Példa a végtelen tágulásra folytonos frakcióvá. |
A matematikában a folytonos tört vagy az egyszerű folytatott tört, vagy ritkábban a folytonos tört a forma kifejezése:
véges vagy végtelen számú emeletet tartalmaz.
Megmutatjuk, hogy mi lehet „képviseli” - abban az értelemben, amelyben meghatározásra kerül - bármilyen valós szám formájában folyamatos frakció, véges vagy végtelen, ahol a 0 a relatív értéke és a többiek egy j szigorúan pozitív egészek. .
Mint a szokásos decimális jelölésnél, ahol az egyes valósokat egyre pontosabban tizedes számokkal közelítjük meg , ahogy az egymást követő tizedesjegyeket megadjuk, ugyanígy minden egyes valós értéket közelítünk a fenti forma lépcsőzetes töredékeivel, még pontosabban, ha több emeletet adunk hozzá. Továbbá, ha egy nem decimális szám pontos leírásához végtelen tizedeshelyekre van szükség, akkor egy irracionális szám pontos leírása végtelen folytonos frakcióbővítésre van szükség.
A folytonos frakciók hasznosak a diofantin közelítésben , különösen azért, mert bizonyos értelemben a valósok "legjobb" közelítését adják racionális számokkal . Ez a tulajdonság az alapja algoritmusok a közelítés a négyzetgyök, hanem igazolások irracionalitás , vagy akár a transzcendencia egyes számok, mint π vagy e . A periodicitás lánctörtekkel a négyzetgyökvonás egész számok szigorúan nagyobb, mint 1, és anélkül, hogy egy négyzet alakú faktor van hasznos következményekkel jár a tanulmány a Pell-Fermat egyenlet .
Már-alkalmazott indiai matematikusok a középkorban, lánctörtek tárgyalja Európában a XVII th században. Ezeket most más kifejezésekre általánosítják, Padé-közelítőnek nevezett egész sorok közelítéseire alkalmazzák , vagy akár lineáris alkalmazásokhoz is adaptálják őket .
A folytonos tört fogalma hatalmas, és a matematika számos ágában megtalálható. A kapcsolódó fogalmak lehetnek viszonylag egyszerűek, mint az Euklidesz algoritmusa , vagy sokkal finomabbak, mint a meromorf funkció .
Eleinte lehetséges, hogy a folytonos tört egész számok sorozataként tekinthető meg, amely egy valós értéket képvisel. Ez a helyzet kissé megegyezik azzal a tizedesrendszerével, amely ezt követően a 3, 1, 4, 1, 5, 9 egész számokat képviseli π-vel . Folytonos tört formájában a szekvencia 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1 ... Az első tanulmányi terület a 3., 7., 15., 1., 292., 1., 1.… szekvencia és a folytonos tört által javasolt racionális számok, ebben az esetben 3, kapcsolatának tanulmányozása. 22/7, 333/106 stb., Ez lehetővé teszi számunkra, hogy megtudjuk, hogyan lehet az első folytatást a másodikra továbbvinni, hogyan konvergál és hogyan válaszol a többi ilyen jellegű kérdésre. Ennek a cikknek lényegében ez a célja.
Lánctörtek van egy különleges kapcsolat négyzetgyököt vagy több általában úgynevezett kvadratikus irracionális számok a nyomtatvány egy + b √ d , ahol egy és b van racionális számokat , b nem nulla, és a d > 1 egy egész szám faktor nélkül téren . A kapcsolódó folytonos frakciók periodikusak, egy bizonyos rangtól kezdve, vagyis a folytonos frakciót alkotó egész számok szekvenciája megismétlődik egy bizonyos rangtól kezdve a végtelenig. Ez a helyzet olyan, mint a racionális számok végtelen tizedes ábrázolása. Ezek a folytonos frakciók megoldanak egy híres számtani problémát, amelyet Pell-Fermat-egyenletnek hívnak . Ez a kérdés a " Másodfokú irracionális folytonos töredéke " című cikk témája .
