A matematika , hiperbolikus geometria (korábban megnevezett geometriája Lobachevsky , aki az első, hogy közzé egy alapos tanulmányt is) egy nem-euklideszi geometria ellenőrzése első négy posztulátumai a Euclid , de amelyekre az ötödik posztulátum , amely egyenértékű annak állítása, hogy egy vonalon kívüli pont egy és csak egy párhuzamos vonalat halad át, helyébe az a posztulátum lép, amely szerint "egy vonalon kívüli pont áthalad ezzel az egyenessel párhuzamosan több vonallal" (akkor létezik egy végtelen közülük).
A hiperbolikus geometriában az euklideszi geometria metrikus tulajdonságainak többsége már nem érvényes; különösen a Pitagorasz-tétel már nincs ellenőrizve, és egy háromszög szögeinek összege mindig kevesebb, mint 180 °. A vonalak azonban a két pontot összekötő legrövidebb útvonalak maradnak, ami lehetővé tette Beltraminak , hogy a hiperbolikus sík esetén geodéziaként modellezze őket állandó negatív görbületű felületen , mivel az elliptikus geometria vonalait nagy körök modellezik. egy gömbön .
Beltrami nyomán Klein és Poincaré a hiperbolikus geometria számos más modelljét elkészítette, például a hiperboloid modellt vagy a Poincaré lemez modelljét . Ezek a modellek azt mutatják, a függetlenségét az axiómának a párhuzamok , azaz a lehetetlensége bemutató (vagy cáfoló) azt a másik axiómák; ez azt is jelenti, hogy ha az euklideszi geometria nem tartalmaz ellentmondást, akkor a hiperbolikus geometria sem.
Fizikai térünk „valódi” geometriájának meghatározása a nem euklideszi geometriák felfedezéséből adódott; a XXI . század elején még mindig nem kísérleti teszteket használnak annak eldöntésére, hogy mi ez, ami a laposság problémája , a kozmológia egyik megoldatlan kérdése.
Az ötödik posztulátum Euclid (jelenleg az úgynevezett „ axiómának a párhuzamok ”), úgy tűnik, mindig volt egy állapot sokkal kevésbé »természetes«, mint a másik négy, ehelyett a már érezhető a tétel, amelynek bizonyítéka még nem kapott . A demonstrációs kísérletek az ókor óta megjelennek, és sok téves "bizonyíték" létezik. Úgy tűnik, hogy a legígéretesebb módja annak levezetése másoktól, hogy az abszurddal okoskodik , és számos matematikus úgy gondolta, hogy ez sikerült, és tagadta a posztulátum eredményeit, amelyek valóban ellentmondanak a józan észnek, például az a tény, hogy két vonal merőleges ugyanarra a vonalra távolodnának egymástól mindkét irányban. E kísérletek kudarcai azonban fokozatosan ahhoz az elképzeléshez vezettek, hogy más geometriák is lehetségesek, és a nem euklideszi geometriák felfedezéséhez .
Maga a hiperbolikus geometria története azonban úgy tűnik, a XVIII . Század elején kezdődik Giovanni Girolamo Saccheri olasz matematikus munkájával , amely élete művében az Euclides ab omni naevo vindicatus ( Euclid minden folttól megmosva) bemutatására törekszik. ), hogy Euklidész posztulátumai következetesek és szükségesek a geometria meghatározásához. Különösen az ötödik posztulátumot hamisnak feltételezve, megpróbálja kifejleszteni ennek a hipotézisnek minden következményét, amíg ellentmondást nem szerez. Ebben a kísérletben kudarcot vall, számos furcsa tételt szerez, de nem mutat ellentmondást közöttük. Nem veszi észre, hogy új geometria áll előtte, egy fél kudarc beismerésével fejezi be munkáját.
A XVIII . Század közepén Johann Heinrich Lambert a premissza tagadásának következményeit is tanulmányozta, és e feltételezési tételek és pontos eredmények (amelyek ma már a hiperbolikus geometriához tartoznak) alá kerülnek a egy háromszög a területének függvényében: C Δ = π - (α + β + γ) , ahol α, β, γ a háromszög három csúcsának szöge, C arányossági együttható és Δ területe a háromszög. Élete vége felé úgy tűnik, rájött, hogy ezek a tételek a hiteles geometria létezését "egy képzeletbeli sugarú gömbön" mutatják meg .
