Terjesztés

A matematikában , pontosabban az aritmetikai és az általános algebrában , egy művelet máshoz viszonyított eloszlása az elemi tulajdonság általánosítása: " egy összeg szorzata megegyezik a szorzat összegével ".

Például, az expressziós $2 \times (5 + 3) = (2 \times 5) + (2 \times 3)$ , a 2 faktorral elosztva az egyes a két kifejezés az összeg 5 + 3. A egyenlőség úgy igazoljuk: balra $2 \times 8 = 16$ , jobbra $10 + 6 = 16$ .

Ez a tulajdonság igaz az összes triplett $( x , y , z )$ az egész számok , a egészek , hogy a számok a racionális , hogy a valós számok , illetve komplex számok :

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

Mi majd beszélni a disztributivitás a szorzás tekintetében a felül .

Az általános algebra szerint a disztributivitás az összeadáson és szorzáson kívüli műveletekre is általános. Egy belső joga készítmény ∘ van elosztó van jelen a másik belső jogának * egy sor E Ha bármilyen triplett $( x , y , z )$ elemeinek E , már a következő tulajdonságokkal:

x \circ ( y * z ) = ( x \circ y ) * ( x \circ z )

( bal eloszlás )

( x * y ) \circ z = ( x \circ z ) * ( y \circ z )

( jobb eloszlás )

Distributivitás a számtanban

Számtani szempontból az a két művelet, amelyet a disztribúcióról beszélünk, összeadás és szorzás. A szorzás az összeadás szempontjából disztributív:

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

de az összeadás nem szorzó a szorzás szempontjából: kivéve a speciális eseteket (például $x = 0$ ), általában,

x + ( y \times z ) \neq ( x + y ) \times ( x + z )

Eloszlás az elemi számításban

Ha egy termék tényezői összegek, akkor a termékeket kifejezésenként, majd elvégezheti az összeget. Ez a tulajdonság gyakran használják, a fejszámolás vagy számítógép-tudomány , hogy kiszámítja a termék egész hatékonyan .

1. példa 235 × 99 = 235 × (100 - 1) = 23 500 - 235 = 23 265

Hasonlóképpen, megszorzás az egységes számokkal: 9, 99, 999 stb. az elosztási tulajdonság felhasználásával kivonássá válik.

2. példa 458 × 592 = (400 + 50 + 8) × (500 + 90 + 2) = 200 000 + 36 000 + 800 + 25 000 + 4500 + 100 + 4000 + 720 + 16 = 271 136 Másrészt a 3. példa

Tilos az átlagok átlagát közvetlenül végrehajtani; annak megszerzéséhez el kell osztanunk a jelölők összegét a nevezők összegével.

Jobb és bal disztribúció

Egész számok esetében az egész számok , a racionális számok , a valós szám vagy a komplex szám , az összeadási és szorzási műveletek kommutatívak . Ezután azt mondjuk, hogy a szorzás az összeadáshoz képest disztributív, anélkül, hogy megadnánk a „bal ” vagy a „jobb” elemet, mert a bal oldali disztribúció a jobb oldali (és fordítva) eloszlást vonja maga után a kommutativitás miatt. a termék.

Bizonyíték

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

\Leftrightarrow ( y + z ) \times x = ( x \times y ) + ( x \times z )

(a baloldali szorzás kommutativitásával)

\Leftrightarrow ( y + z ) \times x = ( y \times X ) + ( x \times z )

(a kommutativitás a szaporodás a 1 st összege a jobb tag)

\Leftrightarrow ( y + z ) \times x = ( y \times X ) + ( Z \times X )

(által kommutativitás a szorzás a 2 ND összege a jobb oldalon)

Másrészt, $( x + y ) / z = x / z + y / z$ , de $z / ( x + y ) \neq z / x + z / y$ és a körzet is elmondható, hogy csak elosztási a jobb és tekintettel a kiegészítésre.

Gauss egész számok

Közül komplex számok, egy érdekes eset az, hogy a Gauss egészek , amelyek meg vannak írva a formájában $Z = n + m i$ a n és m egész számok. A komplex szorzás eloszlékonyságát használjuk annak bemutatására, hogy például (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i, vagyis hogy 1 + i a 2i négyzetgyöke. Általánosabban megmutatjuk, hogy két Gauss egész szám szorzata egy Gauss egész szám.

Distributivitás az általános algebrában

Az algebra általában algebrai struktúrákat , vagyis bizonyos tulajdonságokkal rendelkező összetételi törvényekkel ellátott halmazokat vizsgál. Ebben az összefüggésben a disztribúció olyan esetekre általánosít, amikor:

a belső összetétel két törvénye nem feltétlenül összeadás és szorzás;
legalább egy művelet nem kommutatív;
az első művelet a belső összetétel törvénye, a második művelet a külső összetétel törvénye . (Ez az eset nem esik szigorúan a preambulumban megállapított keretek közé, ahol a három x, y, z elem állítólag ugyanahhoz a halmazhoz tartozik. Itt nem ez a helyzet, és a jobbra és a hogy a bal oldalon a kettő * különböző törvényeknek felel meg: lásd az alábbi "vektorterek" bekezdést.)

