Logikai algebra (logika)

A logikai algebra vagy logikai számítás az a része a matematikának , amely egy megközelítési algebral foglalkozik a logikai nézettel a változók , az operátorok és a logikai változók függvényeinek vonatkozásában, amely lehetővé teszi algebrai technikák használatát a számítás kétértékű kifejezéseinek kezelésére . javaslatok . 1854-ben George Boole brit matematikus kezdte . Ma a Boole-algebra számos alkalmazást talál az informatikában és az elektronikus áramkörök tervezésében .

Ez volt az első használható Telefonközpont áramkörök által Claude Shannon .

Bevezető példa

A logikai függvények logikai algebra lehetővé teszi a logikai érvelés modellezését , azáltal, hogy az állapotot a feltételek függvényében fejezi ki. Például, ha a Kommunikáció kifejezést és a Pick up kifejezést tanulmányozzuk;

Kommunikáció

Kommunikáció = adó és vevő

A kommunikáció "IGAZ" lenne, ha mind a feladó, mind a vevő változó aktív lenne (ez egy logikus függvény a feladó és a vevő változóktól függően )

Felvenni

Felvétel = (csengetés és válaszadás) VAGY döntés a hívásról

A felvétel „IGAZ” lenne, ha egyszerre hallja a csengést ÉS úgy dönt, hogy válaszol , vagy ( VAGY ), ha egyszerűen csak úgy dönt, hogy felhív .

Mivel a logikai algebra három szakterület közös tartománya, különböző jelölésekkel találkozunk ugyanazon objektum kijelölésére. A cikk további részében megjelöljük a különféle jelöléseket, de kiváltságot nyújtunk arra, hogy fenntartsunk egy bizonyos homogenitást.

Az igazságértékek logikai algebra

Hívjuk B a beállított tevődik össze két elem az úgynevezett igazság értékeket {TRUE, FALSE}. Ezt a készletet szintén tudomásul veszik

• B={1,0}{\ displaystyle B = \ {1.0 \}}
• B={⊤,⊥}{\ displaystyle B = \ {\ top, \ perp \}}.

A vonatkozó és az . ⊤{\ displaystyle \ top}1{\ displaystyle 1}⊥{\ displaystyle \ perp}0{\ displaystyle 0}

A jelölést a következőkben előnyben részesítjük . B={1,0}{\ displaystyle B = \ {1.0 \}}

Ezen a halmazon definiálhatunk két bináris törvényt (vagy műveletet), az ÉS és az OR törvényeket, valamint az unáris műveletet, a tagadást (vagy a kiegészítést).

A következő példák és tulajdonságok mindegyikéhez: {nál nél,b,vs.}⊂B{\ displaystyle \ {a, b, c \} \ B részhalmaz

Konjunkció

ET törvénytáblázat
b \ a	0	1
0	0	0
1	0	1

A következőképpen definiálják: a ÉS b akkor és akkor igaz, ha a értéke IGAZ és b IGAZ.

Ezt a törvényt szintén figyelembe veszik:

• ⋅{\ displaystyle \ cdot \,} ;
• ∧{\ displaystyle \ wedge} :
• "&" Vagy "&&": ez a megvalósítás számos programozási nyelv része , például Perl , C , PHP , Swift  ;
• "  ÉS  ": a legtöbb programozási nyelv, például az Ada , a Pascal , a Perl , a Python , a PHP kínálja ezt a funkciót;
• „∧”: több algebrai jelölésben és APL-ben használják  ;
• "*"; a közönséges szorzás szimbólumát olyan nyelvekben használják, amelyek nem rendelkeznek megfelelő funkcióval.

A következőkben a „  ” jelölést előnyben részesítjük  . ⋅{\ displaystyle \ cdot}

Ennek a törvénynek a táblázata (az összeadási vagy szorzótáblához hasonlóan ) nem igazságtábla .

Disszjunkció

A törvény táblázata VAGY
b \ a	0	1
0	0	1
1	1	1

Ezt a következőképpen határozzuk meg: a OR b akkor és akkor igaz, ha a értéke IGAZ vagy b IGAZ. (Különösen, ha a igaz és b is igaz, akkor egy OR b igaz.)

