Liouville-szám
A matematikában és pontosabban a számelméletben a Liouville- szám egy valós x szám, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik:
bármely n
egész számra léteznek olyan q n > 1 és p n egész számok , amelyek 0 <| x - p n / q n | <1 / q n n
vagy, amely egyenértékű :
bármely n egész számra és bármely valós
A > 0 értékre léteznek olyan q > 0 és p egész számok , amelyek 0 <| x - p / q | < A / q n .
A Liouville száma tehát közelíteni „nagyon finom” a sorozat a racionális számok . 1844-ben Joseph Liouville megmutatta, hogy léteznek olyan számok, amelyek igazolják a második tulajdonságot, és hogy mindegyik transzcendens , így először bizonyítva a transzcendens számok létezését.
Liouville állandó
Annak illusztrálására, a tétel , Liouville ad általános építési módszerének ilyen számok elméletének alkalmazásával lánctörtekkel , valamint példák, de azt mutatja, egy egyszerűbb módszer: például bármely egész szám , egy Liouville szám. Ezek voltak az első kifejezett példák a transzcendens számokra.
b>1{\ displaystyle b> 1} ∑k=1∞b-k!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} b ^ {- k!}}
Liouville állandója megfelel a b = 10 esetnek . Ezért az igazi
∑k=1∞10.-k!=0,110001000000000000000001000 ... .{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- k!} = 0,11000100000000000000000001000 ... ~.}
Általánosságban elmondható, hogy bármely b > 1 egész számra és a 0 és b - 1 közötti egész szám bármely ( a k ) k > 0 szekvenciájára nem minden nulla egy bizonyos rangtól, a valós
x=∑k=1∞nál nélkbk!{\ displaystyle x = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k}} {b ^ {k!}}}}
egy Liouville-szám.
A Liouville-számok halmazának tehát van a kontinuum ereje .
A valóság irracionalitásának mérése
A valós x irracionalitásának mértéke - vagy "annak Liouville- Roth- állandója " - ésszerűségekkel méri az x megközelítésének módját .
Meghatározás - Az intézkedés irracionalitásának egy valós x a felső kötve a valós számok halmaza ji amelynek van egy végtelen párok ( p , q ) az egész számok olyan, hogy q > 0 és 0 <| x - p / q | <1 / q μ .
Ez a mérték mindig nagyobb vagy egyenlő, mint egy halmaz felső határa, amely ] – contains , 1 [ .
Például :
- a racionális irracionalitásának mértéke egyenlő 1-vel;
- az irracionális értéke nagyobb vagy egyenlő 2-vel; pontosabban, ha ennek az irracionálisnak a folytonos része redukciót jelent és van , akkor az irracionalitás mértéke az .[nál nél0,nál nél1,...]{\ displaystyle [a_ {0}, a_ {1}, \ pont]}hnem/knem{\ displaystyle h_ {n} / k_ {n}}1+lim suplnknem+1lnknem=2+lim suplnnál nélnem+1lnknem{\ displaystyle 1+ \ limsup {\ frac {\ ln k_ {n + 1}} {\ ln k_ {n}}} = 2+ \ limsup {\ frac {\ ln a_ {n + 1}} {\ ln k_ {n}}}}
- az algebrai irracionálisé pontosan megegyezik 2-vel: ez Roth (1955) tétele , pontosabb, mint Liouville ( lásd alább ).
-
a Liouville-számok azok a valós számok, amelyek irracionalitásának mértéke végtelen . Valóban, ha x jelentése egész szám, Liouville akkor, bármely valós μ, a ( p n , q n ) az 1 st definícióját n ≥ μ, kielégíteni 1 / q n n ≤ 1 / q n μ és alkotnak egy végtelen halmaz, mivel a | x - p n / q n | nem nulla, és konvergál 0-ra.
A művekben enyhe variációkat tapasztalhatunk: egyes szerzők (ami ugyanarra a dologra vonatkozik) az μ halmaz alsó határát veszik figyelembe, amelyhez éppen ellenkezőleg létezik, csak véges számú pár ( p , q ) egész szám, például q > 0 és 0 <| x - p / q | <1 / q μ . Néhány beszélnek a intézkedés „s irracionalitás: ezek mind számok azonos vagy annál nagyobb az intézkedés az irracionalitás set itt. Végül egyesek csak akkor definiálják, ha x irracionális szám, ami megakadályozza, hogy megemlítsék a | szigorú csökkentését x - p / q | 0-val. Ezen árnyalatok mellett találunk egy másik, de egyenértékű definíciót is :
Ekvivalens definíció - A valós x irracionalitásának mértéke az μ valós számok halmazának alsó határa, amelyhez állandó A > 0 állandó létezik , így bármely racionális p / q ≠ x esetén, amelynek q > 0 értéke : | x - p / q | ≥ A / q μ .
Liouville-számok transzcendenciája
Mivel a Liouville-számok a végtelen irracionalitás mértékét jelentik, transzcendenciájuk azonnali következménye a következő tételnek, amelyet a részletes cikk bemutatott az irracionalitás mértékének fenti második definícióját felhasználva.
