Számrendszer

A számozási rendszer egy vagy több megadott számozást szabályozó szabályhalmaz . Pontosabban kifejezve: a jelek , szavak vagy gesztusok használatára vonatkozó szabályok összessége, amely lehetővé teszi számok írását, állítását vagy utánzását , utóbbiak írásbeli formájukban, az írásnál egyszerre születnek meg annak szükségességéről, hogy szüretek, kereskedelem és randevúk szervezése . Az indo-arab számrendszert ma a világon a legszélesebb körben használják.

Alapelv

A legrégebbi, unáriának nevezett számozási rendszer nem praktikus, különösen nagy mennyiségek kezelésénél. E hiányosság megszüntetését, a megoldás abban áll, csoportosítása az egységek csomagokat minden egyes alkalommal ugyanazt az értéket elérte, amely az úgynevezett a számot bázis . Hasonlóképpen ezek a csomagok magasabb rendű csomagokba vannak csoportosítva stb. Általában az egyes csomagok elemeinek száma, amely megadja a számlálás alapját, megegyezik. Vannak kivételek, például az órák jelölésében: hatvan másodperc egy percig, hatvan perc egy órán át, huszonnégy óra egy napig, huszonnyolc-harmincegy nap egy hónapig. Hasonlóképpen, a maja számozás , a húszas számrendszer karakter, szabálytalan való közelítés érdekében a naptár. A szexagesimális karakterű babiloni számozás a rendszerek kombinációjaként jelenik meg.

Számos rendszert használtak különböző népek és idők.

• A Dél-Amerika és Óceánia nyelvén használt bináris rendszer (2. alap) hasonló a számítástechnikában használt számrendszerhez (1 áram folyik, 0 áram nem folyik)
• A terner rendszer (bázis 3)
• Egy ötös (bázis 5), amelynek nyomai maradnak, amíg a XX edik  században a nyelvek afrikai , hanem részben értékelés csuvas , Suzhou , római és maja . A 6, 7, 8 és 9 számok neve sok nyelven tanúskodik erről a kvináris rendszerről: állítólag 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 és 5 + 4 a Wolof ( nigeri nyelv) -Congolese család ), a khmer (Osztrák-ázsiai nyelv), a nahuatl (uto-azték nyelv), és sok ausztronéz nyelvek , mint a Lote vagy Ngadha (részleges formában). A kvinális bázis a tizedes alap és a vigesimális bázis részalapjaként jelenik meg.
• A szenior rendszert (6. alap) Pápua Új-Guinea ndom és kómnzo nyelvén , valamint kockákon használják . Hat számjegyet használ 0-tól 5-ig, az ujjszámlálás a "háromszorosának" alapjaival, a legkényelmesebb.
• Egy nyolcas rendszer (alap 8) használjuk az északi Pame nyelv , a mexikói és a Yuki nyelv , a kaliforniai , valamint a számítástechnika.
• Egy nem rendszer (9. bázis) ellentétes a hexadecimális, "három hatvány" bázissal. Két ternáris digit tartalmaz egy számjegyben.
• A tízes számrendszer (10 alapú) óta használják a különböző civilizációk, mint például a kínai korai időkben, és valószínűleg a proto-indoeurópai . Ma messze a legelterjedtebb.
• A tizenkettes rendszer (alap 12) használjuk Nepál által Chepang emberek. Azt találtuk, mert annak előnyeit tekintve oszthatóság (2, 3, 4, 6), egy bizonyos számú valuta és folyószámla egységek Európában a középkorban , részben az angolszász országokban. A császári egységrendszerben és a kereskedelemben. Hónapok, órák, virágok, osztrigák és tojások számlálására is használják.
• Egy hexadecimális rendszer (16. alap), amelyet nagyon gyakran használnak az elektronikában, valamint a számítástechnikában. Érdeklődése a triviális konverziókban rejlik a 2. bázissal, miközben kompaktabb számírást tesz lehetővé.
• A húszas számrendszer (vagy vicesimal, bázis 20) rendszer létezik Bhután a Dzongkha nyelvet, és volt használatban között aztékok , és bár a szabálytalan, a maja számozás . Újra megtaláljuk, mert előnyei vannak az oszthatóság szempontjából (2, 4, 5, 10-gyel). Egyesek úgy vélik, hogy a korai időkben a gallok vagy a baszkok is használták , de nem igazán tudni, hogy számozásuk tizedes vagy vigesimális volt-e.
• A hatvanas számrendszert (bázis 60) használtunk babiloni számozás , valamint indiai és arabok trigonometria . Jelenleg az idő és a szögek mérésére használják.

