Útvonal (topológia)

A matematikában , különösen a komplex elemzésben és a topológiában , az út a kezdő és a végpont közötti pontok folyamatos egymásutánjának modellezése . Irányított útról is beszélünk .

Definíciók

Hadd X lehet egy topologikus tér . Hívjuk path on X bármilyen folyamatos alkalmazás . γ:[0,1]→x{\ displaystyle \ gamma \ ,: \, [0,1] \ jobbra nyíl X}

Az út kezdőpontja f (0) , a végpont pedig f (1) . Ez a két pont alkotja az út végét . Amikor A kijelöli az út kezdő és B végpontját (lásd a fenti ábrát), akkor „az A- t B-vel összekötő útról” beszélünk  .

Vegye figyelembe, hogy az útvonal nem csak az X részhalmaza, amely görbének "néz ki" , hanem paraméterezéseket is tartalmaz . Például az alkalmazások és két különböző utat képviselnek 0-tól 1-ig az igazi R vonalon . f(x)=x{\ displaystyle f (x) = x}g(x)=x2{\ displaystyle g (x) = x ^ {2}}

A készlet utak a X képez topológiai tér egy fibration a X .

A csipke az X egy út, melynek két vége azonos.

Azt mondják, hogy az X-en található topológiai tér , amelyben bármely két pontot mindig egy út köti össze, ívekkel van összekötve . Bármely helyet ívekkel szét lehet bontani összekapcsolt alkatrészek halmazává . Gyakran megjegyzik az X tér ívével összekötött alkatrészek halmazát . π0(x){\ displaystyle \ pi _ {0} (X)}

Az útvonalak és a hurkok az algebrai topológia homotopiaelméletnek nevezett ágának központi tanulmányi tárgyai . Az útvonalak homotópiája a végek fixen hagyásával pontosítja az út folyamatos deformációjának fogalmát.

Röviden, az X-ben lévő utak homotópiája olyan utak családja , amelyeket indexelnek olyanok, amelyek ft:[0,1]→x{\ displaystyle f_ {t}: [0,1] \ jobbra nyíl X}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}

• ft(0)=x0{\ displaystyle f_ {t} (0) = x_ {0}}és rögzítettek;ft(1)=x1{\ displaystyle f_ {t} (1) = x_ {1}}
• által meghatározott alkalmazás folyamatos.F:[0,1]×[0,1]→x{\ displaystyle F: [0,1] \ szor [0,1] \ jobbra nyíl X}F(s,t)=ft(s){\ displaystyle F (s, t) = f_ {t} (s)}

Az utak és csatlakozik egy homotopy azt mondják, hogy homotóp . Meghatározhatunk egy olyan hurkot is, amely az alappontot fixen hagyja. f0{\ displaystyle f_ {0}}f1{\ displaystyle f_ {1}}

A homotópiai reláció ekvivalencia-viszony a topológiai térben található utak között. Az ekvivalencia osztálya az út f erre kapcsolatban az úgynevezett homotopy osztály az f és gyakran jegyezni . [f]{\ displaystyle [f]}

Útvonal összetétele

Nyilvánvaló módon összeállíthatunk utakat egy topológiai térben. Legyen az f egy utat a x a y és g egy utat a y a z . Az fg út az az út, amelyet először az f , majd a g áthaladásával kapunk  : fg(s)={f(2s)0≤s≤12g(2s-1)12≤s≤1.{\ displaystyle fg (s) = {\ begin {cases} f (2s) & 0 \ leq s \ leq {\ frac {1} {2}} \\ g (2s-1) & {\ frac {1} {2}} \ leq s \ leq 1. \ end {esetek}}} Nyilvánvaló, hogy az utak összetételét csak akkor határozzuk meg, ha f végpontja egybeesik g kezdőpontjával . Nem asszociatív , a paraméterezés különbségei miatt. Azonban, ez az asszociatív akár homotopy, azaz [( fg ) h ] = [ f ( gh )] (amikor ezek a vegyületek az alábbiakban, azaz amikor a végpontja f egyenlő a kiindulási pont a g és a végpont a g a h ) kezdőpontig . A homotopy osztályok az utak X ezáltal egy groupoid , az úgynevezett Poincaré groupoid az X és nevezzük π ( X ).

Minden pont x 0 a X , a subgroupoid a homotopy osztályok hurkok alapuló x 0 tehát egy csoport , az úgynevezett alapvető csoportja az X pontban x 0 és jelöljük π 1 ( X , x 0 ).

Útvonalak egy normalizált vektortérben

Abban az esetben, ha az X topológiai tér normalizált vektortér , vagy egy normalizált vektortérhez tartozó affin tér, megadhatjuk a pontokat összekötő utak jellegét.

• Egyenes utak  : akkor mondjuk, hogy egy út egyenes, ha mindenre írható . A vektor hívják a rendező vektor az . A „hordozó” az út (vagyis a kép ) ezután egy vonal szegmenst .γ(t)=x+tu→{\ displaystyle \ gamma (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
• Sokszögű útvonalak  : akkor mondjuk, hogy egy út sokszögű, ha véges számú egyenes vonalú vegyületként írjuk össze. Például egy manhattani út sokszögű út.
• OsztályútvonalakVSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}  : egy útvonal osztályú lehet . Definíció szerint minden út folyamatos és ezért osztályos  ; de magasabb szabályossági szintünk is lehet. Egy osztály utat az azt mondta, hogy a rendszeres , ha mindent . A szokásos osztályút sima útnak mondható .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NEM{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NEM∗{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ′(t)≠0{\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Lásd is

Bibliográfia

• en) Ronald Brown , topológia és Groupoidok, a Booksurge PLC,2006
• (hu) J. Peter May , A tömör tanfolyam algebrai topológia , University of Chicago Press ,1999
• en) James Munkres , topológia , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1975), 537  p. ( ISBN  978-0-13-181629-9 , online olvasás )

Szerzői hitel

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia "  Path (topology)  " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">