Sylvester tehetetlenségi törvénye

A matematika , különösen a lineáris algebra , Sylvester törvénye tehetetlensége által megfogalmazott James Joseph Sylvester a1852, a valós másodfokú formák osztályozási tétele . A változók megfelelő megváltoztatásával bármely 2 fokú , valós együtthatóval és n változóval rendelkező homogén polinom négyzetek összegeként írható fel, előtte + vagy - jel (ezt az írást Gauss-redukciónak nevezzük ); a tehetetlenségi törvény szerint a + jelek száma és a - jelek száma nem függ az alkalmazott változó változásától.

Államok

Fogalommeghatározások . A tehetetlenségi index (vagy rövidebben az index) egy kvadratikus formában Q egy valós vektor teret V véges dimenzió n jelentése a maximális dimenziója altereinek F az V. olyan, hogy az összes . Q(v)<0{\ displaystyle Q (v) <0}v∈F∖{0}{\ displaystyle v \ in F \ setminus \ {0 \}}

Hagyja, q az index a kvadratikus alak Q , és legyen p lehet a maximális mérete altereinek G a V , mint hogy mindent , más szóval, hogy a korlátozás származó Q a G jelentése pozitív definit . Q(v)>0{\ displaystyle Q (v)> 0}v∈G∖{0}{\ displaystyle v \ a G \ setminus \ {0 \}}

A ( p , q ) párt Q aláírásnak nevezzük .

A pozitív határozott forma indexe nulla; az aláírása ( n , 0). A negatív határozott forma indexe (azaz olyan, hogy –Q pozitív határozott) egyenlő n-vel  ; az aláírása (0, n ).

Sylvester tehetetlenségi törvénye  -  Legyen Q az aláírás valódi másodfokú formája ( p , q ). Bármilyen ortogonális alapján a Q van (eén){\ displaystyle (e_ {i})}

o=vs.nál nélrd({én∣Q(eén)>0}) és q=vs.nál nélrd({én∣Q(eén)<0}){\ displaystyle p = \ mathrm {kártya} (\ {i \ Q közepe (e_ {i})> 0 \}) {\ text {et}} q = \ mathrm {kártya} (\ {i \ Q közepe ( e_ {i}) <0 \})}.

Q rangja egyenlő p + q  ; két másodfokú forma akkor és akkor egyenértékű, ha ugyanaz az aláírásuk van.

Demonstráció

Legyen és legyen két merőleges alap. Jelöljük átmenetileg r-vel és r '-vel (ill. S és s' ) az egyes bázisok vektorainak számát, amelyekre Q szigorúan pozitív (ill. Szigorúan negatív). Először megmutatjuk, hogy r = r ' és s = s' . (e1,...,enem){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}(e1′,...,enem′){\ displaystyle (e '_ {1}, \ ldots, e' _ {n})}

Jelöljük és . én={én∣Q(eén)>0}{\ displaystyle I = \ {{i \ Q közepe (e_ {i})> 0 \}}}K={j∣Q(ej′)⩽0}{\ displaystyle K = \ {{j \ Q közepe (e '_ {j}) \ leqslant 0 \}}}

Ezután a család alkotja vektorok és az ingyenes . Valóban, ha a vektor ellenőrzi . Az I és K meghatározása mindenneműségét magában foglalja . Tehát , ezúttal a semmissége . A függetlenség kapott arra utal , akár így . Szimmetria alapján r = r ' . Ugyanez az érv mutatja, hogy s = s ' . (eén)én∈én{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ I}} -ban(ej′)j∈K{\ displaystyle (e '_ {j}) _ {j \ K} -ben}∑én∈énxén.eén+∑j∈Kyj.ej′=0V{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} x_ {i} .e_ {i} + \ sum _ {j \ in K} y_ {j} .e '_ {j} = 0_ {V}}z=∑én∈énxéneén=-∑j∈Kyjej′{\ displaystyle z = \ sum _ {i \ I} x_ {i} e_ {i} = - \ sum _ {j \ -ban K} y_ {j} e '_ {j}}Q(z)=∑én∈énxén2Q(eén)=∑j∈Kyj2Q(ej′){\ displaystyle Q (z) = \ sum _ {i \ in I} x_ {i} ^ {2} Q (e_ {i}) = \ sum _ {j \ in K} y_ {j} ^ {2} Q (e '_ {j})}xén,én∈én{\ displaystyle x_ {i}, i \ I-ben}∑j∈Kyj.ej′=0V{\ displaystyle \ sum _ {j \ in K} y_ {j} .e '_ {j} = 0_ {V}}yj,j∈K{\ displaystyle y_ {j}, j \ K-ben}vs.nál nélrdén+vs.nál nélrdK⩽nem{\ displaystyle \ mathrm {kártya} I + \ mathrm {kártya} K \ leqslant n}r+(nem-r′)⩽nem{\ displaystyle r + (n-r ') \ leqslant n}r⩽r′{\ displaystyle r \ leqslant r '}