Következménye Liouville-tételnek a diofantikus közelítésről - Az algebrai valós szám irracionalitásának mértéke kisebb vagy egyenlő mértékével .
Néhány valóság (valójában szinte mindegyik ) transzcendens anélkül, hogy Liouville-ből származna. Például az e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,…] irracionalitásának mértéke egyenlő 2-vel, a π értéke pedig kevesebb, mint 7,61.
Erdős-tétel
Erdős Pál bebizonyította, hogy bármely nullától eltérő valós szám felírható összegként és két Liouville-szám szorzataként. A posteriori, ez a G δ sűrűségek általános tulajdonságával és azzal a ténnyel magyarázható, hogy a Liouville-számok L halmaza egy, mivel
L=⋂nem∈NEM∗Unemnál nélvevs.Unem=⋃o,q∈Z,q≥2]oq-1qnem,oq+1qnem[∖{oq} nyitott sűrű{\ displaystyle L = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} U_ {n} \ quad {\ rm {with}} \ quad U_ {n} = \ bigcup _ {p, q \ itt: \ mathbb {Z}, q \ geq 2} \ balra] {\ frac {p} {q}} - {\ frac {1} {q ^ {n}}}, {\ frac {p} {q} } + {\ frac {1} {q ^ {n}}} \ right [\ setminus \ left \ {{\ frac {p} {q}} \ right \} {\ text {open sűrű}}}
és hogy ℝ egy Baire-tér .
Gondatlanság
A készlet Liouville szám, annak ellenére, hogy „bőség” a szempontjából számossága és topológia , az elhanyagolható , sőt:
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Liouville szám ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
Liouville, " Kommunikáció ", CRAS ,1844. május 13( online olvasás )(hozzáférés a cikkhez és Michel Mendès France elemzéséhez ) a Bibnumról .
-
A bemutatáshoz lásd például ezt a gyakorlatot, amelyet a "Bevezetés a számelméletbe" leckéből kijavítottunk a Wikiverzióról .
-
(en) Steven R. Finch , Matematikai konstansok , CUP ,2003, 602 p. ( ISBN 978-0-521-81805-6 , online olvasás ) , p. 171-172.
-
A bemutatáshoz lásd például ezt a gyakorlatot, amelyet a "Bevezetés a számelméletbe" leckéből kijavítottunk a Wikiverzióról .
-
Bemutatóért lásd például ezt a gyakorlatot, amelyet a "Bevezetés a számelméletbe" leckéből kijavítottunk a Wikiverzióról .
-
(in) Jonathan Sondow "irracionalitás intézkedések irracionalitás bázisok és egy tétele Jarnik ", 2004, arXiv : math / 0406300 .
-
(en) Paulo Ribenboim , Saját számaim, Barátaim: Népszerű előadások a számelméletről , Springer,2000, 375 p. ( ISBN 978-0-387-98911-2 , online olvasás ) , p. 298.
-
(en) Daniel Duverney , Számelmélet: Elemi bevezetés a diofantikus problémákon keresztül , World Scientific , gyűjt. "Számelméleti monográfiák" ( n o 4),2010, 335 p. ( ISBN 978-981-4307-46-8 , online olvasás ) , p. 141.
-
(en) Yann Bugeaud, közelítés algebrai számokkal , CUP,2004, 292 p. ( ISBN 978-0-521-82329-6 , online olvasás ) , p. 27–28.
-
(en) Chaohua Jia és Kohji Matsumoto, analitikus számelmélet , Springer,2002, 408 p. ( ISBN 978-1-4020-0545-9 , online olvasás ) , p. 360.
-
(in) R. Avanzi és F. Sica , "A skaláris szorzás Koblitz-görbék kettős alapokat használnak" Phong Q. Nguyen-ben, Progress in Cryptology: VIETCRYPT 2006 , Springer , al. "Lecture Notes in Computer Science" ( n o 4341),2006( ISBN 978-3-540-68799-3 , online olvasás ) , p. 134.
-
Vannak más Liouville tétel .
-
(en) V. Kh. Szalikhov: „ A π irracionalitási mértékéről ” , Uspekhi Mat. Nauk. , vol. 63, n o 3 (381)2008, P. 163–164 ( online olvasás ).
-
(in) Erdős P. , " A valós számok ábrázolása Liouville-számok összegeként és szorzataként " , Michigan Math. J. , vol. 9, n o 1,1962, P. 59–60 ( online olvasás ).
-
Bugeaud 2004 , p. 23 .
-
(a) Ludwig Staiger , " A Kolmogorov komplexitása Liouville számok " , CDMTCS Research Report Series , n o 096,1999. március( online olvasás ).
-
(en) Andrei B. Shidlovskii , transzcendentális számok , Walter de Gruyter ,1989, 466 p. ( ISBN 978-3-11-011568-0 , online olvasás ) , p. 17..
Lásd is
Bibliográfia
(en) Calvin C. Clawson, A matematikai utazó: A számok nagy történetének feltárása , Springer,1994, 307 p. ( ISBN 978-0-306-44645-0 , online olvasás ) , p. 187
Külső linkek