Venn-diagram

A Venn-diagram (más néven logikai diagram ) egy diagram, amely az összes lehetséges logikai kapcsolatot bemutatja a különböző halmazok véges gyűjteményében . A Venn-diagramokat 1880 körül tervezte John Venn . Elemi halmazelmélet tanítására , valamint a valószínűség , a logika , a  statisztika , a nyelvészet és az informatika egyszerű összefüggéseinek bemutatására használják őket .

Példa

Ez a példa két A és B halmazból áll , amelyeket itt színes körökként mutatunk be. A narancssárga kör, az A halmaz, minden élő kétlábú lényt ábrázol. A kék kör, a B halmaz, repülni képes élőlényeket jelöl. Minden különféle lénytípus elképzelhető pontként ebben a diagramban. Az élőlények, amelyek kétlábúak és képesek repülni - például papagájok -, akkor mindkét készletbe beletartoznak, és így megfelelnek a régió azon pontjainak, ahol a kék és a narancssárga kör átfedik egymást.

Az emberek és a pingvinek kétlábúak, tehát a narancssárga körben vannak, de mivel nem tudnak repülni, a narancssárga kör bal oldalán jelennek meg, ahol ez nem fedi át a kék kört. A szúnyogoknak hat lába van, és repülnek, ezért a szúnyogoknak megfelelő pont a kék kör azon részébe kerül, amely nem fedi át a narancssárgát. Azokat a lényeket, amelyek nem kétlábúak és nem tudnak repülni (például bálnák és pókok), a két körön kívül pontok ábrázolják.

Az A és B halmaz együttes régióját A és B uniójának nevezzük, A ∪ B jelöléssel. Az egyesülés ebben az esetben tartalmaz minden élőlényt, amely vagy kétlábú, vagy légy, vagy mindkettő.

Az A és B régiót, ahol a két halmaz átfedi egymást , A és B metszéspontjának nevezzük , és A ∩ B-nek jelöljük. Például a két halmaz metszése nem üres, mert vannak olyan pontok, amelyek mind a a narancssárga körben és a kék körben.

Történelem

A Venn-diagramokat John Venn 1880-ban vezette be A javaslatok és indoklások vázlatos és mechanikus ábrázolása a filozófiai magazinban és a Journal of Science-ben című cikkben a javaslatok diagramokkal történő ábrázolásának különböző módjairól. Az ilyen típusú diagramok használata a formális logikában F. Ruskey és M. Weston szerint "nem könnyű nyomon követhető történet, de az biztos, hogy a Vennhez általában kapcsolódó diagramok valójában sokkal inkább megjelennek korábban. Joggal kapcsolódnak Vennhez, mert ő megvizsgálta és formalizálta használatukat, és ő általánosította őket elsőként ” .

Venn maga nem használta a "Venn-diagram" kifejezést, de "euleri köröknek" nevezte őket. Például Venn 1880-as cikkének kezdő mondatában ezt írja: „A diagram diagramokat olyan széles körben vezették be a logikai értekezésekbe egy évszázadon keresztül, hogy feltételezhető, hogy sok olvasó, még azok is, akiknek még nem volt fejlett logikai tanulmánya, ismerje az ilyen rajzok általános jellegét és célját. E minták közül csak egyet, általánosan „euleri köröknek” neveznek, általánosan elfogadottak ” . Elsőként Clarence Irving Lewis használta a „Venn-diagram” kifejezést 1918-ban, „ A szimbolikus logika felmérése ” című könyvében   .

A Venn-diagramok nagyon hasonlítanak az Euler-diagramokhoz , amelyeket Leonhard Euler talált ki a XVIII .  Században. E. báró megjegyezte, hogy Leibniz (1646-1716) a XVII .  Században hasonló mintákat produkált Euler előtt, de a legtöbbjüket még nem tették közzé. Azt is megjegyzi, mielőtt Euler rajzok Raymond Lull  a XIII th  században.

A XX .  Században Venn-diagramokat dolgoztak ki. DW Henderson mutatta, 1963-ban, hogy létezik egy n -Venn diagram az n -szer forgásszimmetriát azt jelenti, hogy n egy prímszám . Megmutatta azt is, hogy szimmetrikus Venn-diagramok léteznek, ha n = 5 vagy 7. 2002-ben Peter Hamburger szimmetrikus Venn-diagramokat talált n = 11-re, 2003-ban pedig Griggs, Killian és Savage megmutatta, hogy a többi prímszámra szimmetrikus Venn-diagramok léteznek. Tehát csak akkor léteznek szimmetrikus Venn-diagramok, ha n prímszám.

