Algebrai szerkezet
A matematikában , pontosabban az általános algebrában és az univerzális algebrában , az algebrai szerkezet egy speciális típusú szerkezet . Sajátossága a struktúra más típusaihoz képest az, hogy egy vagy több összetételi törvény kombinált halmazából képződik , adott esetben egy sorrenddel vagy topológiával kiegészítve , az egész bizonyos számú axiómát kielégítve .
Az algebra általában az algebrai struktúrákat egyenként definiálja, és külön vizsgálja azok tulajdonságait.
Az univerzális algebrában az algebrai struktúrákat globálisan tanulmányozzák, hogy egységes modellt kapjanak, ezért az "univerzális" jelző. Például mi a közös a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és a testelméletben?
A cikk célja a közös algebrai struktúrák listájának összeállítása és osztályozása.
Tiszta algebrai struktúrák
Ezek a struktúrák csak az összetétel törvényeit tartalmazzák.
Alapszerkezetek
Csak belső összetételi törvényeket tartalmaznak. Különösen megemlíthetjük a csoport , a gyűrű és a kommutatív térszerkezeteket .
Egy belső törvény szerkezete
Ezek a legegyszerűbb algebrai struktúrák.
-
Magma : belső törvényekkel ellátott készlet. Magmák néha groupoids , de ez a kifejezés groupoid van egy másik értelme a kategóriában elmélet .
-
Quasigroup : olyan magma , hogy a magma minden eleme egyszer és csak egyszer jelenjen meg törvényének táblázata minden sorában és oszlopában , ami egyenértékű azzal, hogy azt mondják, hogy minden elem szabályos (vagyis egyszerűsíthető) jobbra és balra.
(Így a véges kvazicsoport törvényének táblázata
latin négyzet ).
Annelids
Ezeknek a struktúráknak két belső összetételi törvényük van. Általános gyakorlat, hogy az első törvényt additívnak , a másodikat multiplikatívnak minősítik . Más szóval, az első törvény az úgynevezett kívül (gyakran megjegyezte ⊕, hogy megkülönböztessék a szokásos felül), és a második az úgynevezett szorzás vagy termék (gyakran megjegyezte ⊗). A második törvény kétoldalúan disztributív (vagyis balra és jobbra) az első törvény vonatkozásában.
-
Nem asszociatív gyűrű (EN) : egy sor látva egy Abel-csoport szerkezete a kívül (amely tehát asszociatív és kommutatív), a szorzás ellenőrzése a priori csak a disztributivitás a hozzáadásával.
-
Álgyűrű : nem asszociatív gyűrű, amelynek szorzása szintén asszociatív (a szorzáson a fél csoport felépítése ).
-
Félgyűrű : két monoid szerkezettel ellátott készlet, ahol a szorzás az összeadáshoz képest disztributív, és ahol az összeadás semleges eleme abszorbeálja a szorzást. A félgyűrűt "félgyűrűnek" is nevezik.
-
Dioid : félgyűrű, amelybenaz összeadással meghatározott előrendelés egy rend reláció .
-
Gyűrű (egységes): álgyűrű, amelynek multiplikatív törvénye szintén egységes (ezért a szorzás monoidja). Még mindig egy félgyűrű, ahol az összeadás abeli csoportstruktúrát hoz létre. Egyes szerzők "gyűrűnek" nevezik azt, amit fent "álgyűrűnek" neveznek, és "egységgyűrűnek" nevezik azt, amit itt "gyűrűnek" neveznek.
-
Kommutatív gyűrű: olyan gyűrű, amelynek szorzása szintén kommutatív.
-
A gyűrű integrálódik : nem nulla kommutatív gyűrű , nulla osztó nélkül, vagyis a gyűrű bármely, nullatól eltérő eleme szabályos a szorzáshoz.
-
Mező : olyan gyűrű, ahol az összeadás semleges eleme nem a szorzásé, és ahol bármely nem nulla elem multiplikatív inverzsel rendelkezik. Az angol befolyás miatt (lásd alább) egy mezőt gyakran implicit módon kommutatívnak tekintenek, míg a francia hagyományban nem feltétlenül. A kétértelműség elkerülése érdekében jobb megadni:
- " Kommutatív mező " egy hatékonyan kommutatív mezőhöz,
- „ Bal test ” egy nem kommutatív „elvileg” mezőhöz,
- „Kommutatív vagy nem kommutatív test”, vagy „önkényes test”, nem feltétlenül kommutatív test számára.
Struktúrák külső operátorokkal
Ezek a struktúrák algebrai vagy geometriai szempontból tekinthetők .
Algebra szempontból a külső szerkezet olyan készlet , amely az alapszerkezetre vonatkozó külső kompozíciótörvénnyel és esetleg egy vagy több belső kompozíciótörvénnyel rendelkezik .