Carl Friedrich Gauss munkáját ismerik el általában a hiperbolikus geometria valódi kiindulópontjának, bár ezeket még élete során soha nem tették közzé. 1813-ból származó feljegyzéseiben strukturált elméletet fogalmazott meg, és úgy tűnik, hogy teljesen tisztában volt azzal, hogy ennek a geometriának matematikai állapota egyenértékű az euklideszi geometriával.
A hiperbolikus geometriát 1830-tól Nyikolaj Lobacsevszkij , majd 1825-től Bolyai János függetlenül fedezi fel és fedezi fel 1831-ben megjelent műveiben; ezek a művek azonban csak nagyon késői elismerést nyertek el, amikor Gauss és Heinrich Christian Schumacher között 1865- ben megjelent a levelezés , amelyben Gauss magasan beszélt Lobacsevszkijról és Bolyairól.
A hiperbolikus geometriát nem igazán gyakorlati jelentőségű érdekességnek tekintik (Lobacsevszkij "képzeletbeli geometriának" nevezi, abban az értelemben, hogy szemben áll a fizikai tér valódi geometriájával), míg Eugenio Beltrami 1868-ban több modellt (amelyet reprezentációnak nevez) javasolja. ), beleértve a konform és a projektív reprezentációkat, amelyeket később Henri Poincaré és Felix Klein , valamint az álszféra modellje fedezett fel újra . Azt mutatja, segítségével reprezentáció, hogy ha euklideszi geometria matematikailag összefüggő , akkor a hiperbolikus geometria feltétlenül igaz is, és hogy ezért az axiómának a párhuzamok is független a többitől.
1872-ben Felix Klein Erlangen programjában megmutatja, hogy az összes euklideszi és nem euklideszi geometria a projektív geometria részgeometriájának tekinthető , egy privilegizált kúp ( abszolút kúp ) néven (ez a konstrukció határozza meg) a Cayley-Klein metrika ); A "valódi" kúp, mint abszolút kúp megválasztása lehetővé teszi Lobachevsky geometriájának felépítését, és részben megmagyarázza a "hiperbolikus geometria" nevét, amelyet Klein ad neki, és amely ezentúl társul hozzá.
Ez a szakasz csak a síkidomok tulajdonságait részletezi; valóban, a hiperbolikus tér geometriája magasabb dimenzióban levezethető a sík geometriájából, mint az euklideszi esetben, és lényegében nem jelennek meg új jelenségek.
A sík azon tulajdonságai, amelyek az Euklidész axiómáiból (vagy szigorúbb és modernebb megfogalmazásból, például Hilbertből ) bizonyíthatók, a párhuzamok axiómája kivételével az abszolút geometriához tartoznak . Így például megmutatjuk, hogy ugyanazon egyenes két merőlegesének nincsenek közös pontjai, ezért mindig léteznek párhuzamok (ezért az elliptikus geometria nem abszolút geometria). A hiperbolikus geometria sok tulajdonsága hasonlóan esik egybe az euklideszi geometriával, néha újrafogalmazás árán: így könnyen bebizonyítható, hogy bármely háromszög belső felezői egyidejűek ( a klasszikus bizonyítás nem használja a párhuzamok fogalmát), és ezért van egy kör beírva ebbe a háromszögbe; a merőleges felezõk tulajdonságai arra késztetnének bennünket, hogy azt is gondoljuk, hogy egyidejûek, és ezért létezik egy körülírt kör is , de ez az eredmény általában téves a hiperbolikus síkban, mert két egyidejû egyenesre merõleges merõleges lehet párhuzamos; igaz marad, hogy ha egy háromszög két merőleges felezője metszi egymást, akkor a három merőleges felező egybeesik (ugyanez az eredmény igaz a háromszög magasságára is).
