Cayley-Klein mutató

A matematikában a Cayley-Klein metrika olyan metrika, amelyet a vetítési tér fix kvadrátjának , az abszolút kvadrikusnak a kiegészítésére határoznak meg a keresztarány alkalmazásával . Ezt a mutatót Arthur Cayley készítette 1859-ben; az építkezést Felix Klein fejezte be 1871 és 1873 között. A Cayley-Klein mérőszámok egységes keretet nyújtanak a különböző euklideszi és nem euklideszi geometriákhoz , minden esetben azonos konstrukcióval meghatározva a távolság fogalmát.

Történelmi

A Cayley-Klein-konstrukció alapját képező elképzelések között ott van Karl von Staudt által 1847-ben létrehozott " sugárok (be) algebra " , a geometria megközelítése, amely nem tartalmaz távolságokat vagy szögeket, és csak a harmonikus felosztás fogalmait használja. és keresztarány . 1853-ban, Edmond Laguerre kapott egy másik fontos eredménye (a) , azt mutatja, hogy a szög két vonal (az euklideszi geometria) lehet kiszámítani egy kettősviszony. Végül 1859-ben Arthur Cayley A távolság elméletéről cikkében megfogalmazta azokat a relációkat, amelyek kifejezik a számításoktól való távolságot (a projektív geometriában ) az általa a vizsgált geometria abszolútumaként definiált kvadrálishoz . Felix Klein 1871-ben és 1873-ban, majd egy sor műben vette fel von Staudt munkáját, eltávolította az euklideszi távolságra vonatkozó utolsó utalásokat, és Cayley elméletével kombinálva meghatározta az új mutatót egy kereszt logaritmusaként. -ratio, kiküszöbölve a kördefiníció kockázatát, és megmutatva, hogy a nem euklideszi geometriák, az euklideszi geometriához hasonlóan, ebből a mutatóból meghatározhatók.

A geometriája Cayley-Klein (elveit követve Erlangen programot ) a tanulmány az izometria csoport számára ez a mutató; bebizonyítjuk, hogy ez a projektív transzformációk alcsoportja, amely az abszolút kvadrikus globálisan invariánsat hagyja ; a kvadrikusok mindegyikének megválasztása megfelel a klasszikus geometriák egyikének ( euklideszi , hiperbolikus , elliptikus stb.).

Meghatározás

Mi rögzíti a másodrendű Q egy projektív tér E a területen a komplexek; A Q- t annak a geometriának az abszolút kvadrikusának nevezzük, amelyet meg akarunk határozni. Ha a és b két különálló pont E-ben , nem Q-ban , az ( a, b ) egyenes két másik p és q pontban metszik a Q- t . A Cayley - Klein d ( a , b ) távolság arányos a keresztarány ( a, b; p, q ) logaritmusával : ahol állandó. ${\ displaystyle d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}$ $VS$

Ha a keresztarány pozitív, akkor valós (ez megfelel egy hiperbolikus geometriának ; az 1/2 érték görbületet ad ); ha nem, akkor komplexet kell venni (az egyik akkor elliptikus geometria esetén ). $VS$ ${\ displaystyle K = -1}$ $VS$

Az algebrai számításokhoz (és egy modernebb ábrázolási forma alkalmazásával) az ember homogén koordinátákba helyezi magát , és másodfokú alakot rögzít ; jelöljük a társított bilináris formát , amelyet ebben az összefüggésben poláris formának nevezünk , és amelyet a . Abszolút quadric majd egyenletet (konkrétan , hogy egy koordináta pontot , azzal az esetben a sík és a tér, továbbá a mátrix szimmetrikus, mi ); akkor bebizonyítjuk, hogy a Cayley - Klein távolság a pontok között, és : ${\ displaystyle Q}$ $B$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ bal (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ jobb)}$ ${\ displaystyle Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $x$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ itt: {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in {1,2,3,4 \}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}$ $x$ $y$

{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}

; ezzel a jelöléssel .

{\ displaystyle B (x, y) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}

Az egyszerűség kedvéért arra következtettünk, hogy hiperbolikus esetben: ${\ displaystyle C = 1/2}$

{\ displaystyle d = \ operátornév {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

és elliptikus esetben (felvétel ): ${\ displaystyle C = i / 2}$

{\ displaystyle d = \ operátornév {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

Az abszolút kvadricum normál formái

Valójában az egyenlet által definiált bármelyik kvadrátot a (lineáris) változó változásával tehetjük fel a formában , ( Gauss-féle redukcióval ), az egyes típusok száma nem függ a változó változásától, a törvény törvénye szerint. Sylvester tehetetlensége . A szokásos euklideszi térben a következő osztályozást kapjuk (lásd az ábrákat a kvadrikus cikkben és a részletes cikkekben): ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ ${\ displaystyle Q (X) = \ sum \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ in {0,1, -1 \}}$ $\ epsilon _ {i}$

A kvadrikumok osztályozása I. Rendszeres kvadrikusok . 1 .. Üres felület.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

2 .. A gömbhöz topológiailag hasonló felületek.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Ellipszoid (nincs metszéspont a végtelen síkjával). b) Elliptikus paraboloid (a végtelen síkjának érintője). c) Két rétegű hiperboloid (a végtelen síkjával szeksztálva). 3 .. A Klein palackhoz topológiailag hasonló felületek .