Geometriailag, ez egy sor E amelyen jár egy set-üzemeltető S , más néven egy sor gazdasági vagy skalár . Ehhez az E halmaz egy művelettel van ellátva , vagyis egy alkalmazás S- től E E-ig (transzformációk halmaza E-től , azaz térképek E- től E-ig ).
A cselekvések és a külső törvények közötti megfelelés bijektív ; ezért nevezik a külső törvényeket gyakran cselekvési törvényeknek .
Homogén terek
Ezeknek a struktúráknak csak egy törvényük van, amely külső, például:
-
Homogén tér : olyan halmaz, amelyen a G csoport átmenetileg működik ,
Moduloidok
Olyan struktúrák, amelyek mind belső összetételi, mind külső összetételi törvényekkel rendelkeznek.
-
Csoport operátorokkal (egy halmazban) : olyan csoport , amelynek külső törvénye van az operátorokról, disztribúciós a csoport jogának megfelelően
-
Modulus egy gyűrűn , megkülönböztetjük a bal és a jobb modult egy nem kommutatív gyűrűn.
-
Vektortér (egy mezőn) :a K mező modulusa , meg kell különböztetnünk a bal és a jobb oldali vektortereket is, ha a mező nem kommutatív.
-
Affin tér (testen) :a K mező fölötti vektortér homogén területe .
Algebras
Két belső és egy külső törvénnyel rendelkező struktúrák.
-
Algebra (kommutatív gyűrűn): modulus (vagy vektortér), amelyet a bilináris belső összetételi törvény mellett adnak meg.
-
Asszociatív algebra : olyan algebra (kommutatív gyűrűn), amelynek szorzása asszociatív.
-
Algebra egy mező fölött : egy algebra egy kommutatív gyűrű fölött, amely egy mező.
-
Asszociatív algebra egy mező fölött : mind asszociatív algebra, mind egy mező fölötti algebra.
-
Egységalgebra : algebra, amelynek szorzása semleges elemmel történik.
-
Kommutatív algebra : olyan algebra, amelynek szorzata kommutatív.
-
Lie algebra : az általában nem asszociatív algebra speciális típusa, fontos a Lie csoportok tanulmányozásában.
-
Jordan algebra : az általában nem asszociatív algebra speciális típusa.
Bialgebras
Olyan szerkezetek, amelyek két belső törvényt, egy külső törvényt és a két belső törvény egyikének "kettős" törvényét tartalmazzák.
Rendezett algebrai struktúrák
Rendezett csoportok és rendezett gyűrűk
Itt érdekelnek a rend relációval kompatibilis algebrai struktúrák.
- Egy rendezett monoid egy kommutatív monoid felruházni annak érdekében kapcsolatban lenniük az együttműködésre, azaz például a azt jelenti, mindent . Az előrendelt monoidot ugyanúgy definiáljuk, ha a rendelési relációt egy előrendelt relációval helyettesítjük .nál nél≤b{\ displaystyle a \ leq b}
nál nélvs.≤bvs.{\ displaystyle ac \ leq bc}
nál nél,b,vs.{\ displaystyle a, b, c}![ABC](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d)
- A rendezett csoport egy rendezett monoid, amely kommutatív csoport. Az előrendelt csoport egy előre megrendelt monoid, amely egy csoport.
- A rendezett gyűrű egy olyan kommutatív gyűrű, amely rendezési relációval van ellátva, és amelynek hozzáadásához rendezett csoportot képez, és amelynek két, 0-nál nagyobb vagy azzal egyenlő eleme szorzata nagyobb vagy egyenlő 0-val.
- A rendezett test egy rendezett gyűrű, amely test.
Lugas
Két belső törvényszerűséggel ellátott halmazok, amelyek a párok felső és alsó határaként is értelmezhetők a rendi viszonyok értelmében .
-
Rács : az összetétel két kommutatív, asszociatív és idempotens belső belső törvényével ellátott készlet, amely kielégíti az abszorpciós törvényt.
-
Boole-algebra : határolt, disztributív és kiegészített rács .
Az algebrai struktúrák további topológiai jellemzőkkel is rendelkezhetnek .
Így az általánosról az adottra (topológia> távolság> norma> skaláris szorzat) haladva:
- Egy algebrai struktúra felruházható topológiával , így topológiai térré válik , amelynek külső és belső törvényei mindegyike folyamatos.
- A topológiai fél-csoport jelentése egy fél csoport ellátva topológia teszi annak joga a belső készítmény folyamatos .
- A topológiai monoid egy egységes topológiai fél-csoport . Ez egy topológiával ellátott monoid is, amely a belső összetétel törvényét folyamatosvá teszi.
- A topologikus csoport jelentése egy csoport, látva egy topológia teszi a belső joga a készítmény a folyamatos, valamint az alkalmazás, amely bármely eleme a Csoport társult inverze.
