A halmaz részeinek algebra

A halmazelméletben a halmaz részeinek halmaza , amely a metszés , az egyesülés és a komplementhez való áthaladás műveleteivel van felszerelve, logikai algebrai szerkezettel rendelkezik . Ebből más műveletek is levezethetők, például a beállított különbség és a szimmetrikus különbség ...

A halmazok algebra ezeknek a műveleteknek az aritmetikáját tanulmányozta (lásd azokat a műveleteket, amelyek nem hagyják állandónak az egész részeket, a " Műveleti összeállítási lista " c .

Befogadás és egyenlőség

Az egész cikkben a készletek tekinthető mind kéne venni egy adott halmaz U . Az inklúzió egy „ ()” vagy „⊆” jellel jelölt (részleges) sorrend-reláció , amelyet az U részek halmazán határozunk meg , P ( U ):

A ⊂ B akkor és csak akkor, ha ∀ x ∈ U ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ).

Az egyenlőséget az extenzivitás határozza meg, két halmaz egyenlő, ha ugyanazokkal az elemekkel rendelkeznek, vagyis:

A = B akkor és csak akkor, ha ∀ x ∈ U ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ).

vagy

A = B , ha, és csak akkor, ha A ⊂ B és B ⊂ A .

A következő tulajdonságok tehát megfelelnek az egyenlőségek vonatkozásában a propozíciós számítás egyenértékűségének, amelyből levezetik őket. Venn-diagramokkal vizualizálhatók , amely vázlatos módon leírható az összes lehetséges eset, amikor egy elem véges (és kellően csökkentett) halmazszámú tagsághoz tartozik, és amelyek emiatt lehetővé tehetik a demonstrációk egyenlőségének vagy befogadásának leírását is.

Hasonlóképpen, a zárványok következményekké válnak.

Találkozás és kereszteződés

Két készlet kombinációja

A Unió halmaza az A és B , amelyek jelölése " A U B " (helyesen: " A Union B "), a készlet tartozó elemek A vagy B :

{\ displaystyle A \ csésze B = \ {x \ in \ mathrm {U} \ közepe (x \ A-ban) \ lor (x \ B-ben)}}

ami azt jelenti :

x ∈ A ∪ B , ha, és csak akkor, ha x ∈ A vagy x ∈ B . Tulajdonságok

Az unióval ellátott U halmaz a következő tulajdonságokkal rendelkezik ( U összes A , B , C részhalmazára vonatkozóan ):

(asszociativitás): több halmaz összekapcsolásának eredménye nem függ az összekapcsolási műveletek sorrendjétől:

(A \ csésze B) \ csésze C = A \ csésze (B \ csésze C)

és A ∪ B ∪ C-vel jelöljük ezt a halmazt;

(kommutativitás): két halmaz egyesítése nem függ a két halmaz felvételének sorrendjétől:

A \ csésze B = B \ csésze A

;

(idempotencia): bármely halmaz újraegyesítése önmagával megint ezt a halmazt adja:

A \ csésze A = A

;

Ø semleges : az üres halmaz bármely halmazgal való egyesítése ismét megadja ezt a halmazt:

A \ csésze \ lakkozás = A

;

U jelentése nedvszívó: U ∪ A = U .

A készlet A ∪ B van a felső kötve a felvételét a két A és B , vagyis tartalmaz A és B , és ez tartalmazza bármely csoportja tartalmazó A és B :

A ⊂ A ∪ B , B ⊂ A ∪ B és ∀ C [( A ⊂ C és B ⊂ C ) ⇒ A ∪ B ⊂ C ].

Ezért az értekezleten meghatározzák a befogadást:

A ⊂ B akkor és csak akkor, ha A ∪ B = B .

Két halmaz metszéspontja

A metszéspontja halmaza az A és B , amelyek jelölése „ A ∩ B ” (helyesen: „ A inter B ”) a készlet elemei A amelyek szintén elemei B , nevezetesen:

{\ displaystyle A \ cap B = \ {x \ in \ mathrm {U} \ mid (x \ in A) \ land (x \ in B) \}}

ami azt jelenti :

x ∈ A ∩ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A és x ∈ B .

Két halmazt, amelyeknek nincs közös elemük, azaz kereszteződésük üres, diszjunktnak mondják .

