A matematika , a lánctört egy irracionális x biztosít diophantoszi közelítése az x . Pontosabban, az n index redukciója , vagyis az n lépésre korlátozott frakció racionális, amely közelíti az x értéket (alapértelmezés szerint, ha n páros, és feleslegesen, ha n páratlan). Fordítva, ha figyelembe vesszük, egy végtelen folyamatos frakciót, azaz egy végtelen szekvenciát ( a n ), amelynek első tagja egy 0 egy relatív értéke és az összes továbbiaké szigorúan pozitív egész számok, szekvenciájában a csökkentett konvergál irracionális x amelynek frakció továbbra is van alkotja az a n .
A redukált h n / k n frakciók adják az irracionális x legjobb racionális közelítéseit a következő értelemben: az n index redukciója olyan közelítés, amely x távolságon belül kisebb, mint 1 / k n 2, és ha p / q olyan közelítés, amely x távolságon belül kisebb, mint 1 / (2 q 2 ), akkor p / q x-nek redukciója . Ezt az eredményt nevezzük a legjobb közelítési tételnek .
A folytonos törtekkel közelítjük az irracionális értékeket, például a négyzetgyökeket vagy a π számot . Ez a tulajdonság lehetővé teszi bizonyos Diophantine-egyenletek megoldását, mint például a Pell-Fermat . Szükséges és elégséges feltételt is kínál ahhoz, hogy egy szám racionális legyen, az e szám irracionalitásának első bemutatásának kezdetén . Lehetővé teszi a továbblépést, és a folytonos frakciók alkalmazásával kapott diofantin-közelítések tulajdonságai teszik lehetővé az első transzcendensnek bizonyított számok összeállítását , majd annak megmutatását, hogy e és π transzcendensek.
A legegyszerűbb példák a Folyamatos törtrész cikk elején találhatók , és racionálisakat érintenek. Az x racionális szám a következőképpen jelenik meg:
Mindkét törtrészes vagy szögletes zárójeles jelölés ugyanazt jelenti. Ha p jelentése egész szám kisebb, mint n , a kifejezés a p , úgynevezett együttható vagy az inkomplett hányadosa index p , jelöl szigorúan pozitív egész szám, kivéve talán egy 0 , amely bármilyen egész szám. A frakciót, amely megáll a kifejezés egy p van a csökkentett index p , és ha 1 / x p +1 a kiegészítője, hogy adjunk a kifejezés, hogy egy p , hogy megkapjuk a pontos értékét x , majd x o +1 nevezzük a p + 1 index teljes hányadosa , amely egyenlőséget eredményez:
Ez a koncepció nem korlátozódik az ésszerűségekre. Ha X egy irracionális szám , az együtthatók sorozata végtelen, és hogy a szűkítő váltakozik, és konvergál x . Az a n egész számok végtelen szekvenciája esetében , szigorúan pozitívak, kivéve a 0 esetleges esetét, amely lehet negatív vagy nulla, az a n együtthatók felhasználásával összeállított redukciós szekvencia konvergál egy irracionálissá, amelynek folytonos frakcióját az a n együtthatók alkotják . Egy ilyen jellegű egyszerű példát ad a másodfokú irracionális folytonos töredéke című cikk . A másodfokú irracionális a kvadratikus egyenlet irracionális megoldása racionális együtthatókkal. Az irracionálisok folytonos hányada periodikus egy bizonyos rangtól, csak akkor, ha ez a szám másodfokú.
Néhány hasznos eredményt bemutat a részletes cikk. Ha h n / k n az n sorrend redukcióját jelöli , akkor a következő ismétlődési összefüggések vannak:
ami azt mutatja, hogy a redukciók számlálói és nevezői két szekvenciát alkotnak, amelyek a végtelen felé hajlanak. Még mindig a következő eredmények vannak:
Különösen (ennek az egyenlőségnek az első formája szerint) h n és k n koprime, és (a második szerint) a redukció szekvenciája konvergál .
1737-ben Leonhard Euler kiszámította az e szám , a természetes logaritmus bázisának folyamatos frakcióbővülését :
(az itt használt oszlop az általa lefedett egész számok sorozatának végtelen ismétlését jelenti).