Gyűrűk és kommutatív mezők

A belső összetétel második törvényének a belső összetétel első törvényére való eloszlása a gyűrűk (és így a testek ) alapvető tulajdonsága : az A gyűrűben , amelynek két belső és + és × belső törvényt tartalmaz, a × törvénynek disztributívnak kell lennie ( jobbra és balra) + vonatkozásában.

Gyűrűk ℤ / nℤ

A ℤ hányadosgyűrűi öröklik a relatív egész számok összeadását és szorzását, és ezek az indukált törvények igazolják a szorzás eloszlását az összeadás tekintetében.

Quaternions

A szorzás osztódáson alapuló eloszlása továbbra is érvényes a Hamilton kvaternerekre , bár a kvaternion szorzása nem kommutatív .

Figyelemre méltó azonosságok a nem kommutatív gyűrűkben

Néhány említésre méltó identitás , mely magában foglalja disztributivitás, például $( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2$ és általánosítások is felhasználhat kommutativitás, és ezért nem érvényes noncommutative gyűrűket, így karikát mátrixok vagy noncommutative gyűrűi polinomok . Természetesen a disztributivitásból származó és kommutativitást nem igénylő tulajdonságok nem kommutatív gyűrűkben is érvényesek maradnak. (A szóban forgó példában $( a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2 lesz,$ ha $ab \neq ba$ ; de mindig van, mivel minden $x$ ingázik 1-gyel bármelyik egységgyűrűben.) ${\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} C_ {n} ^ {k} \, x ^ {k}}$

Vektor szóközök

A definíció egy vektor tér , a külső szorzás által skaláris van elosztó képest hozzáadásával a vektorok. Itt külső és nem belső összetételi törvényről van szó, de az elosztó tulajdonság továbbra is érvényes marad (mind a bal, mind a jobb oldali, amely ((λ + μ) • x = λ • x + A μ • x) két különböző összeadási törvényt jelent: egyrészt a skalárokét, másrészt a vektorokét). Ezért a disztribúció általánosabb fogalma, amely nem különösebb eset a jelen cikk preambulumában meghatározottaknál, ahol az összes elem ugyanahhoz a halmazhoz tartozik.

A készlet részei

Legyen a készlet részhalmaza egy sor E . A belső összetétel két törvényét adjuk meg : az uniót ⋃ és a kereszteződést ⋂. Ebben az esetben a belső összetétel két törvénye egymással szemben elosztó. Más szavakkal, a következők bármely elemének triplettjéhez ( A , B , C ) : ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ mathcal {P}} (E)$

A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )

A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )

A disztributivitást akkor is ellenőrizzük, ha az unió helyett az $A$ $Δ$ $B$ $: = ($ $A$ $⋃$ $B$ $) \ ($ $A$ $⋂$ $B$ $)$ szimmetrikus különbséget vesszük figyelembe . Az újraegyesüléstől eltérően ez a művelet az abeli csoportszerkezetet és a Boole-i gyűrűszerkezet metszéspontját biztosítja . ${\ mathcal {P}} (E)$

Lugas

A rács egy részben rendezett halmaz E amelyben minden pár { x , y } van egy felső kötött x ⋁ y és egy alsó korlát x ⋀ y . Azt mondjuk, hogy E egy elosztó rács , ha a két törvény a belső összetétel elosztó és egymáshoz képest. Ebben az esetben az E elemek bármely triplettjéhez ( x , y , z ):

x ⋁ ( y ⋀ z ) = ( x ⋁ y ) ⋀ ( x ⋁ z )

x ⋀ ( y ⋁ z ) = ( x ⋀ y ) ⋁ ( x ⋀ z )

Kapcsolódó cikkek

Asszociativitás
François-Joseph Servois (elsőként használta a "disztributív" jelzőt a matematikában)

Megjegyzések

A disztribúció alkalmazását az expresszióra, mint termékre fejlesztésnek nevezzük . A tulajdonság inverz alkalmazását összegre faktorizálásnak vagy közös faktoringnak nevezzük.
Lang 1976, p. 40
Queysanne 1964, p. 116 .
Queysanne 1964, p. 122 .

Hivatkozások

Serge Lang , algebrai struktúrák , InterEditions,1976.

Michel Queysanne , Algebra: 1 st Scientific ciklus - felkészültség iskolák , Armand Colin, coll. "U",1964.