Testérték

A matematikában az értékelt mező egy abszolút értékkel ellátott K mező . Ez meghatározza K-n a metrikus tér struktúráját, amelyet az invariáns távolság határoz meg , és K , az így definiált metrizálható topológiával együtt , topológiai mező . x↦|x|{\ displaystyle x \ mapsto | x |}d(x,y)=|x-y|{\ displaystyle d (x, y) = | xy |}

Például minden olyan érték, amelynek valós értékei vannak a K-n, lehetővé teszi egy abszolút érték meghatározását K-n (fordítva csak az ultrametrikus abszolút értékekre igaz ). Emiatt egyes szerzők kifejezéssel értékelt testület bármely testület, amely rendelkezik értékeléssel.

Az értékelt test topológiája akkor és akkor diszkrét , ha az abszolút érték triviális , vagyis a triviális értékelésből adódik .

Az értékelt testtel kiegészített gyűrű értékes test.

Hadd legyen egy test, amely egy értékeléssel és az elkészült gyűrűvel társított távolsággal rendelkezik . By kiterjesztése identitások , invariáns fordításokat és a térkép (ami kiterjed ) olyan értékelési on . Az alkalmazás az - Lipschitzian a mindent . Ez tehát folytonosan egy alkalmazás meghatározni . (K,d){\ displaystyle (K, d)}| |{\ displaystyle | ~ |}(K^,d^){\ displaystyle ({\ widehat {K}}, {\ widehat {d}})}d^{\ displaystyle {\ widehat {d}}}x↦d^(x,0){\ displaystyle x \ mapsto {\ widehat {d}} (x, 0)} | |{\ displaystyle | ~ |}K^{\ displaystyle {\ widehat {K}}}K∗→K,x↦x-1{\ displaystyle K ^ {*} \ - K, \; x \ mapsto x ^ {- 1}}1ε2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {2}}}}{x∈K∣|x|≥ε}{\ displaystyle \ {x \ K-ben | x | \ geq \ varepsilon \}}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}x↦x-1{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- 1}}∪ε>0{x∈K^∣|x|≥ε}=K^∗{\ displaystyle \ cup _ {\ varepsilon> 0} \ {x \ in {\ widehat {K}} \ közepes | x | \ geq \ varepsilon \} = {\ widehat {K}} ^ {*}}

Megjegyzések és hivatkozások

1. N. Bourbaki , A matematika elemei, III. Könyv: Általános topológia [ a kiadások részlete ] (IX. fejezet, 3. bek., 28–31. oldal).
2. Jean-Pierre Serre , helyi testület [ a kiadások részletei ]o. 36, amely tovább említi a nem ultrametrikus abszolút értékek jellemzését.
3. Megjegyzés: a diszkrét értékű mező fölött a bal oldalon lévő bármely vektortér a diszkrét topológia topológiai vektortere ; ez nem a nem diszkrét értékű mező fölötti, nem nulla vektortér esetében van .

Lásd is

Ostrowski tétele