Ő így bizonyítja, hogy e az irracionális , mert a terjeszkedést a lánctört végtelen (ő is azt mutatja, hogy e 2 irracionális).
Euler megközelítéseFejlesztését igazolni kívánva Euler a Riccati aq ' ( p ) + q 2 ( p ) = 1 egyenletet tanulmányozza . Megoldás a q ( p ) = coth ( p / a ), amely lehetővé teszi, hogy megállapítsa: nem habozik átírni (ami átalakítással egyenértékű a hiperbolikus tangens függvény kifejlesztésével, amelyet Lambert szigorúan megállapít :
Ez eleve csak egy általánosított folytonos frakcióban adja meg az e 1 / s bővülését : de kifejlesztett konverziós technikákat , amelyek abból álltak, hogy két 1-et illesztettek be, hogy megszabaduljanak a kettőtől az első számlálón, és egyszerű folytonos törté tegyék: ami s = 1 esetén bizonyítja a meghirdetett eredményt.
Egy másik alkalmazás, amelyet ott találhatunk, az e hozzávetőleges értékének megszerzése . A 2. sorrend redukciója megegyezik 2,75-tel, a 10. sorrend pedig 7 szignifikáns számjegyet javasol. Az egész sorozat- megközelítés azonban egyszerűbben bizonyítja az irracionalitást és a közelítéseket ( vö. E cikk (szám) ). A folyamatos frakcióbővítés lehetővé teszi számunkra, hogy egy kicsit tovább lépjünk, mivel bebizonyítja, hogy e nem jelent megoldást egyetlen racionális együtthatóval rendelkező másodfokú egyenletre sem, mert a folytonos frakcióbővítése nem periodikus. Ez a fajta megközelítés nem teszi lehetővé, hogy tovább menjünk. Új ötletekre van szükség például az e .
Annak ellenére, hogy ezeket a korlátozásokat, lánctörtek ami lehetőséget racionális szekvenciák konvergáló e gazdag információt számtani jellegét a határértéket. A cikk további része megmutatja például, hogy ha t racionális, akkor e t nem. A bizonyítás eredeténél azt a megközelítést alkalmazzák, amely lehetővé tette a π irracionalitásának megállapítását .
Az az elképzelés, közelítő szám használatával lánctört vissza eredetét a koncepció, Indiában a V th században . Bézout azonosságának feloldásával az első motiváció szorgalmazza egy ilyen fogalom használatát. Âryabhata ( 476 - 550 ) mindkét célra, különösen a négyzetgyök kinyerésére használja .
A folytonos frakciók közelítésének tulajdonságát véletlenül megtalálja Rafael Bombelli ( 1526 - 1572 ) 13 gyökerén, majd Pietro Antonio Cataldi ( 1548 - 1626 ) általánosította minden négyzetgyökre. Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) fejti ki a módszer elméleti aspektusát. Megmutatja, hogy bármely valós szám elismeri az egyedi kiterjesztést egyszerű folytonos frakcióvá, és irracionális, ha, és csak akkor, ha ez a folytonos frakció végtelen hosszú. Feltalál egy módszert, amelyet ma Padé közelítőjének neveznek , hogy meghatározza az e módszerét, amely irracionalitásának első bizonyítéka. Jean-Henri Lambert ( 1728 - 1777 ) tovább folytatja a feltárást és megmutatja, hogy a π sem racionális.
Megállapítottuk, hogy a folytonos frakció Diophantine közelítésként felhasználható egy szám aritmetikai jellegének tanulmányozására . A XIX . Század az, hogy jobban megértsük a transzcendentális számokat. Joseph Liouville egyet használ az első transzcendensnek mutatott szám megjelenítésére. Ha a cikkben leírt ismeretek itt megállnak, a történet folytatódik. A számos fejlesztés között idézhetjük Charles Hermite , aki létrehozta a transzcendenciáját e a 1873 . Majd hasonló módszerrel Ferdinand von Lindemann 1882-ben megmutatta a π-et .