A tizedes rendszerhez hasonlóan a folytonos tört is racionális számokat kínál, amelyek egyre közelebb kerülnek a céljukhoz. Ezek a közelítések sokkal jobbak, mint a tizedesek. A π második decimális közelítésének , amely egyenlő 31/10-rel, nevezője viszonylag közel áll a 22/7 folytonos frakció második közelítéséhez, másrészt a 22/7 több mint 30-szor pontosabb, mint 31/10. A valós számnak ezt a fajta megközelítését racionális számmal nevezzük Diophantine közelítésnek . A folytonos törtek itt nagy szerepet játszanak. Lehetővé tették az első ismert transzcendens számok felépítését : a Liouville-számokat, vagy annak megmutatását, hogy az e szám irracionális. A folytonos frakció definíciójának általánosításának feltételével lehetővé válik annak megmutatása, hogy a π is irracionális - ezzel a megközelítéssel foglalkozik a „ Folyamatos frakció és a diofantin közelítés ” cikk. (Valójában e és π is transzcendensek a Hermite-Lindemann-tétel szerint .)
A folytonos tört nemcsak a számokról szól, hanem a funkciókról is. Van még generalizált lánctörtek helyett az együtthatók polinomok . A motiváció a komplex elemzésből származik , amely objektumként a komplex változó függvényeinek tanulmányozását teszi lehetővé összetett értékekkel, mint ilyenek . A klasszikus megközelítés abból áll, hogy ezeket egész sorozatként, tehát a polinomok határaként határozzuk meg. Az ilyen típusú funkció gyakori sajátossága, hogy pólusok legyenek . Ha ahelyett, hogy a függvényt polinomokkal közelítenénk meg, hányadosokat használunk , felépítünk egy Padé-közelítő szekvenciát , amely nem feltétlenül rendelkezik ezzel a gyengeséggel.
Egyéb tulajdonságokat vizsgáltak. A tizedesrendszertől eltérően a folytonos törtben megjelenő egész számot általában nem 9 határolja, tetszőlegesen nagy lehet. Alexandre Khintchine- t mindezen nevezők geometriai középértékeinek határa, a középérték érdekelte . Mert szinte az összes számot, ez az átlag azonos (a „majdnem” itt van a műszaki jelentését elmélet mérés ); ezt az átlagot Khintchine állandójának nevezzük .
Arra is lehetőség van, hogy frakciókat tágítsunk úgy, hogy a frakciósávokat a számlálóra helyezzük, és nem alább: az Engel sorozatbővítését kapjuk :
.A folytonos frakciók használata régi. Aryabhata (476-550), indiai matematikus Diophantine egyenletek megoldására , valamint irracionális számok pontos közelítésére használja őket . Brahmagupta (598-668) egy figyelemreméltó identitás felhasználásával tovább vizsgálja a ma már Pell-Fermat- egyenletet . Megpróbálja megoldani az x 2 - 61 y 2 = 1 egyenletet, és megtalálja a legkisebb megoldást: x = 1 766 319 049 és y = 226 153 980.
A XII . Században a módszert gazdagítja Bhāskara II . Egy algoritmus , a chakravala módszer , hasonlóan a folytonos frakciókhoz, megoldja az általános esetet. A legszembetűnőbb különbség a későbbi európai módszerrel szemben az, hogy negatív számokat enged meg a frakcióban, lehetővé téve a gyorsabb konvergenciát.
Az európai megjelenés későbbi és olasz. Raphaël Bombelli (1526-1572) a folytonos törzsek egyik ősét használja a 13. négyzetgyök közelítésének kiszámításához. Pietro Cataldi (1548-1626) megérti, hogy Bombelli módszere minden négyzetgyökre érvényes, az értékre használja 18 és ír róla egy kis füzetet. Észreveszi, hogy a kapott közelítések felváltva nagyobbak és kisebbek, mint a keresett négyzetgyök.
Döntő előrelépés zajlik Angliában. Január 3-án, 1657-ben , Pierre de Fermat megtámadta európai matematikusok számos kérdést tartalmaz, az egyenlet már megoldható Brahmagupta. Az angolok reakciója gyors volt, gyors volt. William Brouncker (1620-1684) megtalálja az egyenlet és a folytonos tört közötti kapcsolatot, valamint az indiánokéval egyenértékű algoritmikus módszert a megoldás kiszámításához. Ez adja az első általánosított folytonos frakciót a 4 / π számhoz . Ezeket az eredményeket John Wallis tette közzé, aki megragadja az alkalmat, hogy bemutassa a Brouncker és Bhāskara II által használt ismétlődési viszonyokat. A folytonos törtrész nevét adja a mondatban: "Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continum fractum " . Abban az időben Christian Huygens (1629-1695) a fejlesztés adta racionális közelítéseket folytonos frakciókban használta a bolygóautomata fogaskerekeinek fogszámának meghatározásához.