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Egylapos hiperboloid (a végtelen síkjával szeksztálva). b) Hiperbolikus paraboloid (érintője a végtelen síkjának). II. Kúpok . 1 .. Üres "kúpok".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

a) A kúp a tetején redukálva van. b) Üres henger (a csúcs a síkban a végtelenben). 2 .. Rendes "kúpok".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Kúp b) Elliptikus henger (csúcs a síkban a végtelenben) c) Parabolikus henger (kettős vonal a végtelen síkban) d) hiperbolikus henger (két vonal a síkban a végtelenben) III. Tervek párjai . 1 .. Konjugált képzeletbeli tervek.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Metszéspont véges távolságban. b) Párhuzamos síkok. 2 .. Valódi tervek.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Metszéspont véges távolságban. b) Párhuzamos síkok. c) Véges távolságú sík és a végtelen síkja. IV. Dupla terv. 1 ..

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}

a) Dupla sík véges távolságban. b) A végtelen terv kétszer számít.

Az ezeket a formákat változatlanul hagyó projektív bijektív transzformációk (az összeütközések ) összefüggenek a Möbius-transzformációkkal . Ezek a formák a Cayley-Klein távolság egyszerű egyenleteihez vezetnek; az euklideszi sík tehát abszolút értékkel rendelkezik az izotrop vonalakkal (vagy ha valaki jobban szereti, a ciklikus pontokkal ). Hasonlóképpen, a hiperbolikus síkon van, mint az abszolút az egység kör , és a Cayley-Klein távolságot . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d = \ operátornév {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}$

Relativitás

A matematika történetéről szóló 1919-es és 1920-as előadásaiban (posztumusz 1926-ban jelentek meg) Klein ezt írta:

„Az eset (vagy ha három dimenzióban maradunk és homogén koordinátákat használunk ) a közelmúltban különös jelentőségre tett szert a relativitáselmélet révén . " ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$

Más szavakkal, a kúpos (vagy kvadrikus) abszolút hiperbolikus geometria, vagy megfelel az intervallumoknak vagy az idő-térnek , és az invariáns transzformációk abszolút kvadrikus elhagyása összhangban van a Lorentz-transzformációkkal . Hasonlóképpen, a hiperbolikus geometriában a kör vagy az egységgömb egyenletei megfelelnek a fizikai sebességeknek, vagy amelyeket relativitáselméletben korlátoz a c fénysebesség , ezért bármely v fizikai sebességvektor esetében a v / c aránynak meg kell maradnia az egységgömb belsejében, amely ennek a geometriának az abszolútumát képezi. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$

A hiperbolikus térre vonatkozó Cayley - Klein-metrika és a speciális relativitáselméletben Minkowski-tér viszonyának egyéb vonatkozásait Klein 1910-ben, valamint előadásainak 1928-as kiadásában kiemelte a nem euklideszi geometriáról .

CK-affin geometria

2008-ban Horst Martini és Margarita Spirova Clifford-tételek első körét (in) és az euklideszi geometria más tételeit általánosították Cayley-Klein metrikájához társított affin geometriával : az elképzelés az, hogy ugyanazt a konstrukciót alkalmazzuk az abszolút kúpok elfajulására ( egy vonal és a végtelen vonal szorzatából képződik); a komplexek euklideszi geometriában betöltött szerepe a komplexek felosztására épül fel.

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia „ Cayley - Klein metrika ” című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Klein & Rosemann (1928), p. 163
Klein & Rosemann (1928), p. 138
Cayley (1859), 82. o., 209–229
Klein & Rosemann (1928), p. 303
Pierpont (1930), p. 67ff
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
Klein & Rosemann (1928), pp. 163, 304
Russell (1898), 32. oldal
Campo & Papadopoulos (2014)
Ha ez az egyenes érintőleges Q-val , akkor p = q .
Klein & Rosemann (1928), p. 164
Klein & Rosemann (1928), p. 167ff
Veblen & Young (1918), p. 366
Veblen & Young (1918), p. 372
Klein & Rosemann (1928), p. 68; lásd még a 70., 72., 74., 85. és 92. oldal osztályozását.
Klein & Rosemann (1928), III. Fejezet
Klein & Rosemann (1928), pp. 132f
Klein & Rosemann (1928), pp. 185, 251
Klein / Ackerman (1926/1979), p. 138
Klein (1910)
Klein & Rosemann (1928), XI. Fejezet, 5. bek
Martini és Spirova (2008)