A Dirichlet közelítési tételének alapvető következménye , hogy bármilyen irracionális esetén léteznek "jó" racionális közelítések, tetszőlegesen nagy k nevezővel és 1 / k 2 pontossággal (összehasonlításképpen a tizedes közelítés általában nem rendelkezik azzal, hogy a pontosság 1 / k nagyságrendű :
Bármely irracionális x esetén létezik egy végtelen racionalitás, amelyet h / k- re írhatunk k ≠ 0 és h egész számokkal, így | x - h / k | <1 / k 2 .
A racionális x esetében nyilvánvalóan csak véges számú ilyen h / k tört van . Tehát egy irracionálisra az a jellemző, hogy a diofantikus közelítéssel "jobban" közelít, mint a racionálishoz. Az irracionális x redukcióinak használatával megmagyarázhatjuk az x „jó” közelítésének ilyen végtelenségét , és csökkenthetjük az 1 / k 2 felső határt úgy, hogy elosztjuk 2-vel, sőt √ 5- tel . Egy Hurwitz-tétel még azt is megállapítja, hogy bármely irracionális x esetén létezik h / k közelítésű végtelen, 1 / ( √ 5 k 2 ) által határolt hibával :
Bármely irracionális x h / k csökkenése kielégíti a felső határt (1). Két egymást követő csökkentésnél van egy, amely igazolja a növekedést (2). Három egymást követő csökkentésnél van egy, amely igazolja a növekedést (3).
Másrészt, a Thue-Siegel-Roth-tétel (finomítás , hogy a Liouville ) azt mutatja, hogy ha az irracionális x jelentése algebrai és ugyanakkor nagy foka, nem tudjuk javítani a kitevő 2: minden ε> 0-ra létezik olyan A > 0 olyan, hogy bármilyen racionális h / k esetén | x - h / k | ≥ A / k 2 + ε .
Másfajta értelemben vett „legjobb” közelítésről is beszélünk, tekintve, hogy h / k jól megközelíti az x-et, ha kx - h kicsi. Mert fix k , a minimális érték | A kx - h |, amelyet, kx ║ -nek nevezünk , h-ra érhető el, amely megegyezik az irracionális kx-hez legközelebbi egész számmal . Az n ≥ 1, ║ k n x ║ = | k n x - h n | és a redukciósorozat megközelíti az x "egyre jobbat" abban az értelemben, hogy a | k n x - h n | szigorúan csökken . Ezenkívül a k n +1 a legkisebb nevező k > k n, amely „jobb”, mint a k n , azaz olyan, hogy ║ kx ║ <║ k n x ║. Ezt fejezi ki a következő definíció és tétel, amelyek ráadásul alternatív definíciót és algoritmust biztosítanak az x folytonos frakcióbővítéséhez .
Definíció - A legjobb közelítése az x egy töredéke H / K ( k > 0), úgy, hogy ║ kx ║ = | kx - h | és ║ k'x ║> ║ kx ║ bármely k ' egész számra úgy, hogy 1 ≤ k' <k .
Egy ilyen frakció tehát jobban megközelíti x-et , mint bármelyik kisebb nevezővel rendelkező frakció, a fentiekben meghatározott és a hétköznapi értelemben még inkább : ha 1 ≤ k '<k, akkor | k'x - h ' | > | kx - h | tehát | x - h '/ k' | > | x - h / k |
Tétel - Az irracionális legjobb megközelítései a szűkítői.
A többi a bizonyítékok, X jelentése egy irracionális, n természetes egész szám, egy n együtthatója index n az X és h n / k n redukált index n .
Ennek a tételnek a bizonyítása lehetővé teszi a következő tulajdonság bizonyítását is, amelyet a periodikusan folytatott frakciók tanulmányozására használnak .
Bármely irracionális x , minden frakciót h / k kielégíti a felső kötött (2) fenti egy csökkentett x .
Ezek az állítások és bizonyításaik alkalmazkodnak ahhoz az esethez, ahol x racionális, némi óvatossággal abban az esetben, ha x fél-egész.
Két x és y valós számot ekvivalensnek mondunk , ha vannak a , b , c , d egész számok úgy, hogy ad - bc = ± 1 és y = ( ax + b ) / ( cx + d ), más szóval, ha a a Full Möbius átalakítása lehetővé teszi az egyikről a másikra való váltást. A ekvivalencia osztályok ezért a pályája a fellépés a csoport PGL (2, ℤ) és a pályára a 0 a készlet elemzéseit.
