Riemann fajta

A matematikában , pontosabban a geometriában a Riemann-féle elosztó az alapvető objektum, amelyet Riemann-féle geometriában tanulmányoztak . Ez körülbelül olyan sokrétű , azaz a görbült tér általánosítva görbék (az 1. dimenzió), illetve a felületek (dimenzió 2) bármely méretben n , és amelyen lehetőség van, hogy végre hosszú számításokat .

Műszaki szempontból a Riemann-féle elosztó egy differenciál-elosztó , amely egy Riemann-metrikának nevezett kiegészítő szerkezettel rendelkezik, amely lehetővé teszi az elosztóhoz érintő két vektor skaláris szorzatának kiszámítását ugyanabban a pontban. Ez a mutató lehetővé teszi, hogy meghatározza a hossza egy utat két pont között a sokrétű, akkor a geodesics milyen választ problémája legrövidebb út. A Riemann -sokasággal kapcsolatos alapvető fogalmak a Levi-Civita kapcsolat és a görbület .

Alapvető definíciók és példák

Formális meghatározás

A Riemann-sokaság egy differenciál sokaság és minden ponton egy pozitív, határozott kvadratikus forma adata az érintőtéren további szabályosság feltételezésekkel. Érintő terek vannak euklideszi terek . A szabályosság feltételezéseit két egyenértékű módon fejezik ki: $M$ $m$ $g_ {m}$ $T_mM$ $(T_ {m} M, g_ {m})$

A térkép egy global section C osztály k a vektor köteg ; $m \ mapsto g_ {m}$ $S ^ {2} T ^ {*} M$
Minden vektormezők az alkalmazására van C osztály k . $X, Y$ $M$ $m \ mapsto g_ {m} (X_ {m}, Y_ {m})$

Az adatok az úgynevezett Riemann-metrikát a . $g$ $M$

Riemann-mérőszámok léteznek bármely differenciál sokaságon ( parakompakt ), és zárt konvex kúpot alkotnak ( ésszerű topológiákkal ). $\ Gamma S ^ {2} T ^ {*} M$

Ha és két Riemann, a helyi isometry egy differenciálható térkép kielégítő . Más szavakkal, a különbségek lineáris izometrikus térképek. A helyi inverziós tétel szerint bármely lokális izometria lokális diffeomorfizmus . $(M, g_ {1})$ $(N, g_ {2})$ $f: M \ jobbra nyíl N$ $f ^ {*} g_ {2} = g_ {1}$ $df (x): T_ {x} M \ jobbra nyíl T _ {{f (x)}} N$

Az izometrikus (globális) lokális izometrikus bijektív .

Hossz és távolság

A Riemann-féle elosztók a legalapvetőbb példák a Finsler-elosztókra . A Riemann-metrika egy összekapcsolt differenciál-elosztón minden érintőtérben meghatároz egy euklideszi normát , amelyet a következők adnak: $g$ $M$

\ | v \ | = {\ sqrt {g (v, v)}}

A hossza a szakaszosan görbe C 1 $γ: [ a , b ] \to M$ határozza meg:

L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ gamma '(t) \ | \; {\ mathrm d} t.

A görbe hossza invariáns a rendszeres reparaméterezéssel.
Két darabos C 1 görbe összefűzésének hossza a hosszúságok összege.

Mert meghatározzuk: $x, y \ M-ben$

{\ mathrm {d}} (x, y) = \ inf L (\ gamma)

ahol a infimum vonatkozik az összes görbe C 1 által darab a származási és a végén . $x$ $y$

Mivel a jelölések arra utalnak, $d$ egy távolság felett az úgynevezett Riemann távolságot. Ne feledje, hogy ez utóbbi újradefiniálja a . $M$ $M$

Alapvető példák

A gömbök

Mivel az n- szféra elmerül az ℝ n + 1 térben , Riemann-mutatója a szokásos távolság által indukált metrika. Az O- középpontú és R sugarú n- szférán két A és B pont rendelkezik Riemann-féle (vagy geodéziai) távolsággal az őket összekötő nagy kör ívének hosszával . ${\ displaystyle R \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ vec {OA}}. {\ vec {OB}} / R ^ {2}}$

Hiperbolikus tér

Poincaré korong : a hiperbolikus tér az ball n egységgömbje , amelyet a metrika tartalmaz: $(H ^ {n}, g)$

g = 4 \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {{\ mathrm {d}} x_ {i} ^ {2}} {\ bal (1- \ bal \ | x \ jobb \ | ^ {2} \ jobbra) ^ {2}}}