Legyen F most a maximális q dimenzió egyik altere, amelyre Q negatív, és annak ortogonális altere . Mint minden vektor v az megfelel , van . Mint másrészt , F⊥{\ displaystyle F ^ {\ perp}}F∩F⊥{\ displaystyle F \ cap F ^ {\ perp}}Q(v)=0{\ displaystyle Q (v) = 0}F∩F⊥=0{\ displaystyle F \ cap F ^ {\ perp} = 0}dénmF+dénmF⊥≥nem{\ displaystyle dimF + dimF ^ {\ perp} \ geq n}

nekünk van V=F⨁F⊥(közvetlen összeg){\ displaystyle V = F \ bigoplus F ^ {\ perp} \ quad {\ text {(közvetlen összeg)}}}.

Tehát találhatunk egy ortogonális alapot , amelynek q első vektorai alkotják az F és az nq alapját egy alap ortogonális F nyomán . De az i> q  : ha a tér , a forma Q negatív határozott még, ellentétben azzal, amit a maximális mérete az F . A bizonyítás első része szerint q = s  ; hasonlóképpen p = r . (e1,...,enem){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}Q(eén)≥0{\ displaystyle Q (e_ {i}) \ geq 0}F⨁Reén{\ displaystyle F \ bigoplus \ mathbb {R} e_ {i}}

Ortogonális alapon tehát Q- t írunk -∑én=1qvs.énxén2+∑én=q+1q+ovs.énxén2{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} c_ {i} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} c_ {i} x_ {i} ^ {2}}

ahol a koordináták vannak ennek az alapnak a vonatkozásában, a szigorúan pozitív realok. Az ortogonális bázisa kapott helyett a Q írásbeli xén{\ displaystyle x_ {i}}vs.én{\ displaystyle c_ {i}}eén(1≤én≤o+q){\ displaystyle e_ {i} \, (1 \ leq i \ leq p + q)}1vs.éneén{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {c_ {i}}}} e_ {i}}

-∑én=1qxén2+∑én=q+1q+oxén2{\ displaystyle - \ összeg _ {i = 1} ^ {q} x_ {i} ^ {2} + \ összeg _ {i = q + 1} ^ {q + p} x_ {i} ^ {2}},

ami azt mutatja, hogy ugyanazon aláírás két formája egyenértékű. (A feltétel szükséges: ha , ahol invertálható lineáris, akkor a Q ' ortogonális bázis képének par értéke Q-ra merőleges . ) Q′=Q∘ϕ{\ displaystyle Q ^ {\ prime} = Q \ circ \ phi}ϕ:V→V{\ displaystyle \ phi: V \ jobbra nyíl V}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Hozzászólások