Ezt a törvényt szintén figyelembe veszik:

• +{\ displaystyle +}.
• "∨" ("   ") a matematikában (és a matematikai logikában) vagy az APL-ben.∨{\ displaystyle \ vee}
• "|" vagy "||" egyes programozási nyelvekben.
• A logikában vagy bizonyos programozási nyelvekben "vagy" vagy "VAGY" kifejezést írtak le.

Előnyben részesítjük a következő jelöléseket, de ügyelni kell arra, hogy ez a törvény nem a Z / 2 Z szokásos kiegészítése . Ezért a matematikában és a matematikai logikában a jelölést nem használják az "vagy inkluzív" jelölésére: azt a " vagy kizárólagos  " műveletnek tartják fenn  , amely (az "és" -hez csatlakozva) bármely logikai algebrát készít egy logikai gyűrű , különösen egy Z / 2 Z - algebra . +{\ displaystyle +}+{\ displaystyle +}

Tagadás

Tagadása egy IGAZ akkor, ha a HAMIS.

Megjegyezzük az a tagadását:

• nem-a, nem a, nem a.
• nál nél¯{\ displaystyle {\ bar {a}}}.
• nál nél/{\ displaystyle a /}.
• ¬nál nél{\ displaystyle \ neg a}.
• „~ A” egyes algebrai jelölésekben, APL-ben és egyes adatbázis- lekérdezési nyelvekben ( SQL …).
• "! »Egyes programozási nyelvekben (C, C ++ ...)
• „1-” néhány olyan nyelven, amelyek nem rendelkeznek megfelelő funkciókkal ( Batch …) (mivel 1-0 = 1 és 1-1 = 0).

A jelölést a következőkben előnyben részesítjük . nál nél¯{\ displaystyle {\ bar {a}}}

Ezután megkapjuk és . 0¯=1{\ displaystyle {\ bar {0}} = 1}1¯=0{\ displaystyle {\ bar {1}} = 0}

Tulajdonságok

Operátor tulajdonságai

Az üzemeltetőket számos közös tulajdonság érinti:

• Asszociativitás  : és  ;(nál nél+b)+vs.=nál nél+(b+vs.)=nál nél+b+vs.{\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c}(nál nél⋅b)⋅vs.=nál nél⋅(b⋅vs.)=nál nél⋅b⋅vs.{\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) = a \ cdot b \ cdot c}
• Kommutativitás  : (a sorrend nem releváns) és  ;nál nél+b=b+nál nél{\ displaystyle a + b = b + a}nál nél⋅b=b⋅nál nél{\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a}
• Forgalmazhatóság  : és  ;nál nél⋅(b+vs.)=nál nél⋅b+nál nél⋅vs.{\ displaystyle a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c}nál nél+b⋅vs.=(nál nél+b)⋅(nál nél+vs.){\ displaystyle a + b \ cdot c = (a + b) \ cdot (a + c)}
• Idempotencia  : pl. : és .nál nél+nál nél=nál nél{\ displaystyle a + a = a}nál nél⋅nál nél=nál nél{\ displaystyle a \ cdot a = a}

Ezenkívül minden kezelőnek van egy semleges eleme és egy elnyelő eleme  :

• nál nél+0=0+nál nél=nál nél{\ displaystyle a + 0 = 0 + a = a} ;
• nál nél+1=1+nál nél=1{\ displaystyle a + 1 = 1 + a = 1} ;
• nál nél.1=1.nál nél=nál nél{\ displaystyle a.1 = 1.a = a} ;
• nál nél.0=0.nál nél=0{\ displaystyle a.0 = 0.a = 0} ;

Egyszerűsítések lehetségesek, például:

• nál nél+nál nél⋅b=nál nél{\ displaystyle a + a \ cdot b = a} ;
• nál nél⋅(nál nél+b)=nál nél{\ displaystyle a \ cdot (a + b) = a} ;
• nál nél+nál nél¯.b=nál nél+b{\ displaystyle a + {\ overline {a}}. b = a + b} ;
• nál nél.(nál nél¯+b)=nál nél.b{\ displaystyle a. ({\ overline {a}} + b) = ab}.

a konszenzustétel a Boolean algebra operátoraira vonatkozik:

• nál nél.b+nál nél¯.vs.=nál nél.b+nál nél¯.vs.+b.vs.{\ displaystyle a.b + {\ overline {a}}. c = a.b + {\ overline {a}}. c + bc}.

