Gauss redukció
A algebra , Gauss-csökkentés egy algoritmust , amely lehetővé teszi, hogy írjon semmilyen kvadratikus alak , mint egy lineáris kombinációja négyzetösszege lineárisan független lineáris formák (a kvadratikus alak egy homogén polinom mértéke 2 tetszőleges számú változót ; lineáris formában egy lineáris kombinációja ezen változók közül).
Az alkalmazott módszer közel áll a másodfokú egyenlet kanonikus alakjához . Ezt az algoritmust Carl Friedrich Gauss matematikus tiszteletére nevezték el .
Két változó esete
Is
q(x,y)=nál nélx2+bxy+vs.y2{\ displaystyle q (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}
egy ilyen polinom, feltételezve, hogy nem azonos nulla. Ha az együttható egy nem nulla, akkor folytassa a befejezése a téren :
q(x,y)=nál nél(x2+bnál nélxy)+vs.y2=nál nél(x+b2nál nély)2+(4nál nélvs.-b24nál nél)y2{\ displaystyle q (x, y) = a \ bal (x ^ {2} + {\ tfrac {b} {a}} xy \ jobb) + cy ^ {2} = a \ bal (x + {\ tfrac {b} {2a}} y \ jobb) ^ {2} + \ bal ({\ frac {4ac-b ^ {2}} {4a}} \ jobb) y ^ {2}}
Ha a értéke nulla, és c értéke nem nulla, ugyanúgy járunk el c-vel . Ha a és c egyaránt nulla, akkor ezt észrevesszük
bxy=b4((x+y)2-(x-y)2).{\ displaystyle bxy = {\ tfrac {b} {4}} \ balra ((x + y) ^ {2} - (xy) ^ {2} \ jobbra).}
Általános eset
Fogjuk mutatni az erős indukcióval n , hogy minden kvadratikus alak q a n változók, léteznek n lineáris kombinációi l i a változók (más szóval n lineáris formák) lineárisan független és n számok c i úgy, hogy
q=∑én=1nemvs.énlén2{\ displaystyle q = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}}![{\ displaystyle q = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd12b7b23482a1c751fff047fdd9353bd868ae8)
.
Ha n = 0 , nincs semmi bizonyíték.
Tegyük fel, hogy n > 0 . Ha q nulla, akkor c i = 0 egyezik , például (pl) l i ( x ) = x i . Tehát tegyük fel, hogy q nem nulla, és írja be a következő formába:
q(x1,...,xnem)=∑én≤nemnál nélénénxén2+2∑1≤én<j≤nemnál nélénjxénxj{\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i \ leq n} a_ {ii} x_ {i} ^ {2} +2 \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}![{\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i \ leq n} a_ {ii} x_ {i} ^ {2} +2 \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08559b7f3f655c58e3e5bab81b043093755b6162)
.
Két eset van.
1) A négyzet tagok egyik együtthatója nem nulla.
nál nélénén{\ displaystyle a_ {ii}}![a _ {{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecac28d5c61c4a592a926295db6ad1d87f76abbb)
Feltételezhetjük, még ha ez az alapvektorok permutálását is jelenti . Külön írjuk a feltételeket, ahol előfordul:
nál nél11.≠0{\ displaystyle a_ {11} \ neq 0}
x1{\ displaystyle x_ {1}}![x_ {1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)
q(x)=nál nél11.x12+2∑én=2nemnál nél1énx1xén+∑2≤én,j≤nemnál nélénjxénxj{\ displaystyle q (x) = a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ összeg _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} + \ összeg _ {2 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}![{\ displaystyle q (x) = a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ összeg _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} + \ összeg _ {2 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a783f0bd657fd9be97fdbbadae220af15bcfb05)
.
Ezeket kanonikus formában írjuk:
nál nél11.x12+2∑én=2nemnál nél1énx1xén=nál nél11.(x1+∑én=2nemnál nél1énnál nél11.xén)2-1nál nél11.(∑én=2nemnál nél1énxén)2{\ displaystyle a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} = a_ {11} \ bal (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {a_ {11}}} \ balra (\ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ jobbra) ^ {2}}![{\ displaystyle a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} = a_ {11} \ bal (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {a_ {11}}} \ balra (\ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ jobbra) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725fd0dee00a7b293ad8cc652e58f64d73f8d3a3)
.
Így megkapjuk
q(x)=nál nél11.(x1+∑én=2nemnál nél1énnál nél11.xén)2+q′(x)=vs.1l12(x)+q′(x){\ displaystyle q (x) = a_ {11} \ bal (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ { i} \ right) ^ {2} + q ^ {\ prime} (x) = c_ {1} l_ {1} ^ {2} (x) + q ^ {\ prime} (x)}![{\ displaystyle q (x) = a_ {11} \ bal (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ { i} \ right) ^ {2} + q ^ {\ prime} (x) = c_ {1} l_ {1} ^ {2} (x) + q ^ {\ prime} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d99a1912982bf23e2ae31bac211028d4551131)
,
vagy
-
vs.1=nál nél11.{\ displaystyle c_ {1} = a_ {11}}
és ;l1(x)=x1+∑én=2nemnál nél1énnál nél11.xén{\ displaystyle l_ {1} (x) = x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i}}![{\ displaystyle l_ {1} (x) = x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cd9f445ee48736be5b410b05e1b9361a9b7e3c)
-
q′{\ displaystyle q ^ {\ prime}}
egy homogén polinom, amelynek fokozata 2 .x2,...xnem{\ displaystyle x_ {2}, \ ldots x_ {n}}![{\ displaystyle x_ {2}, \ ldots x_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3e02c10e6da8216806799ffbdc61cb2fdfba06)
Az indukciós hipotézis azt mondja nekünk
q′=∑én=2nemvs.énlén2{\ displaystyle q ^ {\ prime} = \ sum _ {i = 2} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}}![{\ displaystyle q ^ {\ prime} = \ sum _ {i = 2} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b8544ff1af832740f5c5a21f516077219a955e)
,
hol vannak lineáris kombinációi , függetlenek. A koordináta nem jelenik meg írásukban, és a . Ennek eredményeként a formák még mindig függetlenek, ezért az eredmény.