- A topológiai gyűrű egy gyűrű egy topológia amelyek alapjául adalék csoport egy topológiai csoport és az alapjául szolgáló multiplikatív monoid egy topológiai monoid .
- A topológiai mező egy mezőt látva egy topológia ami egy topológiai gyűrű , és amelyre az multiplikatív csoport nem nulla elemek egy topológiai csoport .
- Az értékelt mező egy olyan mező (kommutatív vagy nem), amelynek abszolút értéke van . Ez az abszolút érték által definiált topológia topológiai teste .
- A topológiai modulus egy topológiai gyűrű Egy olyan modulus a Egy ellátva topológia , amelyre ez egy topológiai csoport, és amelyekre a külső törvény folyamatos.
- A topológiai testen lévő topológiai vektortér (például a valós számok mezője vagy a komplex számok mezője) egy topológiai modulus ezen a topológiai mezőn .
- A topológiai algebra egy kommutatív topológiai gyűrű Egy olyan algebra ezen topológiai gyűrű Egy , felruházva topológia , amelyre ez egy topológiai modulusa a A , és amelyre a szorzást folyamatos.
- Egy másik példa: az algebrai struktúra hézaggal biztosítható , pszeudometrikus térré válva :
- A félig normált terek (vagy félig normalizált vektorterek) valós vagy összetett vektorterek (vagy nem diszkrét értékű mező ), félig standarddal ellátva . A félig normált terek pszeudometrikus terek , mert a félnormától való eltérést mindig lehet szerkeszteni: két vektor közötti résnek vesszük különbségük félnormáját.
- Pontosabban, az algebrai struktúra biztosítható távolsággal , metrikus térré válva :
- Fontos eset a vektorterek normája , amely meghatározza a vektor "hosszát":
- A normált terek (vagy normalizált vektorterek) valós vagy komplex vektorterek (vagy nem diszkrét értékű mezők), amelyek standarddal vannak ellátva. A normalizált terek metrikus terek, mert mindig lehet távolságot konstruálni egy normától: két vektor távolságának vesszük a különbségük normáját.
- A Banach tér egy teljes normalizált vektortér .
- A normált affin tér affin tér, amely egy normált vektor térhez kapcsolódik. Ez egy metrikus tér: meghatározható a két pont közötti távolság az első ponttól a másodikig terjedő vektor normájaként.
- A prehilberta terek valós vagy komplex vektorterek , amelyek skaláris szorzattal vannak felszerelve . Ezek a vektorterek normált terek : az y vektor normája a skaláris négyzetének négyzetgyöke. Néhány fontos eset nevet kapott:
teljes prehilbert tér . Ezért egy sajátos Banach-tér . Az euklideszi és a hermita vektorterek példák a Hilbert-terekre.
Differenciál- és algebrai struktúrák és geometria
- A valós vagy összetett Lie csoport egy olyan csoport, amely egy valós vagy komplex analitikai változat (vagy a valóságban egy differenciál változatosság felépítésével rendelkezik), amelyhez az összetétel törvénye analitikus (vagy határozatlanul differenciálható a valós), valamint az az alkalmazás, amely inverzét egy elemhez társítja. A valódi és összetett hazugságcsoportok topológiai csoportok. A topológiai csoport az a topológiai csoport, amely legfeljebb egy igazi Lie-csoport mögött áll, és ezért egyértelműen elmondható, hogy egyes topológiai csoportok valós Lie-csoportok. Meghatározhatjuk a Lie csoportokat egy olyan kommutatív, teljes értékű K mezőn is, amelynek abszolút értéke nem triviális (különösen a p -adikus számok mezőjében ), a valós vagy komplex analitikus sokaságok helyettesítésével a K- analízis sokaságokkal .
- A homogén Lie helyet egy valódi Lie csoport G egy differenciál sokrétű X , felruházva külső törvény G a X , amely a végtelenségig differenciálható.
- Egy algebrai csoport több mint egy algebrailag zárt kommutatív mező K egy csoportot felruházni az algebrai gyűjtőcső szerkezet felett K , amelyre a törvény a készítmény rendszeres, valamint a térkép, amely társítja az inverze egy elemével.
Algebrai struktúrák és kategóriák
Bármely algebrai struktúrának megvan a saját fogalma a homomorfizmusról , egy alkalmazás , amely kompatibilis az összetétel törvényeivel. Ebben az értelemben bármely algebrai struktúra meghatároz egy kategóriát .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Raymond Raffin, Rings non-associatifs , előadás a Dubreil szemináriumon (1950-1951) online elérhető .
-
ez az utolsó tulajdonság eltűnik a gyűrű meghatározásában, mert automatikusan ellenőrzi.
Bibliográfia
Lásd is