéhez " , Mathematics Magazine , vol. 67,1994, P. 136–140 ( online olvasás ).