Venn és Euler diagramokat építeni a tanítás halmazelmélet a modern matematika az 1960-as. Azóta is elfogadásra került, más területeken, mint az olvasás.

Áttekintés

A Venn-diagram egyszerű zárt görbékből áll, amelyeket síkban rajzolnak meg. Lewis szerint „ezeknek a diagramoknak az az elve, hogy az osztályokat (vagy halmazokat ) egymással fenntartott logikai kapcsolatokkal rendelkező régiók képviselhetik. Más szavakkal, a diagram először teret enged az osztályok lehetséges összefüggéseinek, és az adott összefüggést ezután megadhatjuk annak jelzésével, hogy bizonyos meghatározott régiók nulla vagy nem nulla. "

A Venn-diagramok általában átfedő köröket tartalmaznak . A kör belseje szimbolikusan a halmaz elemeit , míg a külső azokat az elemeket jelöli, amelyek nem szerepelnek a halmazban. Például egy kéthalmazos Venn-diagramon egy kör az összes faobjektum csoportját, míg egy másik kör az összes tábla halmazát képviselheti. Az átfedés vagy kereszteződés ekkor az összes faasztal halmazát jelentené. A köröktől eltérő formák is használhatók, az alábbiak szerint. A Venn-diagramok általában nem tartalmaznak információt a halmazok relatív vagy abszolút méretéről ( kardinalitás ).

A Venn-diagramok hasonlóak az Euler-diagramokhoz. Azonban n n halmazú Venn-diagramnak 2 n  lehetséges zónát kell tartalmaznia, amely megfelel az egyes halmazok befogadásának vagy kizárásának kombinációinak számának. A Venn-diagramokban egy árnyékolt terület üres területet jelenthet, míg az Euler-diagramban a megfelelő terület hiányzik a diagramból.

Az Euler és a Venn diagram közötti különbség a következő példában látható. Vagy három készlet:

• NÁL NÉL={1,2,5.}{\ displaystyle A = \ {1, \, 2, \, 5 \}}
• B={1,6.}{\ displaystyle B = \ {1, \, 6 \}}
• VS={4,7}{\ displaystyle C = \ {4, \, 7 \}}

E halmazok Venn- és Euler-diagramjai:

• Euler-diagram

• Venn-diagram

Kiterjesztések nagyszámú készlethez

A Venn-diagramok általában két vagy három halmazt ábrázolnak, de lehetséges nagyobb szám is. Az alábbiakban négy gömb alkotja a magasabb rendű Venn-diagramot, amely szimmetriájú a szimplexszel  és vizuálisan is ábrázolható. A 16 kereszteződés a tesseract csúcsainak felel meg .

Nagyobb halmazszám esetén a szimmetria némi elvesztése elkerülhetetlen. Venn nagyon szerette volna megtalálni a "szimmetrikus alakokat ... önmagukban elegánsakat", amelyek nagyobb számú halmazt képviselnek, ezért négy halmazból álló diagramot tervezett ellipszisek felhasználásával (lásd alább). Konstrukciót adott a tetszőleges számú halmaz Venn-diagramjaihoz is , ahol minden egymást követő görbe, amely egy halmazt elhatárol, összefonódik az előző görbékkel, kezdve a három kör diagrammal.

• Venn konstrukció 4 készlethez

• Venn konstrukció 5 készlethez

• Venn konstrukció 6 készlethez

• 4-készletű Venn-diagram ellipszisek segítségével

• Nem példa: ez az Euler-diagram nem 4 halmaz Venn-diagramja, mert csak 14 régiója van (a külsővel együtt); nincs olyan régió, ahol csak a sárga és a kék, vagy a piros és a zöld lemez találkozna.

• Brenno Grünbaum kongruens ellipszisét használó 5-készletű Venn-diagram. A feliratokat a jobb olvashatóság érdekében egyszerűsítették; például A jelentése A ∩ Bc ∩ Cc ∩ Dc ∩ Ec, míg BCE Ac ∩ B ∩ C ∩ Dc ∩ E.

• Hatos Venn-diagram, csak háromszögek használatával (interaktív változat)

Edwards Venn diagramok

• Három készlet

• Négy készlet

• Öt készlet

• Hat készlet

Az AWF Edwards  (en) egy Venn-diagram sorozatát készítette el nagyobb számú halmaz számára, a gömb felületének szegmentálásával. Például három halmazt könnyedén ábrázolhatunk, ha egy gömb három félgömbjét derékszögben vesszük (x = 0, y = 0 és z = 0). Negyedik sorozat hozzáadható az ábrázoláshoz, ha egy teniszlabda varratához hasonló görbét veszünk stb. Ezeket az ábrákat egy ólomüveg ablak tervezésénél terveztük Venn emlékére.