Serret bebizonyította, hogy a megfelelő folytonos frakciók x és y irracionalitása [ a 0 , a 1 ,…] és [ b 0 , b 1 ,…] akkor és csak akkor egyenértékű, ha két természetes h és k természetes szám van , amely minden i ≥ 0, a h + i = b k + i .
A számok egyenértékű a arany aránya azt mondják, hogy „nemes”. Ezek azok, amelyeknél a Hurwitz-tételben ( lásd fent ) szereplő √ 5 állandó nem javítható. Nem nem irracionális x esetén az √ 5 helyettesíthető √ 8- mal , amely akkor és akkor a legjobb állandó, ha x egyenértékű a 2 négyzetgyökével .
Lambert úttörő szerepet játszik a folyamatos frakciók felhasználásával felépített diofantin-közelítések alkalmazásában, amely lehetővé teszi számára a π irracionalitásának bemutatását . Nem használja közvetlenül ennek a számnak a folytonos töredékét, így nincs olyan kifejezésünk, mint Euler e . Ha az elmélet garantálja a π-vel egyenlő folytonos frakció létezését , akkor a nehézség abban rejlik, hogy akkor nincs ismert módszer annak kimutatására, hogy ez a kiterjesztés végtelen.
Lambert először az érintő függvény kifejeződését állapítja meg folytonos tört formájában. Az, hogy ő vonatkozik euklideszi algoritmus ( vö cikk Approximant a pade ). A probléma az, hogy ez a fajta megközelítés generál egy általánosított folytonos frakciónak nevezett kifejezést : ezek a következő formájú x valós szám kiterjesztései :
A jobb oldalon használt jelölés a Pringsheim-féle (az inverzióval az a és b betűk közelében, az általánosított folytonos törtek most megszokott jelöléséhez képest). A cikk első részében leírt eredmények már nem érvényesek. És ellentétben az eddig vizsgált, az ellenzék által egyszerűnek nevezett frakciókkal , az a tény, hogy tetszőleges értékeket engedélyezünk egy n és b n számára, felveti a konvergencia problémáját , amellyel Lambert az érintő függvény adott esetben foglalkozik, magyarázva a csökkentettek. Ezután megállapít egy olyan eredményt, amely általánosítja a tételt, jelezve, hogy a végtelen egyszerű folytonos tört soha nem racionális:
Ha a nem nulla egész számok ( a n ) n > 0 és ( b n ) n > 0 végtelen sorai olyanok, hogy egy bizonyos rangból, | a n | > | b n | + 1, és ha az általuk meghatározott általánosított frakció konvergál, valamint annak „kivont frakciói” , akkor a határ irracionális.
DemonstrációTegyük fel, hogy az általánosság elvesztése nélkül az a 0 egész szám nulla, és haladjon lépésről lépésre, először feltételezve, hogy az egyenlőtlenség | a n | > | b n | A +1 minden n > 0-ra igaz .
A π számot megközelítő általánosított frakciókat már jóval Lambert előtt ismertük . William Brouncker például megmutatta, hogy:
De ez a töredék messze nem igazolja az irracionalitás lemma hipotéziseit . Ezután Lambert éppen ellenkezőleg veszi a problémát, és folytonos töredékében fejleszti az érintő függvényt :
vagy ( átalakítással ):
Ez a tört kielégíti az állításának hipotéziseit, ha m és n nem nulla egész számok, ami lehetővé teszi számára a következő eredmény megadását:
Bármely nem nulla racionális érintője irracionális.
By contraposed , minden nem nulla valós számok melynek tangense racionális vannak irracionálisnak. A π szám része, mivel érintője nulla.
DemonstrációPontosabban - mivel a priori nincs kizárva , hogy a valós számok, ahol a koszinusz eltűnik, racionálisak - Lambert bebizonyítja, hogy minden olyan nulla nélküli racionális esetben, ahol az érintő definiált , irracionális. Valójában egy ilyen ponton m / n megmutatta folytonos frakciójának konvergenciáját:
Nyilvánvalóan van olyan i index , amely minden j ≥ i esetén (2 j - 1) n > m 2 + 1. Lambert eredménye szerint a tan ( m / n ) tehát irracionális.