Tulajdonságok

A kereszteződés tulajdonságai hasonlóak az unióéhoz. Azt mondjuk, hogy ezek kettősek, mert úgy kapjuk meg őket, hogy az unió előjelét a metszés helyére cseréljük, és ha szükséges, ∅ és U cseréjével , a befogadással és annak kölcsönösségével. Minden részhalmaza A , B , C az U már a következő tulajdonságokkal:

(asszociativitás): több halmaz metszéspontjának eredménye nem függ a műveletek végrehajtásának sorrendjétől:

(A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C)

és A ∩ B ∩ C-vel jelöljük ezt a halmazt;

(kommutativitás): két halmaz metszése nem függ e két halmaz felvételének sorrendjétől

A \ sapka B = B \ sapka A

;

(idempotencia): bármely halmaz metszéspontja önmagával adja meg ezt a halmazt

A \ sapka A = A

(Ø abszorbens): az üres halmaz és az összes halmaz metszéspontja üres

A \ sapka \ lakkozás = \ lakkozás

;

U semleges: U ∩ A = A .

A készlet A ∩ B jelentése az alsó korlát a felvételét a két A és B , vagyis tartalmazza A és B , és hogy tartalmaz-e a készlet tartalmaz ugyanabban az időben a A és B :

A ∩ B ⊂ A , A ∩ B ⊂ B és ∀ C [( C ⊂ A és C ⊂ B ) ⇒ C ⊂ A ∩ B ].

Ez lehetővé teszi, hogy a befogadást ezúttal a metszésponttól kezdve meghatározzuk:

A ⊂ B akkor és csak akkor, ha A ∩ B = A .

Terjesztés

Az egyesülés és a metszés két művelete disztributív az egyik a másikhoz viszonyítva, vagyis az A , B , C összes halmazra a következő két tulajdonságunk van :

(a metszéspont disztribúciója az unióhoz viszonyítva: két halmaz egyesítésének metszéspontja egy harmadik halmazzal megegyezik az első két halmaz mindegyikének a harmadikval való metszéspontjának egyesülésével:

A \ sapka (B \ csésze C) = (A \ sapka B) \ csésze (A \ sapka C)

;

(az unió disztribúciója a metszéspont vonatkozásában): két halmaz és egy harmadik halmaz metszéspontjának egyesülése megegyezik az első két halmaz mindegyikének a harmadikkal való metszéspontjával:

A \ csésze (B \ sapka C) = (A \ csésze B) \ sapka (A \ csésze C)

. Demonstráció

Az első egyenlőség mindkét oldalán van egy halmaz, és meg akarjuk mutatni, hogy ezek a halmazok egyenlőek, vagyis azt mutatják, hogy bármely elem csak akkor tartozik az elsőhöz, ha a másodikhoz tartozik. Megjegyzés rendre egy , b , c javaslatok , , . Szerint a disztributivitás a tekintetében (ami tudjuk ellenőrizni egy igazság táblázatot ) van $x$ $x \ A-ban$ $x \ B-ben$ $x \ C-ben$ $\ föld$ $\ lor$

a \ land (b \ lor c) \ baloldali nyíl (a \ land b) \ lor (a \ land c)

amely pontosan a kívánt ekvivalenciát fordítja le:

x \ -ban [A \ sapka (B \ csésze C)] \ Balra nyíl x \ be [(A \ sapka B) \ csésze (A \ sapka C)] ~.

A második egyenlőség bemutatása azonos, cserével és . $\ föld$ $\ lor$

Találkozás és kereszteződés: általános eset

Lehetséges általánosítani az újraegyesítést véges számú halmazra: visszatérünk két halmaz esetéhez egymást követő bináris újraegyesítéssel, és az újraegyesítés asszociativitása biztosítja, hogy a sorrend nem számít. Ugyanígy a kereszteződéshez is.

De az is lehetséges, hogy általánosítani ezeket a műveleteket egy nem feltétlenül véges család készletek.

A szakszervezet egy családi készlet határozza meg: $(E_i) _ {i \ I-ben}$

{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} E_ {i} = \ left \ {x \ in \ mathrm {U} \ mid \ pastāv \ i \ in I \ quad x \ in E_ {i} \, \ jobb \}}

Ez a meghatározás nem függ U-tól . Egy üres család újraegyesítése az üres egész.

A kereszteződés egy családi készlet határozza meg: $(E_i) _ {i \ I-ben}$

{\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} E_ {i} = \ left \ {x \ in \ mathrm {U} \ mid \ all i \ in I \ quad x \ in E_ {i} \ right \} }

A fenti meghatározás nem függ az U halmazától, kivéve, ha a család üres. ez utóbbi esetben az üres család metszéspontja definíció szerint az U referenciahalmaz , amely továbbra is kompatibilis a metszés tulajdonságával. Nem definiálhatjuk „abszolútban” (referenciahalmaz nélkül) egy üres család metszéspontját.