Klein modellje : a hiperbolikus teret az egységgömb is képviseli, de a metrika más:

g = {\ frac {\ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} {\ mathrm {d}} x_ {i} \ right) ^ {2}} {\ left ( 1- \ bal \ | x \ jobb \ | ^ {2} \ jobb) ^ {2}}} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {{\ mathrm {d}} x_ {i} ^ {2}} {1- \ bal \ | x \ jobb \ | ^ {2}}}

Ebben a modellben a hiperbolikus tér vonalai az egységgömb szakaszai, ellentétben a Poincaré-modellel, de a szögek nem maradnak fenn.

Poincaré félsíkja : a hiperbolikus térnek ezt a modelljét a felső féltérben megadott metrika adja : ${\ mathbb {R}} _ {*} ^ {+} \ szor {\ mathbb {R}} ^ {{n-1}}$

g = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {{\ mathrm {d}} x_ {i} ^ {2}} {x_ {1} ^ {2}}}

Az egységlemez kifejezett izometriáját a felső félsíkon a pólus inverzió adja : $t = (- 1,0, \ pont, 0)$

x \ mapsto t + 2 {\ frac {xt} {\ bal \ | xt \ jobb \ | ^ {2}}}

Megjegyzés: a hiperbolikus tér az aritmetikában fordul elő , egy olyan tartományban, amelyben általában a felső félsík modelljét használják. A geometriában azonban az ízek nagyon széles körben oszlanak meg: a Poincaré lemez modellje a jobb grafika előnyét kínálja az ábrákon. Vannak más modellek is (például a hiperboloid modell ), amelyeket a gyakorlatban kevesen használnak. $H ^ {2}$

A kapcsolattól a geodéziáig

Levi-Civita kapcsolat

A Riemann-féle elosztón egyedülálló kapcsolat létezik a D torzió nélkül , így az összes vektormező esetében : $(M, g)$ $X Y Z$

Xg (Y, Z) = g (D_ {X} Y, Z) + g (Y, D_ {X} Z).

Ez a kapcsolat az úgynevezett Levi-Civita a vagy kanonikus kapcsolatot. Ez az eredmény képezi a Riemann-geometria alapvető tételét . $(M, g)$

Ha egy differenciálható, vektor mező mentén f egy teljes keresztmetszeti vektor köteg , így akár egy alkalmazás , például, minden egyes pont , van: . A mentes vektor mezők terét jelöljük . $f: N \ jobboldali M$ $f ^ {*} TM$ $X: N \ rightarrow TM$ $n \ -ban N$ $X (n) \ -ban T _ {{f (n)}} M$ $\ Gamma \ balra [f ^ {*} TM \ jobbra]$ $f$

Geodéziai egyenletek

A riemaniai sokaság geodéziája kielégíti a következő differenciálegyenletet:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x ^ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ sum _ {j, k} \ Gamma _ {jk} ^ {i} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {dt}} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {k}} {dt}} = 0}

Hopf-Rinow tétel

A következő tulajdonságok egyenértékűek:

bármely pontjára , a kérelem $exp$ $m$ van állítva ; $m$ $T_mM$
a sokaság geodetikailag teljes, azaz a geodézia a ℝ-n van meghatározva; $(M, g)$
A hely van teljes a Riemann távolság; $M$
A golyó zárt és korlátos a kompakt .

Görbület

Általánosítások

A Riemannian sokaság fogalma két teljesen különböző irányban általánosít.

A g- t nem degenerált másodfokú formák mezőjével helyettesítjük bármilyen aláírással ( ál-Riemann-fajták ). Még mindig megvan a Levi-Civita kapcsolat, a geodézia és a görbület fogalma, de a geometriai tulajdonságok teljesen mások.

Érdekel a metrikus szerkezet . A természetes általánosítás ekkor a hosszúság térének általánosítása . Ezeket a tereket különösen az orosz iskola (DA Alekszandrov, újabban G. Perelman és M. Gromov ) tanulmányozta.

Lásd is

Bibliográfia

(en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin és Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ a kiadás részlete ]
en) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ a kiadások részlete ]
(en) Gerard Walschap, Metrikus struktúrák a differenciálgeometriában , Springer.

Külső hivatkozás

Pierre Pansu , Differenciálgeometria tanfolyam , Master 2 szint

Kapcsolódó cikkek