Bizonyos számbázisokat használnak a tudományos területeken, különösen a digitális elektronikában és a számítástechnikában. További részletekért lásd az Alapvető cikk (számtan) cikket .

A kimondás rendszerei

Bizonyos számok kizárólag egyszerű névből származnak, például francia a millil . Ellenkező esetben több elv teszi lehetővé azok összeállítását.

• Az összeadás  : franciául tizenhét (10 + 7), hetven (60 + 10);
• a szorzás  : négy-húsz (4x20), kétszáz (2x100) franciául;
• a kivonás  : tizennyolcat mondanak duodeviginti klasszikus latinul (kettő a húszból, 20–2);
• a felosztás  : ötvenet kísértet- kantnak mondanak breton nyelven (fél- [de-] száz, 100/2);
• A elhúzódása (kifejezés által bevezetett Claude Hagège ) harmincöt közülük említett holhu ca Kal a Yucatec (ez öt és 1002 nyolcvan, 15, 2 × 20, 15-2 × 20 vagy 15 a húsz előző 2 × 20, azaz 15 + 20). A kifejezés a 35 (mint az, hogy harminc) ajánlatos visszaállítani egy hallgatólagos (vagy törlik) Relator amely tu (valójában ti + u és ti = locative „felé” és u = személyes indexe 3 rd  személy övé, amelyet ebben az összefüggésben használtak arra, hogy a sorszámot a bíborosból származtassák, így a 35 kifejezést "15-nek kell elemezni a második húszas évek felé".

Néha kiegészítő rendszert alkalmaznak. A fő rendszerhez képest ez lehet:

• alacsonyabb  : a Wolof száma van decimális , de használ egy kisegítő ötös rendszer , huszonhat azt mondják, hogy Naar Fukk ak juroom Benn a volof (két tízes és öt egy, 2 × 10 + 5 + 1);
• felső  : a baszk számozás van decimális , de használ egy kisegítő vicesimal rendszer , 152 mondják ehunta berrogeita hamabi baszk (102-20-és 1002, 100 + 2 × 20 + 10 + 2 ). Hasonlóképpen, a francia Franciaország és a kanadai francia (Quebec) fennállnak nyolcvan és kilencven (helyett nyolcvan Svájcban és hetven és kilencven Svájcban és Belgiumban), amely származik a középkori vicesimal rendszert. , Mint kiegészít a fő tizedes latin eredetű rendszer.

Végül néhány szám előnyös a felhasznált bázistól független konstrukcióban. Így jelenleg Bretonban tizennyolcat triwecʼh-nek (három-hat, 3 × 6) neveznek . Voltak korábban daounavok (kettő-kilenc, 2 × 9), illetve rendre negyvenöt és negyvenkilenc, pemp nav (öt kilenc, 5 × 9) és seizh seizh (hét hét, 7 × 7). Magától értetődik, hogy ez az utolsó forma nem egy hét alapból származik, hanem ennek a számnak a szimbolikus értékéből.

MIME rendszerek

Az emberek hagyományosan testrészeiket használják a számláláshoz. Tizedes vagy kvinális számláláshoz általában az ujjak vesznek részt. A Jukik egy oktált alkalmazva az ujjak közötti szóközökkel számolnak. A Chepang emberek , akik foglalkoztatnak a tizenkettes rendszer , használja a hüvelykujját , hogy számíthat a ujjperceket az ujjak . Számos más módszert is alkalmaztak.

Minősítő rendszerek

A számok megírásához használt szimbólumok a számjegyek . E számok használatának szabályai lehetővé teszik a pontozási rendszer három fő családjának sematikus megkülönböztetését: az additív, a hibrid és a helyzeti rendszereket.