Az egyesülés és a bináris kereszteződés néhány tulajdonsága a végtelen esetre általánosít. Most a predikátumok (és már nem csak a propozíciós) számításának tulajdonságai forognak kockán.

a család metszéspontja és egyesülése csak a család teljes képétől függ, amely általánosítja az asszociativitást, a kommutativitást és az idempotenciát, és közvetlenül a definícióból következik; $(E_i) _ {i \ I-ben}$
egy halmazcsalád ( E i ) i ∈ I metszéspontja az { E i | halmaz alsó határa i ∈ I };
egy halmazcsalád ( E i ) i ∈ I egyesülése az { E i | halmaz felső határa i ∈ I };
a bináris metszéspont eloszlik bármely unión, valamint a bináris unió bármely metszésponton: ${\ displaystyle A \ cap \ bigcup _ {i \ in I} B_ {i} = \ bigcup _ {i \ in I} (A \ cap B_ {i})}$ ; ; ${\ displaystyle A \ csésze \ bigcap _ {i \ in I} B_ {i} = \ bigcap _ {i \ in I} (A \ cup B_ {i})}$
általában véve egyenlőség (amelyben a befogadás azonnali, de a befogadás a választás axiómáját használja , ha végtelen), valamint kettős egyenlőségünk . ${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} {\ bigcup _ {j \ in J_ {i}} {A_ {i, j}}} = \ bigcup _ {f \ in \ bal (\ prod _ {i \ -ban I} {J_ {i}} \ jobbra)} {\ bigcap _ {i \ I} {A_ {i, f (i)}}}}$ $\ supset$ $\ részhalmaz$ $én$

Kiegészítő

Referenciaként U adott, a komplementer a részhalmaza A , hogy U (azaz képest U ) van a beállított elemek U , amelyek nem tartoznak az A . Ez jelöli U - A , A , A c , vagy akár : $\ kiegészíti A$

{\ displaystyle A ^ {\ mathrm {c}} = \ {x \ in \ mathrm {U} \ x x \ notin A \}}

ami azt jelenti

x ∈ A c , ha, és csak akkor, ha x ∈ U és X ∉ A .

A komplementere A függ a beállított referencia U . A két egyenlőség is jellemzi:

A ∩ A c = ∅ és A ∪ A c = U .

A további passzálás művelet leépülési azaz ( A c ) C = A .

De Morgan törvényei

A komplementerre való váltás megfordítja az inklúziós viszonyt:

A ⊂ B akkor és csak akkor, ha B c ⊂ A c

és ezért kicseréli a találkozást és a kereszteződést, amelyek a felső és az alsó határok, ezek De Morgan törvényei :

( A ∩ B ) c = A c ∪ B c ; ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c .

Egy rendezett struktúrát, amely - hasonlóan U bináris újraegyesítési és metszési műveletekkel ellátott halmazához - , a komplementhez való átadás művelete, valamint a két megkülönböztetett elem ∅ és U kielégíti ezen műveletek mostanáig felsorolt tulajdonságait. Logikai algebra .

Különbség és szimmetrikus különbség

Különbség

A beállított különbség az A és a B jelölt „ A \ B ” (helyesen: „ A mínusz B ”) a készlet elemeit Egy , amelyek nem tartoznak a B , nevezetesen:

A \ setminus B = \ {x \ in A \ közepe x \ notin B \}

A különbség az A és B az U meghatározása a komplementer A ∩ B C , majd ( A ∩ B c ) C = A C ∪ B .

Ha B szerepel A , akkor A \ B is írva „ A - B ” (olvassa újra „ A mínusz B ”), és az úgynevezett komplementer a B az A (vagy relatíve az A ). Fent találjuk a komplementer fogalmát, amely az U-hoz képest komplementer :

{\ displaystyle A \ setminus B = AB = \plement _ {A} B = \ {x \ in A \ mid x \ notin B \}}

. A különbség tulajdonságai

Nekünk van :

x ∈ A \ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A és x ∉ B x ∉ A \ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A ⇒ x ∈ B

és aztán :

A \ B = ∅ akkor és csak akkor, ha A ⊂ B .

A különbség tulajdonságai annak meghatározásából, valamint a metszéspont és a komplementer egyesüléséből származnak. Például az első, amely ezt követi, kereszteződések sorozata, míg a második egy De Morgan-törvényt és a kereszteződés unión való eloszlását használja.