Végül a kiegészítő jelleg elvét követik:

• Feldolgozás  : ( pl .: a "világít világít" felvetés egyenértékű azzal, hogy "a fény nincs bekapcsolva", vagy más szavakkal "a fény nincs kikapcsolva").nál nél=nál nél¯¯{\ displaystyle a = {\ overline {\ overline {a}}}}
• Harmadik fél kizárva  : (a "világít" VAGY a "nem világít" javaslat mindig IGAZ.).nál nél+nál nél¯=1{\ displaystyle a + {\ overline {a}} = 1}
• Ellentmondás vagy antilógia: (a "világít" és a "nem világít" felvetés mindig HAMIS.)nál nél.nál nél¯=0{\ displaystyle a. {\ overline {a}} = 0}

Szerkezet

Ezután megtalálja a tulajdonságokat, amelyek így B a szerkezet Boole algebra .

Kiemelten fontos

Az írások leegyszerűsítése érdekében szokás, hogy a logikai műveletekre ugyanazok az elsőbbségi szabályok vonatkoznak, mint a szokásos számtani műveletekre: az AND függvény (logikai szorzás) tehát elsőbbséget élvez az OR függvénnyel (logikai összeg) szemben. Így :

1+b⋅0=1+0=1{\ displaystyle 1 + b \ cdot 0 = 1 + 0 = 1}

Még mindig lehetséges zárójeleket elhelyezni a számításokban a műveletek prioritási sorrendjének megváltoztatásához.

De Morgan tétele

De Morgan első törvénye (disszjunkció tagadás) a következő egyenlőség fejezi ki nál nél+b¯=nál nél¯.b¯{\ displaystyle {\ overline {a + b}} = {\ overline {a}}. {\ overline {b}}} Igazság / operációs asztal nál nél b nál nél+b{\ displaystyle a + b} nál nél+b¯{\ displaystyle {\ overline {a + b}}} nál nél¯{\ displaystyle {\ overline {a}}} b¯{\ displaystyle {\ overline {b}}} nál nél¯.b¯{\ displaystyle {\ overline {a}}. {\ overline {b}}} 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Mindkét esetben a kifejezés csak akkor lesz IGAZ , ha a és b olyan hamis .

De Morgan második törvénye (a kötőszó tagadása) nál nél.b¯=nál nél¯+b¯{\ displaystyle {\ overline {ab}} = {\ overline {a}} + {\ overline {b}}} Igazság / operációs asztal nál nél b nál nél.b{\ displaystyle ab} nál nél.b¯{\ displaystyle {\ overline {ab}}} nál nél¯{\ displaystyle {\ overline {a}}} b¯{\ displaystyle {\ overline {b}}} nál nél¯+b¯{\ displaystyle {\ overline {a}} + {\ overline {b}}} 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Mindkét esetben a kifejezés csak akkor lesz HAMIS , ha a és b is igaz .

Logikai funkciók

Matematikailag egy logikai függvény vagy logikai operátor egy alkalmazás a B n -re B-ben .

Az elektronikában a logikai függvény egy fekete doboz, amely bizonyos számú logikai változót kap bemenetként, és amely a bemeneti változóktól függően logikai változót ad ki. A cikklogikai függvény elmagyarázza, hogyan lehet felépíteni néhány alapvető függvény fekete dobozát.

Az igazságtábla lehetővé teszi a kimenet állapotának meghatározását a bemenetek állapota szerint. Jellemzi a logikai függvényt.