A hiperbolikus geometriát abszolút geometriából nyerjük, ha a párhuzamok axiómáját (pontosabban a Proclus által megadott verziót ) egy axiómával helyettesítjük, például azt állítva, hogy "legalább két egyidejű vonal van párhuzamosan ugyanazzal a harmaddal". Mi majd bizonyítani, hogy minden vonal D és bármely pontjára P nem D , létezik egy végtelen vonal áthalad a P és nem felelnek meg a D között helyezkedik el, két határérték szöget alkotó vonalat 2 θ függvényében csak a távolság a P és D ; θ a párhuzamosság szögének nevezzük (ennek a szögnek a távolság függvényében történő kiszámítását a metrikus tulajdonságoknak szentelt szakaszban kell elvégezni ). A két határvonalról azt mondják, hogy aszimptotikus párhuzamos a D-vel (egyes szerzők a párhuzamok kifejezést aszimptotikus párhuzamokra tartják fenn; a többi nem szekunder vonalat ultrapárhuzamosnak , vagy néha hiperparallinnak mondják ). Bizonyítjuk, hogy ha a sík két vonala nem szekundáns (a szokásos euklideszi értelemben párhuzamos), vagy aszimptoták, vagy létezik egy és csak egy egyenes, merőleges mindkettőre; az ezen a merőlegesen kivágott szegmens ekkor megfelel a két vonal közötti minimális távolságnak (ami két aszimptotikus vonal esetében nulla). Az egyenes irányának euklideszi képzete , amelyet a párhuzamos vonalak egyenértékűségének viszonyaként határozunk meg , és egy vonal végtelen pontjának pontja (amelyet a projektív geometriában úgy definiálnak, hogy ennek a vonalnak a metszéspontja az l 'végtelen egyenesével), de továbbra is lehetséges ekvivalencia-kapcsolat meghatározása aszimptotikus párhuzamok (a két irányú vonalak) és a végtelen pontok fogalma között; például a Poincaré korong modelljében a végtelen pontok egy kört alkotnak, amely korlátozza a lemezt, és minden egyes vonal (amelyet ebben a modellben egy kör íve képvisel) metszi ezt a korlátozó kört két pontjának, amely megfelel annak két irányának, kettőnek vonalak párhuzamos aszimptoták, ha a végtelenben közös pontjuk van.
Az r sugarú kör metrikus tulajdonságai eltérnek az euklideszi síkéitól: kerülete és területe nagyobb, mint 2π r és π r 2 . De ezen kívül, bizonyos jellemző tulajdonságai az euklideszi vonalak határozzák görbék a hiperbolikus síkon, amelyeknek nincs euklideszi analóg, de bizonyos oldalról is értelmezhető általános körökben: a pontok találhatók fix távolságot d d 'egy adott egyenes D formákat hiperkeréknek nevezett görbe ; azokat a görbéket, amelyeknek normáljai minden ponton aszimptotikusan párhuzamos vonalak családját alkotják, horociklusoknak (vagy néha horiciklusoknak ) nevezzük . A Poincaré lemezmodellben a köröket, a horociklusokat és a hiperciklusokat (valamint vonalakat) körök vagy ívek képviselik. A háromszöget alkotó három ponton e család egyetlen görbéje (kör, horociklus vagy hiperciklus) halad át, ami általánosítja a kör fogalmát, amely körül van írva a háromszögre. Végül, ha a P n ( ) pontok sorozata olyan, hogy az S n = [ P n P n +1 ] szakaszok mindegyike azonos hosszúságú, és hogy a szegmensek közötti szögek egyenlőek és kellően nagyok, akkor egy sokszög végtelen szabályos , az úgynevezett szabályos apeirogon , horociklusba vagy hiperciklusba írva.
Az a szög, a tetején egy szabályos sokszög az n oldalon (ami érvényes az euklideszi síkon) hosszától függ a mellékhatás a hiperbolikus geometria és lehet kisebb, mint szeretnénk; ezért a hiperbolikus síkot egyenletesen tetszőleges oldalszámú szabályos sokszögekkel, és tetszőleges számú olyan sokszöggel tudjuk kikövezni, amelyeknek közös csúcsa van (bár az euklideszi síkban nem létezik, mint három szabályos csempézés ). A szemközti példa ( a Poincaré-korong modelljében ) öt derékszögű szabályos ötszögű burkolást ábrázol .
Az euklideszi síktól eltérően a hiperbolikus síkban van egy abszolút skála a hosszúságokról, amely analóg a gömb sugarával a gömb geometriájában , és amely "görbületként" értelmezhető, az euklideszi sík deformációja például egy háromszög szögeinek összege kevesebb, mint 180 °; Gauss általánosabban meghatározta a belső görbület fogalmát bármely felületre, csak a felületre rajzolt vonalakat használva; Ezzel a meghatározással azt mutatjuk be, hogy a hiperbolikus sík egy folyamatosan ívelt felület negatív K . Megfelelően választva a hossz mértékegységét, K- t -1-nek vehetjük ; ezt a konvenciót alkalmazzák a következőkben. Általánosabb képleteknél szükség lenne az összes ott megjelenő hossz -K-val való szorzására ; így általában egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolat cosh ( Kc ) = cosh ( Ka ) cosh ( Kb ) , az r sugarú korong területe pedig .