Néhány elméleti kérdés megoldódott a következő században. A használat azt mutatja, hogy a folytonos törtek algoritmusa lehetővé teszi a Pell-Fermat egyenlet megoldását azáltal, hogy a frakció periodikus egy bizonyos rangtól. Leonhard Euler (1707-1783) azt mutatja, hogy ha egy számnak periodikus folytonos törtje van, akkor az egész együtthatójú másodfokú egyenlet megoldása . Fordított, finomabb Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) műve . Ebben a században Jean-Henri Lambert (1728-1777) új felhasználást talált a folytonos frakciókban. Ezeket használja a π irracionalitásának bemutatására .
Ez a gyakorlat a XIX . Században általános. Évariste Galois (1811-1832) úgy találta, hogy a folytonos frakció azonnal periodikus. Joseph Liouville a folyamatos frakcióbővítést használja transzcendens számok megjelenítésére : a Liouville-számokat . A 1873 , Charles Hermite bebizonyította transzcendenciáját e . Egy melléktermék, az bizonyíték egy további bizonyítéka a kifejezés az egyszerű folytatódott frakció e által talált Euler. A század végén Henri Padé (1863-1953) kifejlesztette a ma már a nevét viselő közelítők elméletét, amelyek a polinomok folyamatos töredékei . Ezt a technikát használja Henri Poincaré (1854-1912) a Naprendszer állékonyságának bemutatására. Georg Cantor (1845-1918) a folytonos törtek segítségével bebizonyítja, hogy egy szakasz és a négyzet belsejében lévő pontok bijekcióban vannak . Az ilyen jellegű funkciókat a káoszelmélet keretein belül vizsgálják ; az intervallum minden racionális pontján folytonosak [0, 1].
Azzal kezdjük, hogy felidézzük az algoritmus menetét a GCD euklideszi keresése miatt, a 15 625 és 6 842 egész szám példájának elemzésével. Euklideszi osztások sorozatára folytatjuk a maradékot:
Az algoritmus értelmezésének másik módja a 15 625/6842 hányados szakaszos megközelítése, amelynek hányadosának egész része 2, ami lehetővé teszi az írást:
Mit mondhatunk az 1941/6842 törtről, kivéve, hogy kisebb, mint 1? 1/4 és 1/3 között van, inverzének, a 6 842/1 941-nek egész része: 3; pontosabban, ha a második euklideszi felosztás eredményeit használjuk:
Tehát lépésről lépésre:
ami valóban folytonos töredék. Néha a következő jelölést használják, ami kényelmesebb:
Összehasonlíthatjuk a 15 625/6842 értéket a folytonos frakció szakaszainak számának egymás utáni csonkításával kapott csökkentéseivel. Az alábbi táblázat megadja a csonkolásokat tört, majd tizedes jelöléssel, valamint a csökkentett és a 15,625 / 6842 szám közötti különbséget.
Töredék | Tizedes kiterjesztés | Hiba |
---|---|---|
2 |
2 |
–0,28 ... |
7/3 = 2 + 1/3 |
2,333 ... |
+0,049 ... |
9/4 = 2 + 1 / (3 + 1/1) |
2.25 |
–0,033 ... |
7/16 |
2,285 7 ... |
+0,002 0 ... |
153/67 |
2.283 58 ... |
–0.000 10 ... |
169/74 |
2 283 783 ... |
+0.000 094 ... |
322/141 |
2.283 687 9 ... |
–0.000 001 0 ... |
15 625/6 842 |
2.283 688 979 83 ... |
0 |
A hibák sorrendje csökken az abszolút értékben és váltakozó jelekkel.
Legyen R = p / q egy racionális szám (a p és q egész számok, és q > 0). Arra törekszünk r egy véges bővítése egy lánctört , azaz egy írás az R formájában [ a 0 , ..., a n ] a n természetes egész szám , egy 0 relatív egész szám, és egy 1 , ..., a n egész számok > 0. Ehhez az Euclid algoritmust alkalmazzuk:
Mi meg p 0 = p , p 1 = q , és konstruáljuk a egészek egy 0 és p 2 által euklideszi Division :
Ezután, amíg p j nem nulla, az a j –1 és p j +1 egész számokat az alábbiak szerint definiáljuk :
azzal a j -1 egész szám és legalább egyenlő 1 (a j > 1) és 0 ≤ p j +1 < p j . Euklidész algoritmusa leáll. N-vel jelöljük a legnagyobb egész számot, amelyre p n +1 nem nulla. Ezért tudjuk, hogy p n / p n +1 egyenlő egész szám egy n . Ezután:
Valóban :
vagy:
Geometriai ábrázolás -
Az Euklidész algoritmusa lehetővé teszi számunkra a folytonos tört számítását racionális számok esetén. Ez az algoritmus ebben az összefüggésben elismeri a geometriai értelmezést. Legyen r = p / q racionális szám, figyelembe vesszük a p hosszúságú és a q szélességű téglalapot , és a q oldal négyzeteivel egyengetjük .