Bibliográfia

Elsődleges források

de) Karl von Staudt , Geometrie der Lage , Nürnberg F. Korn,1847( online olvasás )
Edmond Laguerre , „ Megjegyzés a gócok elméletéhez ”, New Annals of Mathics , vol. 12,1853, P. 57–66 ( online olvasás )
(en) Arthur Cayley , „ Hatodik memoár a kvartikumokról ” , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 149,1859, P. 61–90 ( DOI 10.1098 / rstl.1859.0004 , online olvasás )
(de) Felix Klein , „ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , vol. 4, n o 4,1871, P. 573–625 ( DOI 10.1007 / BF02100583 , online olvasás )
(de) Felix Klein, „ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , vol. 6, n o 21873, P. 112–145 ( DOI 10.1007 / BF01443189 , online olvasás )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 , Göttingen, Schilling, Fr.1893( online olvasás )
de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 , Göttingen, Schilling, Fr.1893( online olvasás )

Másodlagos források

de) Killing, W., Die nicht-euklidischen Raumformen , Lipcse, Teubner,1885( online olvasás )
(de) R. Fricke és F. Klein , Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Lipcse, Teubner,1897( online olvasás )
(en) Bertrand Russell (1898) Esszé a geometria alapjairól, amelyet 1956-ban adott ki újra a Dover Books
(en) Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra , VI. könyv 1. fejezet: A távolság elmélete, 347–70. o., különösen a 199. Cayley-féle távolságelmélet.
(de) Hausdorff, F., „ Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie ” , Leipziger Math.-Phys. Berichte , vol. 51,1899, P. 161–214 ( online olvasás )
(en) Duncan Sommerville (1910/11) "Cayley - Klein metrikák n- dimenziós térben", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28: 25–41.
(de) Klein, Felix, „ Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , vol. 19,1910, P. 533–552 ( ISBN 978-3-642-51898-0 , DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Újranyomás: Klein, Felix, Gesammelte mathematische Abhandlungen , vol. 1,1921, 533–552 p. ( DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Angol fordítás: David Delphenich: A Lorentz-csoport geometriai alapjairól
en) Veblen, O. és Young JW, Projektív geometria , Boston, Ginn,1918( online olvasás )
de) Liebmann, H., Nichteuklidische Geometrie , Berlin és Lipcse, Berlin W. de Gruyter,1923( online olvasás )
de) Klein, F. és Neugebauer, O., Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , Berlin, Springer,1926( online olvasás ); Angol fordítás: Matematika fejlődése a 19. században, írta: M. Ackerman, Math Sci Press
de) Klein, F., Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie , Berlin, Springer,1928( online olvasás )
(en) Pierpont, J., „ Nem euklideszi geometria, visszatekintés ” , Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 36, n o 21930, P. 66–76 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 )
en) JE Littlewood , Littlewood vegyesboltja , Cambridge University Press ,1986( 1 st szerk. 1953) ( ISBN 978-0-521-33058-9 , Math Értékelés 872 858 , olvasható online )
(en) Harvey Lipkin (1985) Metrikai geometria a Georgia Institute of Technology-tól
(en) Horst Struve és Rolf Struve , „ Projektív terek Cayley - Klein metrikákkal ” , Journal of Geometry , vol. 81, n o 1,2004, P. 155–167 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-004-1679-5 , Math Reviews 2134074 )
(en) Martini Horst, Spirova Margarita, „ Kör geometria affin Cayley-Klein síkokban ” , Periodica Mathematica Hungarica , vol. 57, n o 22008, P. 197-206 ( DOI 10.1007 / s10998-008-8197-5 )
(en) Horst Struve és Rolf Struve , „ Nem euklideszi geometriák: a Cayley - Klein megközelítés ” , Journal of Geometry , vol. 89, n o 1,2010, P. 151-170 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-010-0053-z , Math Reviews 2739193 )
en) A'Campo, N. és Papadopoulos, A., Sophus Lie és Felix Klein: Az Erlangen-program és hatása a matematikában és fizikában ,2014, 91–136 . ( ISBN 978-3-03719-148-4 , DOI 10,4171 / 148-1 / 5 , arXiv 1406,7309 ) , „A Klein úgynevezett nem-euklideszi geometria”
en) Frank Nielsen , Boris Muzellec és Richard Nock , az IEEE 2016. évi képfeldolgozási nemzetközi konferenciája (ICIP) ,2016, 241–245 . ( ISBN 978-1-4673-9961-6 , DOI 10.1109 / ICIP.2016.7532355 ) , "Osztályozás görbe mahalanobis metrikák keverékeivel"

Kiegészítések

(en) Jan Drösler (1979) "A multidimenzionális metrikus méretezés alapjai a Cayley-Klein geometriákban", British Journal of Mathematical and Statistics Psychology 32 (2); 185–211