Bármely igazságtábla, és így minden logikai függvény leírható a három alapvető művelet segítségével:

• disszjunkció (OR)
• kötőszó (AND)
• tagadás (NO)

Azt is bizonyítjuk, hogy a paramétereknek pontosan vannak logikai függvényei . Valójában elegendő az összes lehetséges igazságtáblázat átgondolása, vagy a paraméterek függvényének kidolgozása . 22nem{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}}}nem{\ displaystyle n}nem{\ displaystyle n}

Alapvető logikai funkciók

A három alapműveletből származnak, majd meghatározzák egy függvény B- től B-ig  : a komplement vagy inverzió két függvény B 2- től B-ig, amelyek az összeg (OR) és a szorzat (AND)

Inverz igazság táblázat nál nél nál nél¯{\ displaystyle {\ bar {a}}} 0 1 1 0

Az összeg igazságtáblázata nál nél b a b+{\ displaystyle + \,} 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Termékigazolási táblázat nál nél b a b⋅{\ displaystyle \ cdot \,} 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Összetett logikai függvények

Ezek a kétváltozós logikai függvények. Ezek között van néhány elég érdekes ahhoz, hogy nevet kapjanak.

Kizárólagos diszjunkció

XOR igazságtáblázat
nál nél	b	a b⊕{\ displaystyle \ oplus}
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Az eddig vizsgált OR-t a következőképpen kell érteni: "egyik vagy másik vagy mindkettő". Más néven „befogadó VAGY”. Az exkluzív OR (vagy XOR az 'e X clusive OR' esetében ) jelentése: "egyik vagy másik, de nem mindkettő".

a XOR b nál nél XOR⁡ b=nál nél⊕b=(nál nél+b).(nál nél.b)¯=nál nélb¯+nál nél¯b{\ displaystyle a \ \ operátornév {XOR} \ b = a \ oplus b = (a + b). {\ overline {(ab)}} = a {\ bar {b}} + {\ bar {a}} b}

Meghatározhatjuk egy modulo -val is egy közönséges összegen :

nál nél XOR⁡ b=(nál nél+b) mod 2{\ displaystyle a \ \ operátornév {XOR} \ b = (a + b) \ {\ bmod {\}} 2}

Az "exkluzív vagy" jelölést néha a számtani jel jelöli ( ettől eltér ). Funkcionálisan ez is használ a + körül: . ≠{\ displaystyle \ neq}nál nél⊕b{\ displaystyle a \ oplus b}

Tulajdonság - Bármely igazságtábla, bármilyen logikai függvény leírható az 1 konstans és a két művelet segítségével: kizárólagos diszjunkció és konjunkció, mert:nál nél¯=nál nél⊕ 1{\ displaystyle {\ bar {a}} = a \ oplus \ 1}, és nál nél+b=nál nél⊕ b⊕ nál nél⋅b{\ displaystyle a + b = a \ oplus \ b \ oplus \ a \ cdot b}

Egyenértékűség

EQV igazságtáblázat
nál nél	b	a b⇔{\ displaystyle \ Leftrightarrow}
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Az egyenértékűség (EQV vagy XNOR jelöléssel) akkor igaz, ha a két bemenetnek ugyanaz az értéke, máskülönben hamis. A "kizárólagos vagy" tagadása.

Az ekvivalencia írható nál nél EQV⁡ b=nál nél⊙b=nál nél⊕b¯=nál nélb¯+nál nél¯b¯=(nál nélb)+(nál nél¯⋅b¯){\ displaystyle a \ \ operátornév {EQV} \ b = a \ odot b = {\ overline {a \ oplus b}} = {\ overline {a {\ overline {b}} + {\ overline {a}} b }} = (ab) + ({\ overline {a}} \ cdot {\ overline {b}})}

Az egyenértékűséget gyakran jelöli a jel . Megjegyezhetõ „==” bizonyos nyelveken (C, C ++, PHP…) és „⊙” az elektronikában. ⇔{\ displaystyle \ Leftrightarrow}

Bevonás

IMP igazságtáblázat
nál nél	b	a b⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Az implikációt (megjegyzett IMP ) a következőképpen írják meg nál nél MANÓ⁡ b=nál nél¯+b{\ displaystyle a \ \ operátornév {IMP} \ b = {\ overline {a}} + b}

Ez a művelet nem kommutatív . az a elegendő feltétel b-hez, amely szükséges feltétel az a-hoz.