Ha r egész szám, akkor a csempézés pontosan r négyzetből áll . Ellenkező esetben vagy a 0 a téglalapba beillesztett négyzetek száma, vagy a folytonos tört első tagja. Továbbra is fennáll egy burkolat nélküli szalag dimenzió q × b 1 a b 1 egyenlő a p - egy 0 q ; ez a sáv maximális méretű négyzetekkel van kikövezve, vagyis a b 1 oldalon . A négyzetek száma megegyezik a folytonos tört második a 1 tagjával. Megismételve az eljárás, megkapjuk minden együttható egy p .
A szemközti képen a 30 × 13 téglalapot a 13 oldal két négyzetével egyengetjük. Marad egy 13 hosszúságú és 4 szélességű csík. A folytonos töredék szempontjából egyenlőséget kapunk:
.Ezután észrevesszük, hogy a fennmaradó sávot meg lehet tölteni 3 négyzettel a 4. oldalon, és marad egy 4 hosszúságú és 1 szélességű sáv, ami lehetővé teszi a folytonos frakció kiszámítását:
.Ugyanez a konstrukció teszi lehetővé annak az ésszerűnek a megtalálását, amelynek fejlődése folytonos frakcióban ismert. A bal oldali képen megtalálhatjuk azt az ésszerűt, amelynek fejlődése [1, 1, 2, 3]. Az utolsó együttható 3-mal egyenlő, így az 1. oldalon 3 kis négyzetet találunk, amelyek megadják a következő négyzet nagyságát (3). Az utolsó előtti 2 együttható azt jelzi, hogy a 3. oldalon két átlagos négyzet van. Ez a két oldal és a kis négyzet adja meg a nagyobb négyzet méretét (7). A társított együttható értéke 1, tehát csak egy ilyen jellegű. A nagyobb négyzet (7) és a közepes négyzet (3) adja meg az utolsó négyzet oldalát (10). Az utolsó két négyzet adja meg a téglalap teljes hosszát (17). A kívánt frakció 17/10.
A folyamat leáll, mert p és q jelentése összemérhető azaz, hogy van egy hossza L , és két egész szám egy és b olyan, hogy p = a , és q = lb .
Vegyünk egy L hosszúságú és l szélességű téglalapot . Ha az L / l hányados nem racionális, vagyis ha az L és l hosszúság mérhetetlen, akkor a folyamat nem áll meg.
Ez a helyzet a jobb oldali ábrán, amely egy arany téglalapot ábrázol, vagyis egy téglalapot, amelynek hossza és szélessége megegyezik az arany számával . Minden sávban csak egy négyzetet helyezhetünk el, amely az ábrázoláshoz vezet: .A számlálók és a nevezők sorrendje Fibonacci .
Ezért látható, hogy minden racionális r , euklideszi algoritmus véges folyamatos frakció bővülése r (fordítva, bármely szám, amely egy véges folyamatos bővülése frakció nyilvánvalóan racionális). Az így kapott fejlemény [ a 0 ,…, a n ] sajátossága, hogy ha n nem nulla, akkor a n > 1. Következtetést vonunk le egy második tágulásról: r = [ a 0 ,…, a n - 1, 1] . Ez az egyetlen kettő.
Ha ehhez hozzátesszük, hogy a számítás a j a terjeszkedés, a számítás a számláló h j és nevező k j a különböző csökkent is:
ez az euklideszi algoritmus válik a kibővített euklideszi algoritmussá . Pontosabban: az egész számok ( u i , v i ) sorozata , amelyet a ( p , q ) -re alkalmazott kibővített algoritmus biztosít , egybeesik a ( k j , h j ) szekvenciájával , kivéve a jeleket és az eltolást az indexek közelében: k j = (–1) j u j +2 és h j = (–1) j +1 v j +2 . A j , egészek k j és h j ezért viszonylag elsődleges és p j + 1 = (-1) j ( qh j -1 - pk j -1 ). Különösen: az utolsó redukált, h n / k n , a redukálhatatlan formában lévő p / q tört , az utolsó előtti pedig Bézout azonosságának a kibővített euklideszi algoritmus által adott sajátos megoldásának felel meg : GCD ( p , q ) = p n +1 = (–1) n ( qh n –1 - pk n –1 ).