Párhuzamossági szögHa P a D egyenesen kívül eső pont, és H annak D-re merőleges vetülete ( a = HD a P és D távolsága ), akkor az alább megadott képletek egy PHM derékszögű háromszögre , M -vel D-n a végtelenségnél távolodva a képlet így a sine a szög a párhuzamosság θ , képlet által felfedezett Lobachevsky :
.Ez a szög gyorsan 0-ra hajlik, amikor P elmozdul D-től , vagyis a P- n átmenő vonalak többsége párhuzamos a D-vel .
TerületekA kerülete a körön r jelentése 2π sinh ( r ) = π (e r - e - r ) , és a terület a megfelelő lemez ; így a korong területe sokkal gyorsabban növekszik sugaraival, mint az euklideszi síkban. Egészen más egy háromszög Δ területe (amelynek α , β és γ szöge mind kisebb, mivel az oldalak nagyok): Lambert bebizonyította, hogy Δ = π - (α + β + γ) , a képlet megegyezik a jelentkezzen Girard formula a gömbháromszögtan , és amely azt mutatja be, hogy halad az összeg a háromszög szögeinek mindig kisebb, mint π .
A hiperbolikus háromszög trigonometriaFormálisan, egy kaphatnak az eredményeket megfelelő hiperbolikus síkot feltételezve a háromszög rajzolt gömb képzeletbeli sugarának R = i (azaz, hogy az R 2 = -1 ); más szavakkal, azáltal, hogy a szférikus trigonometria klasszikus képleteiben az ívek szinuszait és koszinuszait (és nem a szögeket) hiperbolikus szinuszokkal és koszinuszokkal helyettesítjük (és bizonyos jeleket korrigálunk). Tehát egy ABC háromszög esetében , ugyanazokkal a konvenciókkal, mint a gömbös esetben (az oldalak a = BC , b = AC és c = AB ; a megfelelő szögek megjegyezték az α , β és γ értékeket ), a koszinusz törvénye van : cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) - sinh ( a ) sinh ( b ) cos (γ) , kettős koszinustörvény : cos (γ) = - cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) cosh ( c ) , valamint egy szinusz törvény : . Különösen egy C derékszögű háromszög esetén cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) ; mint cosh ( x ) ≈ 1 +x 22mert x kellően kicsi, végül megtaláljuk a Pitagorasz-tételt.
Úgy hívják a terv mozgó egy izometria , amely megőrzi az orientáció . A forgatások a hiperbolikus sík pontosan definiálható mint az euklideszi geometria: ha R jelentése a forgatás központja C és szög α, a kép egy a R , A „ = R ( A ) az a pont, hogy a CA” = CA és hogy a szög ; annak demonstrálása, hogy ez az átalakulás valóban elmozdulás, nem függ a párhuzamok axiómájától. Másrészt a hiperbolikus geometriában nincsenek igazi analóg fordítások ; ami a legközelebb áll hozzá, az egy végtelen C körüli forgás , amely két ortogonális szimmetria összetétele által képzett transzformáció, amelynek tengelyeinél ebben a pontban két egyidejű egyenes van (ezért párhuzamos aszimptoták); az iterációk egy ilyen átalakulás, minden egyes pontja bejárja a csúcsai egy szabályos apeirogon helyezhető be egy horocycle a központ C (ezt az átalakulást is nevezik horolation a központ C ). Általánosabban kimutatták, hogy a hiperbolikus sík bármilyen elmozdulása két ortogonális szimmetriából áll: ez az azonosság, ha a szimmetriatengelyek összekeverednek, egy közönséges forgás, ha keresztezik egymást, ez egy horoláció s 'párhuzamosak aszimptotákkal, és végül, ha a két szimmetriatengelye van ultraparallel, ez az elmozdulás egy transzlációs mentén közös merőleges , a többi pont áthaladó hypercycles amelynek tengelyre e merőleges.