Euler az e és az e 2 irracionalitását egyszerű folytonos frakciókban levezetett tágulásaikból vezette le. Lambert az általánosított folytonos törteknek köszönhetően sokkal tovább megy: meghatározza a hiperbolikus tangens függvényt, és az előző számítások átültetésével ugyanúgy megkapja:
Ugyanaz az érvelés érvényes, mint az érintőfüggvény esetében, és bármely nem nulla racionális hiperbolikus érintője irracionális, vagy ami egyenértékű:
Az exponenciális bármely nemnulla racionális irracionális.
A Pell-Fermat- egyenlet a következő egyenlet, ahol d egy tökéletes, négyzet nélküli pozitív egész számot jelöl .
Az egyenlet bármely ( a , b ) megoldási párjának megfelel az a / b tört , amely történetesen a d gyökének közelítője . Ez a közelítés kevesebb, mint 1 / (2 b 2 ) távolságra van a gyökértől; ezért a folytonos frakció csökkentése. Ez a tulajdonság felhasználható a megoldások halmazának felépítésének tisztázására. Négyzetgyökös kivonási algoritmust is kínál, amelynek pontos tizedesjegyei száma megduplázódik minden lépésnél.
Érdekes alkalmazás jön az óragyártásból. Christian Huygens ( 1629 - 1695 ) egy bolygóautomatát akart létrehozni, vagyis egy forgattyús rendszert, amely a Naprendszer különböző bolygóinak mozgását reprezentálja. Tudva, hogy egy Föld-év és a Szaturnusz aránya megközelítőleg egyenlő a 2 640 858/77 708 431-gyel, hogyan lehet kiválasztani a gépet alkotó különböző fogaskerekek fogainak számát? A folytonos tört által képviselt Diophantine-közelítés megoldást kínál neki: "Most, amikor bármelyik frakcióból elhanyagoljuk a sorozat utolsó és utána következő tagjait, és amikor a többieket és az egész számot közös nevezővé redukáljuk, akkor az utóbbinak a számlálóhoz viszonyított aránya megközelíti a legnagyobbnak adott legkisebb számét; és a különbség olyan kicsi lesz, hogy lehetetlen lenne jobb megállapodást elérni kisebb számokkal. "
Az a tény, hogy a racionális 1 / (2 q 2 ) távolságnál kisebb távolságban csak véges számú p / q frakció létezik, azt jelenti, hogy a racionális szám törtekkel "rosszul" közelít. Ez az elképzelés egy polinomiális egyenlet megoldásaira általánosít. Legyen α az f (x) = 0 egyenlet valós számmegoldása , ahol f racionális együtthatójú d fokú polinomot jelöl . A Liouville-tétel korlátot ad az α közelítés minőségének racionális p / q számmal ; Pontosan, ez azt jelzi, hogy létezik egy valódi állandó A úgy, hogy minden racionális p / q :
amely lehetővé teszi az x határ folytonos törtrészének felépítését, amely nem megoldható egyetlen polinomiális egyenletnek sem racionális együtthatókkal, vagyis transzcendens számmal. Pontosabban, Liouville azt mutatja, hogy ha egy folytonos frakció ( a n ) konvergál egy d ≥ 2 fokú algebrai számra , akkor létezik olyan állandó C , hogy
ahol ( k n ) ennek a folytonos frakciónak a redukcióiban a nevezők sorrendjét is jelöli. Liouville ebből levonja transzcendens számok felépítésének módszerét: "Elég, ha a hiányos hányadosoknak olyan képződési módot adunk, amely arra készteti őket, hogy növekedjenek a jelzett időn túl, hogy folytonos frakciót kapjunk, amelynek értéke nem képes kielégíteni egyetlen algebrai egyenletet sem", és például javasolja megismétlődéssel, bizonyos rangból:
Eredménye szerint az így felépített folytonos frakciók redukcióinak határa transzcendens szám.