DemonstrációA kiterjesztett euklideszi algoritmusról szóló cikk „Az algoritmus” §-a szerint az ( u i , v i ) értékeket az ismétlődés relációja határozza meg
és inicializálás
Az alábbi „Folytonos törttel csökkentve” § szerint a ( k j , h j ) követi a megismétlődés összefüggését
akár további értékek hozzárendelésével nekik
Az egész számpárok e két szekvenciája között bejelentett kapcsolatot a 2. sorrend megismétlődésével vezetjük le belőle .
Egy megjegyzés lehetővé teszi az előző módszer tetszőleges valós számra való általánosítását. Ennek szemléltetésére alkalmazzuk a π számra . Az első lépés, abban az esetben a racionális volt, a számítás a hányadosa maradékos osztás, a számláló a nevező, amely már nem teljesen érthető egy olyan igazi, másrészt az eredmény azonos volt a egész része az a racionális, de a valóság teljes részének van jelentése. A szükségszerűen 1-nél kisebb törtrész megfordult, ami itt még mindig lehetséges. Azt kapjuk :
.Mivel π - 3 kisebb, mint 1 (ez egy tört része) az inverze nagyobb, mint 1, és a nem egész szám, mivel π van irracionális . Ezért ugyanazt a megközelítést alkalmazhatjuk:
Az új, megközelítőleg 15.997-es érték még mindig irracionális, szigorúan nagyobb, mint 1, ezért lehetősége van egy új, majd egy új lépésre:
Mivel a π irracionális, a folyamat soha nem áll le (elképzelve, hogy a számítást végtelen tizedesjegyekkel végzik). A frakciók sorozataként 3-at, majd 22/7 ≈ 3,1428, majd 333/106 ≈ 3,14150, majd 355/113 ≈ 3,1415929 és végül 103 993/33 102 kapunk, közel a π-hez a milliárddal jobb pontossággal. Ismételten csökken a hibák sorrendje abszolút értékben és váltakozó jelekkel.
Legyen ( a p ) folytonos tört. Mi társítani ez két szekvencia egész számok ( h p ) és ( k p ), által meghatározott indukció:
Ezután a folytonos tört bármely p indexére :
A (3) tulajdonság Bézout-tétel alkalmazásával azt mutatja, hogy a h p és a k p egész számok együttesek.
Ez a három tulajdonság közvetlenül kimutatható, de az általánosított folytonos frakciók tulajdonságainak speciális esete is , amelyet a megfelelő cikk mutat be. Azt is, hogy a mátrix értelmezése a meghatározása h p és k p , ahonnan eredmények azonnal, az átültetés , a kettős tulajdonság : (1):
Az euklideszi algoritmus korábban kifejlesztett, a értéke egy j a hányadosa p j az euklideszi osztás o j +1 . Ezért a valós x j egész része p j / p j +1 -vel egyenlő . A törtrész x j - a j az x j jelentése p j +2 / p j +1 , inverz a valós x j +1 .
Ezután definiálhatunk folyamatos törésbővítést bármely valós x számára . A szimbólum ⌊ s ⌋ jelöli egész részét a számot s . Kérünk:
valamint az ismétlődő definíció: amíg x j nem egész szám,
Ha x racionális, amint azt fentebb láttuk , létezik olyan n , hogy x n egész szám legyen: beállítunk egy n = x n értéket , az algoritmus leáll, és a két szekvencia ( a j ) és ( x j ) véges. Ha x irracionális, akkor az algoritmus soha nem áll le, és a két szekvencia végtelen.
Ezt az algoritmust számítógépesebben formalizálhatjuk:
Vagy:
Ha x irracionális, ebben az összefüggésben gyakran két jelölést használnak:
Ők lesznek legitimálta később : látni fogjuk, többek között, hogy a szekvencia csökkentések konvergál az x .
Teljes kvóták egy valósLegyen x valós szám, ( a p ) folytonos törtje , ( h p ) és ( k p ) az ehhez a folytonos törthez tartozó reduktumok számlálóinak és nevezőinek sora, és ( x p ) a teljes hányadosok sora x .
Bármely p index esetén megvan az egyenlőség:
Azonban, a bemutató a tulajdonságok (1) és (2) a fenti a csökkentések egy lánctört érvényes marad, ha a értéke egy p helyébe a valós x p . Ezért megkapjuk, ill.