A találmány szerint René Descartes a koordináta-rendszer, amely viseli a nevét szült analitikus geometria , geometriai, hogy megoldja a kérdéseket a módszerek algebra . Lehetséges ugyanúgy azonosítani a hiperbolikus sík pontjait számpárokkal, a leggyakrabban használt rendszer az axiális koordináták rendszere (egy pont koordinátáira két merőleges tengelyre merőleges vetületeit veszi ), de ezek a rendszerek messze kényelmes ez a képletek összetettsége miatt, amelyek leírják a szokásos ábrákat (vonalakat és köröket), vagy lehetővé teszik a szögek és távolságok kiszámítását; ezért a legtöbb számítógépes alkalmazás a Poincaré lemezmodellben végzi a számításokat .
A modellek elmélete éppen Eugenio Beltrami által készített példákban találja meg a forrását , aki a reprezentációk nevét adta nekik ; számára a geometria ábrázolása olyan objektumok felépítése, a szokásos euklideszi térben (vagy általánosabban a térben ), amelyek koherens módon felelnek meg a geometriának és annak tulajdonságainak. Például a Minkowski-diagram a Minkowsk-féle geometria ábrázolása ; a gömb nagy köreivel az elliptikus geometria ábrázolását alkotja . Beltrami használt különböző reprezentációk tett szert, hogy szigorúan bizonyítani függetlenségét az axiómának a párhuzamok .
A hiperbolikus geometria összes ábrázolása matematikai szempontból egyenértékű, vagyis léteznek olyan izomorfizmusok, amelyek lehetővé teszik az egyik ábrázolásból a másikba való átjutást; ebben az értelemben a matematikusok a hiperbolikus síkról egyetlen objektumként beszélnek.
Annak biztosítására, hogy az alábbiakban megadott különböző ábrázolások valóban a hiperbolikus geometria modelljei legyenek (más szóval, hogy igazolják annak axiómáit), nem elég megmondani, hogy mik a „vonalak”. meg kell határozni a kongruencia (a szegmensek) fogalmát , vagy, ami ugyanarra vonatkozik, a pontok közötti távolságot (amely szükségszerűen különbözik a tér szokásos távolságától). Az egyes modelleknél ezeket a távolságokat meghatározó képletek megtalálhatók a megfelelő részletes cikkekben.
Ebben a modellben a hiperbolikus tér egy nyitott euklideszi labda. A 2. dimenzióban a hiperbolikus síkot tehát egy nyitott lemez modellezi. A hiperbolikus tér vonalai olyan szegmensek, amelyek végei a labda széléhez tartoznak; a távolságot a Cayley-Klein metrika adja . A hiperbolikus vonalak ábrázolása ebben a modellben egyszerű, de a szögek nem maradnak fenn, a köröket pedig ellipszisek képviselik.
A modell tartományát korlátozó gömb (vagy a 2. dimenzióban lévő kör) a végtelenben elhelyezkedő hiperbolikus tér pontjainak felel meg . Továbbá, minél közelebb kerülünk a tartomány széléhez, annál inkább látszanak, hogy a távolságok csökkennek a modellben.
Csakúgy, mint a Klein-Beltrami modellben, a hiperbolikus teret ebben a modellben egy nyitott euklideszi gömb (és ezért egy korong a 2. dimenzióban) ábrázolja, de ennek a hiperbolikus térnek a körvonalai merőlegesek a labda szélére. ; a távolságot a Poincaré metrika határozza meg . Ennek az ábrázolásnak az az érdeke, hogy lokálisan a tér metrikája egy tényezővel a modell euklideszi metrikája. Különösen a hiperbolikus tér két vonala közötti szög megegyezik az euklideszi geometria szögével, amelyet a modell e két vonalat képviselő két körívje alkot. Azt mondjuk, hogy a hiperbolikus tér ábrázolása konform .
A Klein-Beltrami modellhez hasonlóan a modell tartományát korlátozó gömb (vagy a kör a 2. dimenzióban) megfelel a hiperbolikus térnek a végtelenben elhelyezkedő pontjainak , a távolságok a domain széléről közeledve látszólag összehúzódni látszanak.
Ebben a modellben a hiperbolikus tér a nyílt féltere . A 2. dimenzióban a hiperbolikus síkot tehát egy euklideszi félsík modellezi. Ennek a hiperbolikus térnek a vonalai a féltérre korlátozó, a hipersíkra (vagy a 2. dimenzióban lévő vonalra) merőleges körívek; a távolságot a metrika segítségével határozzuk meg. Az ábrázolás ismét következetes.
Ebben a modellben a domént korlátozó hipersík (vagy a 2. dimenzióban lévő egyenes) a hiperbolikus térnek a végtelenben elhelyezkedő pontjainak felel meg . A távolságok összehúzódnak, amikor megközelítik ezt a hipersíkot, és egyre távolodnak.