De

nál nél MANÓ⁡ b=b¯ MANÓ⁡ nál nél¯{\ displaystyle a \ \ operátornév {IMP} \ b = {\ overline {b}} \ \ operatorname {IMP} \ {\ overline {a}}}

Rajz:

A „HA Franciaországban (nagyvárosban) élek, akkor pedig Európában élek. » , Következtethetünk « HA nem Európában élek, akkor nem Franciaországban élek. » De nem « HA nem Franciaországban élek, akkor nem Európában élek. » Mivel Európában másutt élhetek, mint Franciaországban, anélkül, hogy ellentmondanék a kezdeti állításnak.

Gátlás

INH igazságtáblázat
nál nél	b	nál nél.b¯{\ displaystyle a. {\ overline {b}}}
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

A gátlás ( INH- vel jelölve ) a következőképpen áll össze nál nél INH⁡ b=nál nél.b¯{\ displaystyle a \ \ operátornév {INH} \ b = a. {\ overline {b}}}

Ha a értéke IGAZ, akkor a kifejezés IGAZ, KIVÉTEL, ha b értéke IGAZ.

Ez a művelet nem kommutatív.

Példa három vagy négy változóval rendelkező logikai függvényekre

Háromváltozós logikai függvény

Igazságtábla kiakasztásra
nál nél	b	vs.	d
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Jogszerűség Felvétel = (csengetés és döntés a válaszadásról) VAGY döntés a hívásról a következő gyakorlati helyzetet fordítja: Akkor veszünk fel egy telefont, amikor úgy döntünk, hogy felhívunk valakit, vagy amikor csörög a telefon, és úgy döntünk, hogy válaszolunk .

Három változóból áll:

• a = "Csengőhang"
• b = "Döntés a válaszadásról"
• c = "Hívási döntés"

a d = "Pick up" változó a 3 előző logikai függvénye, és írható d = ab + c

A d függvény igazságtáblázata ekkor a következő (a jobb oldalon):

Az istálló igazságtáblája2
nál nél	b	vs.	d2
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

A táblázat abszurd helyzetet jelez: amikor úgy dönt, hogy felhív valakit, és a telefon úgy csörög, hogy nem akar válaszolni, akkor is felveszi. A táblázat ellentétes módosítása kijavítaná ezt az abszurditást. Ez a táblázat egy logikai függvénynek felel meg, amely a d2 vagy a d2 függvényt határozhatja meg és egyszerűsítheti . d2=nál nél¯.vs.+nál nél.b{\ displaystyle d2 = {\ bar {a}}. c + ab}

Négyváltozós logikai függvény

Egy jó tanuló kíváncsi, hogy bölcs-e egy éjszaka kimenni. Négy változó szerint kell döntenie:

• a = van elég pénze
• b = befejezte a házi feladatát
• c = a tömegközlekedés sztrájkol
• d = apja autója elérhető

Ez a hallgató akkor távozhat, ha:

• van elég pénze, a = igaz
• befejezte a házi feladatát, tehát b = igaz
• a tömegközlekedés nem sztrájkol, ezért c = hamis
• vagy ha apja autója rendelkezésre áll, akkor d = igaz

Az a, b, c és d változók állapota szerint kilépő logikai kifejezés tehát a következőképpen írható:Kilépés =nál nél.b.(vs.¯+d){\ displaystyle ab ({\ bar {c}} + d)}

Egy kifejezés faktora

Logikai függvény határozható meg

• vagy mint kifejezés magában foglalja a három művelet ( , , )+{\ displaystyle + \,}⋅{\ displaystyle \ cdot \,}¯{\ displaystyle {\ bar {}} \,}
• vagy igazságtáblája formájában. Ebben az esetben ez mindig lehetséges lesz, hogy végre egy expanziós hogy megírjam ezt a funkciót, mint a szorzatok összege .