Tulajdonság (2 '):
Egy végtelen folytonos tört két egymást követő redukciójának különbségét írják ( lásd fent ), amely az alábbi tétel kiindulópontját képezi.
Tétel -
A folytonos frakciók felhasználása számos. Egy fogja találni például a folyamatos frakció és Diophantine közelítése igazolások az irracionalitás e vagy π , a folyamatos frakció másodfokú irracionális példát megoldani egy Pell-Fermat egyenlet vagy pade a approximant analitikus meghosszabbítása a teljes sorozat az érintő függvény. Az itt megadott használat csak a cikkben leírt tulajdonságok megértéséhez szükséges.
Christian Huygens egy óraszerű mechanizmus segítségével egy automatát szeretne megépíteni, amely a bolygók mozgását mutatja a nap körül: "Miután nemrégiben trouuè-t hajtott végre és végrehajtott egy PLC-t, olyan gépet képvisel, amely a bolygók mozgását reprezentálja, amelynek építése egy meghatározott módon történik, és hatása miatt nagyon egyszerű, a többi nagy hasznát veszi azoknak, akik a csillagok menetét tanulmányozzák vagy megfigyelik. " A nehézség, amellyel szembe kell néznie, összefügg a Föld és a Szaturnusz hosszúságának arányával. Egy év alatt a Föld 359 ° 45 ′ 40 ″ 30 ‴, a Szaturnusz pedig 12 ° 13 ′ 34 ″ 18 ‴ fordul el. Az arány megegyezik 77 708 431/2 640 858. Hány fogra van szükség a Földet és a Szaturnuszt tartó két fogaskeréken ?
Huygens tudja, hogy a folyamatos frakciók jelentik a legjobb kompromisszumot, amelyet a következőképpen fogalmaz meg: "Most, amikor bármelyik frakcióból elhanyagoljuk a sorozat utolsó feltételeit és azokat, amelyek ezt követik, a többit plusz az egész számot közös nevezőre redukáljuk. az utóbbinak a számlálóhoz viszonyított aránya közel áll a legnagyobbnak adott legkisebb számhoz; és a különbség olyan kicsi lesz, hogy lehetetlen lenne jobb megállapodást elérni kisebb számokkal. "
A folyamatos frakciószámítás azt mutatja, hogy:
Megkapjuk a frakciók sorrendjét: 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40 ... Az első két megoldás alig pontos, az első esetben a rotáció végén Szaturnusz, a föld helyzete majdnem fél fordulattal rossz, a másik esetben a hiba meghaladja a 4 ° -ot. Az ötödik technikailag nehéz, ehhez több mint 1000 fogat tartalmazó kerék vagy több kerék gyártása szükséges. A negyedik pontossága megközelíti a 3/1000 értéket. Huygens választja ezt.
Ha a föld száz teljes fordulatot hajt végre, a bolygóautomatán a Szaturnusz 700/206, azaz három fordulatot és 143 ° 18 ′ szöget zár be. A valóságban a Szaturnusz 143 ° 26 ′ -ot forgott. Vagy 8 perces szöghiba, amely jóval alacsonyabb, mint az óra mechanikai pontatlansága. Hasonló számítás azt mutatja, hogy a 147/5 töredék ugyanabban az összefüggésben egy foknál nagyobb hibát ad hasonló technikai nehézségek megvalósításához.
A cikk bevezető részében szereplő számítás megmutatja, hogyan lehet meghatározni a π folytonos frakcióját . Mindegyik lépés azonban fájdalmasabb, mert egyre nagyobb pontosságot igényel a kezdeti értékkel kapcsolatban. Az π-hez konvergáló egész sorok elméleti megoldást kínálnak a folytonos frakció egyes együtthatóinak kiszámításához, de számítási szempontból túlságosan kibonthatatlan ahhoz, hogy használható legyen. Ezért egyszerűbb általánosított folytonos frakció kifejezést kapni, lehetővé téve a számlálók számát, amelyek nem feltétlenül egyenlőek az 1-vel. Az ilyen típusú első frakciót a Brouncker állította elő:
Ennek az egyenlőségnek a bizonyítéka az „ Euler folytonos frakcióképlete ” című cikkben jelenik meg , az Arctangent függvény általánosított folytonos törtrészének 1. pontjában történő értékelésével . Így a folytonos tört nem csak a számokra vonatkozik, hanem bizonyos funkciókra is.
Hasonlóképpen, Euler az exponenciális függvényt a megfelelő formájú függvények folytonos töredékévé fejlesztette : az e folytonos frakciójának megszerzéséhez :