Ebben a modellben, amelyet Poincaré és különösen Killing tanulmányozott az 1880-as években, a hiperbolikus tér egy hiperboloid lapja, amely egy adott mutatóval van ellátva. Pontosabban a pszeudometrikus - dx - felruházott Minkowski térben , azaz R n +1 2
0+ dx2
1+ ... + dx2
n, ez az x egyenlet hiperboloidjának lapja2
0- x2
1- ... - x2
n= 1 oly módon, hogy x 0 > 0 , az indukált pszeudometriával együtt, ami valójában homogén Riemann-metrika. Minkowski 1908-ban megmutatta, hogy ezt a modellt a különleges relativitáselméleti sebességvektorok ( Geschwindigkeitsvectoren ) terével azonosították .
Eugenio Beltrami 1868-ban javasolta a negatív állandó görbület felszínének felvételét a hiperbolikus sík modelljeként (és ennek a felületnek a geodéziáját "vonalaknak" nevezni ). Lehetetlen ( Hilbert tétele szerint ) így megszerezni a teljes hiperbolikus sík modelljét, amely nem mutat szingularitásokat , de a pszeudoszféra a legjobb ábrázolás; az az előnye is, hogy a geodézia mentén méri a szokásos metrikát. Henri Poincaré általánosságban demonstrálta a hiperbolikus sík egyenértékűségét a geodéziájával biztosított teljes és egyszerűen összekapcsolt állandó negatív görbület bármely „absztrakt” felületével (technikailag a 2. dimenzió bármely Riemann-sokaságával ) ; ez az eredmény uniformizálási tételének speciális esete .
Az n dimenzió H n- vel jelölt hiperbolikus terének meghatározásához ismét lehetőség van az axiomatikus megközelítés alkalmazására (például Hilbert axiómáira támaszkodva ); másrészt Felix Klein definíciója könnyen általánosítható bármely dimenzióban azáltal, hogy az abszolút kúpot egy hiperkadrissal helyettesíti .
A modern definíciók azonban inkább a Riemann-sokaság fogalmára támaszkodnak : H n egy R dimenziós n dimenziós sokaság , egyszerűen szimmetrikusan kapcsolódik , állandó és negatív keresztmetszetű görbületű (az összes ilyen tulajdonságot kielégítő sokaság izomorf, sőt izometrikus). A „vonalak” ennek a sokaságnak a geodéziája , és minden egyes ponton keresztül legalább egy részcsatorna izomorf halad át a korábban vizsgált hiperbolikus síkhoz; ez a megközelítés kölcsönösen arra készteti a kérdést, hogy mely geometriák kompatibilisek egy adott sokasággal (és különösen milyen feltételek szükségesek ahhoz, hogy hiperbolikus geometriát kapjon); ez a kutatás 2003-ban tetőzött , amikor Grigori Perelman bemutatta a Thurston geometrizációs sejtést .
Egy harmadik, további konstruktív megközelítést áll meghatározásában H n , hogy az egyik a fenti modellek (amelyek mind izomorfak egymással), a hiperboloid modell az egyszerűség a számítások, illetve a Poincaré modell , konform , a kényelmes grafikus ábrázolások. Hiperboloidon modell különösen lehet meghatározni, mint a hányadosa a tér mátrixok , ami azt a gazdag algebrai struktúrát, és megkönnyíti a tanulmány a maga isometries .
Számos tisztán geometriai megközelítést is javasoltak; egyrészt Bachmann axiomatikája , amelyet 1959-ben készítettek, csak az incidencia, az ortogonalitás és az izometria fogalmát felhasználva ; másrészt az algebrai struktúra , a girovektoriális tér felfedezése a 2000-es évek elején, amely a hiperbolikus geometriához hasonlóan játszik szerepet, mint a vektortér szerkezete az euklideszi geometriában.
Még általánosabban: Mihail Gromov 1985 körül fedezte fel a hiperbolikus metrikus tereket , a hiperbolikus tér tulajdonságaihoz hasonló tulajdonságokkal rendelkező tereket , amelyeket távolságaik, azaz Gromov szorzatának összefüggése alapján határoztak meg .