• A bizonyíték kiesése az a tény, hogy a Gauss-redukció , bármennyire is megy, ugyanannyi "pozitív négyzetet" és "negatív négyzetet" ad.
• Ha az ortogonális vektorokat megszorozzuk a megfelelő állandókkal, akkor feltételezhetjük, hogy az esetre redukáljuk, ha ilyen igazolja . Ilyen alapon Q-t írunkeén{\ displaystyle e_ {i}}Q(eén)≠0{\ displaystyle Q (e_ {i}) \ not = 0}Q(eén)=±1{\ displaystyle Q (e_ {i}) = \ pm 1}-∑én=1qxén2+∑én=q+1q+oxén2.{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} x_ {i} ^ {2}. }
• A mátrixokat tekintve egyenértékű állításunk van: ha A a Q mátrixa egy bázisban , akkor létezik egy invertálható P mátrix , amelyPTNÁL NÉLP=(-énq000éno0000).{\ displaystyle P ^ {T} AP = {\ begin {pmatrix} -I_ {q} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} .}Más szavakkal, a forma mátrixa egybevág egy átlós mátrixszal, amelynek átlóján csak 0, 1 és –1 van; a kongruencia osztályt a p és q egész számok jellemzik .
• Azt is mondhatjuk, hogy két valós másodfokú forma akkor egyenértékű, ha azonos rangúak és azonos tehetetlenségi indexük van.
• Van egy ortogonális bontásV=F⨁G⨁rnál néld(Q){\ displaystyle V = F \ bigoplus G \ bigoplus rad (Q)}vagy
  • Q negatív határozott F-en (ami q dimenziójú ) és pozitív határozott G-n (ami p dimenzió ).
  • Ez a bomlás nem egyedülálló. F (vagy G ) megválasztása határozza meg .
• Ez a tétel azt mutatja, hogy a teljes izotrópiájára index a Q egyenlő inf ( p , q ) + n - r .
  Két azonos rangú és azonos izotróp indexű valós másodfokú forma egyenértékű a legközelebbi előjellel.
• Figyelembe véve a dimenzió nyilvánvaló korlátozásait , léteznek másodfokú formák ekvivalenciaosztályai az n dimenzió valódi vektorterén .(0≤q≤r≤nem){\ displaystyle (0 \ leq q \ leq r \ leq n)}(nem+1)(nem+2)/2{\ displaystyle (n + 1) (n + 2) / 2}

Példák

• A másodfokú formaQ(x,y,z,t)=vs.2t2-x2-y2-z2,{\ displaystyle Q (x, y, z, t) = c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}a speciális relativitáselméletben Minkowski-területtel társul, rangja 4 és aláírása (1, 3).
• Mivel 4(xy+yz+zt+xt)=(x+y+z+t)2-(x+z-y-t)2,{\ displaystyle 4 (xy + yz + zt + xt) = (x + y + z + t) ^ {2} - (x + zyt) ^ {2},}a Q ( x , y , z , t ) = 4 ( xy + yz + zt + xt ) forma 2. rangú, és aláírásra (1, 1) és az 1. indexre vonatkozik.

Vegyes megjegyzések

Kapcsolat a sajátértékekkel

Lehet közvetlenül határozza meg a aláírása formájában Q a sajátértékei a mátrix ebben a formában , M . Valójában M átlósítható (a spektrális tétel szerint ), és ez olyan alapon, amely kielégíti az előző tétel feltételeit; arra következtetünk, hogy az M , és ezért a Q rangja nem nulla sajátértékeinek száma (sokaságukkal számolva), és hogy q az M szigorúan negatív sajátértékeinek száma .

A terminológiáról

Az index és az aláírás tekintetében számos terminológia létezik együtt a tudományos közösségben. Erre emlékeztet az index jegyzete. Egyes szerzők az aláírást relatív egész pq-nek hívják (a maximális "pozitív" és "negatív" altér közötti méretbeli különbség).

Alkalmazások

Differenciálszámítás

Legyen f egy C 2 függvény over n felett , amelynek differenciálja 0- nál eltűnik . Tegyük fel, hogy a hesseni mátrix által meghatározott másodfokú forma nem degenerált, e indexével . Ekkor létezik egy e dimenziójú V vektor altér, így az f- től V- ig történő korlátozás szigorú helyi maximumot enged meg 0-nál . Ezenkívül e egy ilyen tulajdonsággal rendelkező altér maximális dimenziója.

Hasonlóképpen, van egy további W a V úgy, hogy a korlátozás a F , hogy W elismeri szigorú lokális minimuma 0 .