Egyéb diagramok

Edwards Venn-diagramjai topológiailag megegyeznek a Branko Grünbaum által kidolgozott diagramokkal . Ezek a hiperkocka kétdimenziós ábrázolásai is.

Henry John Stephen Smith  hasonló diagramokat tervezett

n halmaz szinuszgörbékkel az alábbi egyenletekkel: nem-1{\ displaystyle n-1} yén=bűn⁡(2énx)2én vagy 0≤én≤nem-2 és én∈NEM{\ displaystyle y_ {i} = {\ frac {\ sin (2 ^ {i} x)} {2i}} {\ text {where}} 0 \ leq i \ leq n-2 {\ text {and}} i \ in \ mathbb {N}}. [Megkérdőjelezhető információk]

Charles Lutwidge Dodgson öt készlet diagramot tervezett.

Kapcsolódó fogalmak

Venn-diagramok megfelelnek az igazság táblák az állítások , stb, abban az értelemben, hogy minden régióban a Venn-egy sornak felel meg az igazság táblázat. x∈NÁL NÉL{\ displaystyle x \ in A}x∈B{\ displaystyle x \ B-ben}

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia "  Venn Diagramm  " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

1. Lásd:
   • (en) J. Venn, „  A javaslatok és okfejtések vázlatos és mechanikus ábrázolásáról  ” , Philosophical Magazine and Journal of Science , vol.  9, n o  59,1880. július, P.  1-18 ( online olvasás ) ;
   • (en) John Venn, „  A geometriai diagramok alkalmazásáról a logikai állítások értelmes ábrázolásához  ” , Proc. Cambridge Phil. Soc. , vol.  4,1880, P.  47–59 ( online olvasás ).
2. . Ruskey és M. Weston, 2005. június
3. A Levelek egy Princess Németország különböző témákban a fizika és a filozófia  Euler [Levelek egy német hercegnő a különböző fizikai és filozófiai témák], Imperial Academy of Sciences St. Petersburg, 1768, vol. 2. oldal, 95–126. 
4. ME báró, 1969. május
5. DW Henderson, 1963. április
6. Frank Ruskey, Carla D. Savage és Stan Wagon, 2006. december
7. Stratégiák az értő Venn-diagramok olvasásához
8. Clarence Irving Lewis, 1918.
9. "Euler-diagramok 2004: Brighton, Egyesült Királyság: szeptember 22–23 . "
10. John Venn, 1881.
11. Edwards, AWF (2004), Az elme fogaskerekei: A Venn-diagramok története , JHU Press, p. 65 ( ISBN  9780801874345 ) .
12. Ralph P. Grimaldi, 2004.
13. (in) DL Johnson, A logika elemei számokon és halmazokon keresztül ,2001( online olvasható ) , fej.  3.3 ("törvények").

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Logikai csatlakozó
• Oktaéder - A szabályos oktaéder sztereográfiai vetülete 3-halmazú Venn-diagramot eredményez.
• Carroll diagram
• Euler, Venn és Carroll diagramok

További irodalom

• ES Mahmoodian által készített általánosított Venn-diagramok 1987- ben, M. Rezaie és F. Vatan közreműködésével.
• Stewart, Ian (2004). "4. fejezet: Az elme fogaskerekei" . Újabb remek matematika, amibe belefogtál . Dover Publications. pp. 51–64. ( ISBN  0-486-43181-9 ) .
• Edwards, AWF (2004). Az elme fogaskerekei: Venn-diagramok története . JHU Press . ( ISBN  978-0-8018-7434-5 ) .
• Glassner, Andrew (2004). "Venn és most". Morfák, vadkacsa és montázsok: számítógéppel segített képzelet . Wellesley, MA: AK Peters. pp. 161–184. ( ISBN  978-1568812311 ) .
• Ruskey, Khalegh; Ruskey, Frank (2012. július 27.). "Egy új rózsa: Az első egyszerű szimmetrikus 11-Venn diagram" . o. 6452. arXiv : 1207.6452 . Bib kód : 2012arXiv1207.6452M

Külső linkek

• en) "Venn-diagram" , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , online olvasás )
• (en) Eric W. Weisstein , „  Venn Diagram  ” , a MathWorld- on
• Lewis Carroll logikai játék - Venn vs. Euler a  csomóponton
• Tanulmány a Venn-diagramokról
• Venn-diagramok létrehozása a javasolt eredmények felfedezéséhez a Google-on
• A színkombinációkat bemutató Venn-diagram hét interaktív halmaza
• Hat három háromszögből készített Venn-diagram
• Utóirat egy diagramhoz 9 Venn-készlettel és még sok mással
• Venn-diagram az Excel-ben