l2,...,lnem{\ displaystyle l_ {2}, \ dots, l_ {n}}
x2,...,xnem{\ displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}
x1{\ displaystyle x_ {1}}
l1{\ displaystyle l_ {1}}
(lén)1≤én≤nem{\ displaystyle (l_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}![{\ displaystyle (l_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9eb7c685e375030843919737be181493589133)
2) Mindegyik nulla.
nál nélénén{\ displaystyle a_ {ii}}![a _ {{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecac28d5c61c4a592a926295db6ad1d87f76abbb)
Mivel feltételezzük, hogy q nem nulla, léteznek olyan i és j egész számok , amelyek . Mint az első esetben, feltételezhetjük, hogy az . Mi írunk
nál nélénj≠0{\ displaystyle a_ {ij} \ not = 0}
nál nél12.{\ displaystyle a_ {12}}
q(x)=2nál nél12.x1x2+2x1(∑én=3nemnál nél1énxén)+2x2(∑én=3nemnál nél2énxén)+∑3≤én,j≤nemnál nélénjxénxj{\ displaystyle q (x) = 2a_ {12} x_ {1} x_ {2} + 2x_ {1} \ balra (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ jobbra ) + 2x_ {2} \ balra (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ jobbra) + \ sum _ {3 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij } x_ {i} x_ {j}}
.
A vagy a kifejezések összege szintén meg van írva
x1{\ displaystyle x_ {1}}
x2{\ displaystyle x_ {2}}
2(nál nél12.x1+∑én=3nemnál nél2énxén)(x2+1nál nél12.∑én=3nemnál nél1énxén)-2nál nél12.(∑én=3nemnál nél2énxén)(∑én=3nemnál nél1énxén){\ displaystyle 2 \ bal (a_ {12} x_ {1} + \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ jobb) \ bal (x_ {2} + {\ frac {1} {a_ {12}}} \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ jobbra) - {\ frac {2} {a_ {12}}} \ balra ( \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ jobbra) \ balra (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ jobbra)}
.
Látjuk, hogy ez a formája
q(x){\ displaystyle q (x)}
2l1(x)l2(x)+q′(x){\ displaystyle 2l_ {1} (x) l_ {2} (x) + q ^ {\ prime} (x)}
,
ahol csak azon múlik . Következtetésünkként az indukciós hipotézist alkalmazzuk és megjegyezzük . A formák függetlenségét mutatják, mint az első esetben.
q′{\ displaystyle q ^ {\ prime}}
x3,...xnem{\ displaystyle x_ {3}, \ ldots x_ {n}}
q′{\ displaystyle q ^ {\ prime}}
4l1l2=(l1+l2)2-(l1-l2)2{\ displaystyle 4l_ {1} l_ {2} = (l_ {1} + l_ {2}) ^ {2} - (l_ {1} -l_ {2}) ^ {2}}
lén{\ displaystyle l_ {i}}![l_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ba35055d00bcaa522bca9247c8857730998759)
Példák
- Isq(x)=x12+x22+x32-2x1x2-2x2x3-2x3x1.{\ displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -2x_ {1} x_ {2} -2x_ {2} x_ { 3} -2x_ {3} x_ {1}.}
Szóval .q(x)=(x1-x2-x3)2-4x2x3=(x1-x2-x3)2-(x2+x3)2+(x2-x3)2{\ displaystyle \ quad q (x) = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} -4x_ {2} x_ {3} = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} - (x_ {2} + x_ {3}) ^ {2} + (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2}}![{\ displaystyle \ quad q (x) = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} -4x_ {2} x_ {3} = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} - (x_ {2} + x_ {3}) ^ {2} + (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cfdf5174b31da1e0b4062e5a6e878083ec3e67)
- Egy másik példa :q(x)=x1x2+x2x3+x1x3.{\ displaystyle q (x) = x_ {1} x_ {2} + x_ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {3}.}
Akkor megvanq(x)=(x1+x3)(x2+x3)-x32=14(x1+x2+2x3)2-14(x1-x2)2-x32.{\ displaystyle q (x) = (x_ {1} + x_ {3}) (x_ {2} + x_ {3}) - x_ {3} ^ {2} = {\ frac {1} {4}} (x_ {1} + x_ {2} + 2x_ {3}) ^ {2} - {\ frac {1} {4}} (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} -x_ {3 } ^ {2}.}
Megjegyzések
- Ezek a számítások bármely olyan mezőre érvényesek , amelynek jellemzője nem 2.
- A négyzetek száma megegyezik a vizsgált másodfokú forma rangjával .
- Ha az együtthatók valósak, akkor a negatív négyzetekhez hasonlóan a pozitív négyzetek száma sem függ az alkalmazott módszertől ( Sylvester tehetetlenségi törvénye ).
Referencia
Marcel Berger , Geometria [ a kiadások részlete ], repülés. 2, Nathan, 1990., 13.4.8
Kapcsolódó cikk
Kongruens mátrixok
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">