A moduláris csoport természetesen a hiperbolikus szinten hat, különösen Poincaré ábrázolásain; elmozdulási csoportjának egy alcsoportja , amelyet ezekben a modellekben a Möbius-transzformációk képviselnek . A moduláris görbéket a hiperbolikus sík hányadosaként határozzák meg a moduláris csoport egyes alcsoportjai; a megfelelő ekvivalenciaosztályok a hiperbolikus sík csempézéséhez vezetnek, amelyeket Poincaré , Dedekind és Klein tanulmányoztak .
A geodéziai áramlás egy kompakt Riemann sokrétű negatív görbület leginkább kaotikus folytonos idejű dinamikus rendszer prototípusa , egy ingatlan észrevette már 1898 Hadamard . Ma már tudjuk, hogy ez az áramlat Bernoulli, ezért különösen ergodikus, keverés (" keverés ") stb. Az 1980-as évek végétől számos részletes tanulmány jelent meg az áradásról és alkalmazásairól.
A komplexitás elmélete a szokásos formájában egy olyan világot feltételez, ahol a jelek azonnal terjednek, és ahol ennek következtében az adatok olvasása mindig ugyanannyi időt vesz igénybe. De részletesebb elemzéseket javasoltak; ekkor vették észre, hogy egy hiperbolikus világban sokkal több információ tárolható egy adott távolságon, ami lehetővé teszi bizonyos számítások felgyorsítását; különösen megmutathatjuk, hogy P = NP (eredmény, amelynek sajnos nincs gyakorlati alkalmazása).
Már 1908-ban Hermann Minkowski észrevette, hogy a különleges relativitású sebességvektorok tere úgy viselkedik, mint a hiperbolikus sík (ez a hiperboloid modellje ). A sebességek összetétele tehát egy olyan algebrai struktúrát eredményez, amelyet gyrovektor térnek neveznek , és amelyet a 2000-es évektől fogva meghatároztak és tanulmányoztak számos szerző, köztük Abraham A. Ungar, és amely alkalmazást talált a hiperbolikus geometriában, de például a tanulmányban is. a Bloch-gömb .
Gauss , majd Lobachevsky úgy vélte, hogy a fizikai tér geometriája nem euklideszi, de a geodéziai , sőt az asztrometrikus mérések , amelyeket képesek voltak elérni, csak megerősítették a párhuzamok axiómáját. A kérdést fizikai szempontból vették fel, amikor Einstein megfogalmazta az általános relativitáselméletét , amelynek modellje azt feltételezi, hogy tömegek "hajlítják" a teret. A tér egészének geometriájának és különösen annak görbületének meghatározása kérdéssé válik, amely hajlamos a kísérleti tesztekre, különös tekintettel arra a tényre, hogy egy hiperbolikus térben a gömb térfogata sokkal gyorsabban nő, mint a sugara. . A korai 21 -én században azonban a tér úgy tűnik, „lapos” (euklideszi) a mérés pontosságát, hogy a jelenlegi ismeretek a fizika nem magyarázza sokat: a simaság probléma . Egyes kozmológusok , például Jean-Pierre Luminet , „összegyűrt univerzum” néven olyan univerzumok modelljeit javasolták, amelyek némelyike a H 3 hiperbolikus térből származik (azzal, hogy egy hányados teret épít belőle ). azt állítják, hogy kompatibilisek a megfigyelési adatokkal.
Míg sok sci-fi és fantáziaszöveg nem euklideszi geometriákra hivatkozik ( Lovecraft többször megemlítette, hogy az ókori építészetben való felhasználása megőrjíti azokat, akik megpróbálják megérteni), úgy tűnik, hogy csak Christopher Priest regénye , a Le Monde inverti veszi figyelembe hiperbolikus geometriájú univerzumban (egy catenoid felülete ) helyezzük el . Ugyanakkor azt is idézni Géométricon , egy képregény mondja a kalandjait Anselme Lanturlu görbült terek, beleértve a hiperbolikus síkon.
Maurits Escher , a Harold Coxeter által 1952-ben neki biztosított eszközöknek köszönhetően , többször használta a hiperbolikus sík burkolatait, átalakítva mintáikat, hogy antropomorf alakokká vagy állatokká váljanak , akárcsak az Angyalok és démonok , vagy a Körkörös korlátok sorozatában .
William Thurston földmérő által tervezett és papírból készített modellekből merítve ihletet , Daina Taimiņa feltalálta a hiperbolikus sík részeinek horgolásának technikáját, amelyet Margaret és Christine Wertheim művészileg használtak a korallzátonyok utánzására .