Példa: A "Pick up2" ​​példában a táblázat leolvasása azt mutatja, hogy egyenlő, amikor vagy vagy vagy .d2{\ displaystyle d2}1{\ displaystyle 1}(nál nél,b,vs.)=(0,0,1){\ displaystyle (a, b, c) = (0,0,1)}(0,1,1){\ displaystyle (0,1,1)}(1,1,0){\ displaystyle (1,1,0)}(1,1,1){\ displaystyle (1,1,1)}Ez lehetővé teszi a d2 definiálását d2=nál nél¯.b¯.vs.+nál nél¯.b.vs.+nál nél.b.vs.¯+nál nél.b.vs.{\ displaystyle d2 = {\ bar {a}}. {\ bar {b}}. c + {\ bar {a}}. b.c + ab {\ bar {c}} + abc}

Lehetséges olyan kifejezés, amely minimalizálja az egyes kifejezések számát és betűinek számát. Ez a célja néhány technikának, mint a Quine-McCluskey módszer , a Karnaugh-diagramok , a konszenzusos módszer , a kettős polarizáció ...

Példa (folytatás): az előző összeg csökkenthető az első két tag faktorizálásával, az utolsó két tag faktorizálásával pedignál nél¯.vs.{\ displaystyle {\ bar {a}}. c}nál nél.b{\ displaystyle ab \,}d2=nál nél¯.vs.+nál nél.b{\ displaystyle d2 = {\ bar {a}}. c + ab}

Kifejezési fa

Logikai kifejezések gyakran megjelennek a számítástechnika , mint egy fa struktúra .

Különböző részfák (vagy ágak) kapcsolódnak az első csúcshoz (gyökérhez). A zsákutca csúcsait leveleknek nevezzük.

Minden belső csúcs felel meg „ha majd másként  ” logikai választó , ami csökkenti a szóban forgó két egyszerűbb alkérdések, esetleg csökken 1 / igaz vagy 0 / hamis. S(x,y,z)={\ displaystyle S (x, y, z) =}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}x{\ displaystyle x}

Ekkor az f függvény kiértékelése az első kérdésre választott q változótól függ , ami két független kifejezéshez vezet . f=S(q,f(q=1),f(q=0)){\ displaystyle f = S (q, f ​​(q = 1), f (q = 0))}q{\ displaystyle q}

Bármelyik  ; tudunk írnif=nál nél.b+nál nél.d.f+vs..d+e.f{\ displaystyle f = a.b + adf + c.d + ef}f=S(nál nél,f(nál nél=1),f(nál nél=0))=S(nál nél,b+vs..d+d.f+e.f,vs..d+e.f)=S(nál nél,S(b,1,d.f+vs..d+e.f),S(vs.,d+e.f,e.f))...{\ displaystyle f = S (a, f (a = 1), f (a = 0)) = S (a, b + c.d + d.f + ef, c.d + ef) = S (a, S (b, 1 , df + cd + ef), S (c, d + ef, ef)) \ pontok}

A fák a kifejezéstől és a kérdések sorrendjétől függően ugyanazon kifejezés esetében egyes kérdőívek egyszerűbbek lesznek, mint mások.

Megjegyzések és hivatkozások

Függelékek

Bibliográfia

• [Kuntzmann 1968] J. Kuntzmann, Algebra of Boole , Párizs, Dunod ,1968.
• [Picard 1965] Claude François Picard , A kérdőívek elmélete , Párizs, Gauthier-Villars ,1965.
• [Permingeat 1988] N. Permingeat, Boolean Algebra: Elmélet, számítási módszerek, alkalmazások, gyakorlatokkal , Párizs, Dunod ,1988.

Kapcsolódó cikkek

• Logikai funkció
• Karnaugh asztal
• A javaslatok kiszámítása
• Számrendszer
• Digitális elektronika
• Formális idegsejt
• George Boole
• Bitenkénti működés
• Konszenzustétel
• A logikai algebrához kapcsolódó témák listája
• Igazság táblázat

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">