(A \ cap B) \ setminus C = A \ cap (B \ setminus C) = (A \ setminus C) \ cap (B \ setminus C)

A \ setminus (B \ cap C) = (A \ setminus B) \ cup (A \ setminus C)

Szimmetrikus különbség

A szimmetrikus különbség az A és B , amelyek jelölése „ A Δ B ” (helyesen: „ A delta B ”) a készlet elemek tartoznak, akár a A , vagy a B , de nem mindkettő ugyanabban az időben. Ez az A ∪ B és A ∩ B különbsége . Különböző formákban írható:

{\ displaystyle A \, \ Delta \, B = (A \ cup B) \ setminus (A \ cap B) = (A \ setminus B) \ cup (B \ setminus A) = (A \ cap B ^ {\ mathrm {c}}) \ cup (B \ cap A ^ {\ mathrm {c}})}

Nekünk van :

x ∈ A Δ B csak akkor, ha x ∈ A vagy x ∈ B (vagy kizárólagos) x ∉ A Δ B akkor és csak akkor, ha x ∈ A ⇔ x ∈ B

így két halmaz szimmetrikus különbsége csak akkor üres, ha a két halmaz egyenlő:

A Δ B = ∅ akkor és csak akkor, ha A = B . A szimmetrikus különbség tulajdonságai

A készlet részeit U ellátva a szimmetrikus különbség művelet egy kommutatív csoport , a ∅ semleges elem, és ahol minden egyes részhalmaza U jelentése a saját ellentétes, azaz, hogy az összes alatti -sets A , B , C a U , megvan:

(asszociativitás): három halmaz szimmetrikus különbsége nem függ a műveletek végrehajtásának sorrendjétől, zárójelre nincs szükség:

{\ displaystyle (A \, \ Delta \, B) \, \ Delta \, C = A \, \ Delta \, (B \, \ Delta \, C)}

és írhatunk A Δ B Δ C-t .

(kommutativitás): két halmaz szimmetrikus különbsége nem attól függ, hogy ezek a halmazok milyen sorrendben készülnek:

{\ displaystyle A \, \ Delta \, B = B \, \ Delta \, A}

Az Ø semleges elem: az üres halmaz és egy másik halmaz szimmetrikus különbsége adja ezt a halmazt:

{\ displaystyle A \, \ Delta \, \ varnothing = A}

Minden részhalmaz a maga ellentéte: bármely halmaz szimmetrikus különbsége önmagával megadja az üres halmazt:

{\ displaystyle A \, \ Delta \, A = \ lakkozás}

Ennek egyik következménye, a rendszeresség: ha A Δ B = A Δ C , akkor B = C .

Az U részek halmaza, a szimmetrikus különbség mellett, a metszéssel egy egységes kommutatív gyűrű , vagyis a metszés asszociativitási és kommutativitási tulajdonságai mellett, és hogy U semleges elem

∩ eloszlása Δ vonatkozásában: egy halmaz metszéspontja két másik halmaz szimmetrikus különbségével megegyezik az első halmaz és a másik kettő metszéspontjainak szimmetrikus különbségével:

{\ displaystyle A \ cap (B \, \ Delta \, C) = (A \ cap B) \, \ Delta \, (A \ cap C)}

A szimmetrikus különbség az unióval ellentétben nem disztributív a kereszteződés tekintetében.

A Boole-algebrák általános tulajdonsága, hogy a szimmetrikus különbségként definiált művelet (az unióval a metszéspont és a komplementerig való áthaladás) lehetővé teszi egy gyűrűszerkezet definiálását, amelyet néha logikai gyűrűnek is hívnak. Az összes logikai algebra közös tulajdonságait a következőképpen ellenőrizzük:

A c = U Δ A , és ezért A c Δ A = U .

vagy ( A Δ B ) c = A c Δ B = A Δ B c .

Axiomatikus szempontok

Axiomatikus szempontból a halmazelméletben mindaz, ami megelőzi, az extenzivitás (két halmaz egyenlőségének) axiómájából fejlődik ki , amely különösen garantálja a bevezetett konstrukciók és a megértés axiómáinak egyediségét , amely garantálja létezésüket. , az összes bevezetett halmaz egy adott U halmaz részhalmazaként van meghatározva.

Megjegyzések és hivatkozások

Ez a cikk részben vagy egészben a „ Beállítási művelet ” című cikkből származik (lásd a szerzők felsorolását ) .

(in) Robert L. Vaught , Set Theory: An Introduction , Birkhauser ,2001, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1985) ( olvasható online ) , p. 21.
De a beállított különbségnek ez a jelölése összetéveszthet az algebrai különbséggel . Például: míg . ${\ displaystyle [0,1] \ setminus [0,1] = \ lakkozás}$ ${\ displaystyle \ {xy \ mid x, y \ in [0,1] \} = [- 1,1]}$

Lásd is