Nagyjából szólva az index itt kritikus ponton méri a nem-minimalitást .

Ezek a tulajdonságok a differenciálcsatornákon maradnak. Ezek az alapja Morse elméletének .

Geometria

Legyen Q másodfokú alak a ℝ 3-on . A Q ( x , y , z ) = 1 egyenlet felülete homeomorf (sőt diffeomorf ) a következőkre:

• az S 2 gömb, ha Q pozitív határozott.
• S 1 × ℝ, ha Q aláírással rendelkezik (2, 1) (egylapos hiperboloid ).
• S 0 × ℝ 2 = {–1, 1} × ℝ 2, ha Q aláírással rendelkezik (1, 2) (kétrétegű hiperboloid).

Az abrosz azt jelöli, amit ma összekapcsolt komponensnek nevezünk .

Általánosabban véve, ha Q is n másodfokú alakja aláírással ( p , q ), akkor a Q ( x ) = 1 egyenlet hiperfelülete homeomorf (sőt diffeomorf) S p - 1 × ℝ n - p .

Példa . A valós mátrixok (2,2) vektorterén a determináns az aláírás kvadratikus formája (2,2). Ezért az SL (2, ℝ) lineáris speciális csoport homeomorf az S 1 × ℝ 2 -vel szemben

Megjegyzések és hivatkozások

1. Sylvester 1852 .
2. J. Lelong-Ferrand és J.-M. Arnaudiès, Matematika, 1. kötet: Algebra, 2 e ed, Párizs, Dunod, 1974, p. 373.
3. Jean Fresnel , kvadratikus, euklideszi, hermetikus terek , Párizs, Hermann ,1999, 320  p. ( ISBN  2-7056-1445-1 ) , p.  63.
4. A másodfokú alakok elemi tulajdonságával .
5. Lásd még a művészetet. 348E of Encyclopedic Dictionary of Mathematics , szerk. K. Itô, vol. 3, Cambridge és London: MIT Press, 1987.
6. (en) Serge Lang , algebra , Reading, Addison-Wesley ,1977, P.  358-366.

Lásd is

Bibliográfia

• Marcel Berger , Geometria [ a kiadások részlete ], Nathan, Párizs, 1990, 2. kötet, 13.4.7
• Jean Fresnel , másodfokú, euklideszi, hermetikus , Párizs, Hermann ,1999, 320  p. ( ISBN  2-7056-1445-1 )
• Guy Auliac, Jean Delcourt, Rémy Goblot, Matematika: Algebra és geometria , Gyűjteményobjektum-licenc, EdiScience, Dunod, 2005 ( ISBN  2 10 048335 8 )
• [Sylvester 1852] (en) JJ Sylvester , „  A tétel bemutatása, miszerint minden homogén kvadratikus polinom valós ortogonális helyettesítésekkel redukálható pozitív és negatív négyzetek összegének formájába  ” , Philos. Mag. , 4 -én -sorozat, vol.  4, n o  23,1852, n o  XIX , o.  138-142 ( OCLC  7317544727 , DOI  10.1080 / 14786445208647087 ), újranyomtatás ban ben :
  • [Baker és Sylvester 1904] (en) HF Baker (szerk., Pref. És annot.) És JJ Sylvester , James Joseph Sylvester , t.  Én st  :1837-1853, Cambridge, CUP , hors coll. ,1904. ápr( repr. február 2012), 1 st  ed. , 1  köt. , XII -650  p. , ábra. és pl. , In-4 o (17 × 24,4  cm ) ( ISBN  978-1-107-65032-9 , EAN  9781107650329 , OCLC  459.169.152 , nyilatkozat BNF n o  FRBNF31425191 , SUDOC  019.470.991 , online bemutatót , olvasható online ) , nem o  47, p .  378-381.

Kapcsolódó cikkek

• Pozitív határozott mátrix
• Passage mátrix
• Sylvester tételei 
• Aláírás (topológia  )

Külső hivatkozás

Sylvester tehetetlenségi törvénye a bibmath.net oldalon