Az abszolút geometria (néha semleges geometriának hívják ) az euklideszi geometria axiómarendszerén alapuló geometria , amely nélkülözte a párhuzamok axiómáját vagy annak negációját. Az eredményekből áll, amelyek mind az euklideszi geometriában, mind a hiperbolikus geometriában igazak , néha gyengült formában vannak megadva a hagyományos euklideszi mondathoz képest.
Az abszolút geometriát Bolyai János vezette be (ezen a néven) 1832-ben; a semleges geometria kifejezést (amely a párhuzamok axiómájához kapcsolódik) olykor előnyben részesítették vele szemben, annak elkerülése érdekében, hogy bármilyen más geometria következzen belőle. Történelmileg az abszolút geometria elvégzése csak az Euklidesz első négy posztulátumának használatát jelentette , de ezt a halmazt számos más szerző is kiegészítette, megszerezve például Hilbert axiómarendszerét ; ez az utolsó, a párhuzamok axiómájától megfosztott rendszerre utal ez a geometria jelenleg.
Azt gondolhatnánk, hogy megfosztották az axiómának a párhuzamok, az abszolút geometria formák meglehetősen gyenge rendszert, de ez semmiképpen sem a helyzet: nagyon sok nem nyilvánvaló tulajdonságai euklideszi geometria is igaz, például az a tény, hogy a bisectors enteriőrje egy a háromszög metszi az e háromszögbe beírt kör egy pontját, középpontját , vagy akkor is igaz, ha az állítást többé-kevésbé elszegényíti: a háromszög szögeinek összege legfeljebb 180 °; ha egy háromszög két merőleges felezője metszik egymást, akkor a három merőleges felező egybeesik a körülírt kör közepén ; hasonlóképpen, ha két magasság metszi egymást, a három magasság egyidejű az ortocentrumban . Ráadásul a párhuzamok axiómája nélkül is könnyű kimutatni, hogy az azonos harmadra merőleges két egyenes nem találkozik, és ezért mindig léteznek párhuzamok (ami azt bizonyítja, hogy az elliptikus geometria nem abszolút geometria).
A tételek abszolút geometria azok, amelyek igaz mind az euklideszi geometria és a hiperbolikus geometria . Másrészt ebben a formában nem kompatibilis az elliptikus geometriával , ahol bármely két egyenes egyidejű; néha módosításokat végeztek ezen axiómarendszeren, hogy mindhárom esetet lefedő geometriát kapjanak.
Ezzel szemben a sorrend (in) geometriája gyengébb, mint az abszolút geometria, és emellett az affin geometria is , amely párhuzamos axiómát ismer be, az Euclid axiómákat azonban nem a távolságok és szögek vonatkozásában.
A terv, amely kielégíti az axiómák Hilbert a hatását , a rend és a kongruencia nevezzük Hilbert tervet ; A Hilbert-tervek az abszolút geometria modelljei.