Adalék rendszerek

Ezek a rendszerek számokkal jelzik a bázis hatalmait, és adott esetben ezeknek a hatványoknak a többszörösét. A többi számot e szimbólumok egymás mellé állításával kapjuk. Ezután az olvasó felelős a szimbólumok értékeinek hozzáadásáért, hogy megismerje a számot. Ez a helyzet az egyiptomi , a görög , a római , a gótikus számrendszerekkel , vagy egyszerűbben az uniarendszerrel vagy az erdők számozásával .

Vannak additív és szubtraktív rendszerek is. Így a római szám , az additív egy későbbi additív és kivonó változatot ismer.

Hibrid rendszerek

Ezek a rendszerek számokat használnak az egységekre és az alap teljesítményekre. A felhasznált bázis teljesítményét jelentő számokat szükség esetén egyesítjük egy egységet képviselő számmal, és a számokat így a bázis teljesítményének többszörösével adjuk meg. Ez a helyzet a kínai és a japán számrendszerrel . Megjegyezhetjük, hogy egy ilyen jelölési rendszer erősen hasonlít a nyelvek többségében beszélő számokkal. (Például franciául a kétezer-nyolc-száz-tizenhét szám szintén a 10 alap többszörös hatványainak összeadásával jön létre: 2 × 10³ + 8 × 10² + 1 × 10¹ + 7.)

Pozíciós rendszerek

Ezek a rendszerek olyan számjegyeket használnak, amelyek helye a szám beírásakor a hozzájuk rendelt súlyt jelöli (n 0 = 1 súly, n 1 = n tömeg, n 2 tömeg ,… n alap esetén). Ez a helyzet a maja és babiloni számrendszerekkel , valamint az indiai és arab számrendszerekkel, amelyek a modern matematika eredete . Ezek lehetővé teszik számok írását egyszerűen az alaptól függetlenül, a helyzeti nulla használatával .

Egy ilyen rendszerben a β bázishoz β számjegyekre van szükség az egész számok ábrázolásához. Jellemzően ezeknek a számoknak az értéke 0 és β-1 között mozog; de vannak nem szabványos ábrázolások is:

• k-adikus rendszerek 0 nélkül, amelyek β bázishoz 1 és β közötti számjegyeket használnak (ezek bijektív rendszerek );
• kiegyensúlyozott rendszerek, amelyek páratlan alapon β a - (β-1) / 2 - (β-1) / 2 számjegyeket használják;
• redundáns rendszerek, a β bázisra a β-nál szigorúan nagyobb számjegyeket használva.

Egyes rendszerek hiányosak, mert nem képesek az összes számot ábrázolni. Ez a helyzet például a β alaprendszerekkel, amelyek szigorúan kisebb számjegyeket használnak, mint β.

Számos rendszer alkalmazható az elektronikában és a számítástechnikában. Ezeknek a rendszereknek az a sajátosságuk, hogy a számokat egy meghatározott számú pozíción képviseljék, ezért csak egy egész határértékig képviselhetnek egész számokat. Például,

• binárisban: negabináris rendszer  ;
• hármasban: kiegyensúlyozott hármas rendszer  ;
• β bázisban: Avizienis rendszer .

Egyéb rendszerek

Vannak alternatív számábrázolási rendszerek is, amelyek vagy a helyzetrendszerből származnak, vagy függetlenek a fent definiált alapkoncepciótól. Íme néhány példa,

• matematikában (lásd a megfelelő következő szakaszt): folytonos frakcióbővítés , Engel-sorozatbővítés , Hensel-expanzió , moduláris ábrázolási rendszer  ;
• elektronika és a számítógépek: Azt hittem, bináris (vagy Gray-kód), a kiegészítője a kettes komplemens , a BCD .

Matematika

Meghatározás

• A számozási rendszer egy hármas ( X, I, φ ), ahol X jelentése a beállított felsorolni, azt egy véges vagy megszámlálható számok és φ egy injektív leképezés a sorozatban számjegyek , . Tizedes jelölésben X a természetes számok halmaza, a tizedesjegyek halmaza, az egész számhoz rendelt sorrend pedig a tizedesjegyek sorozata. Az φ alkalmazást az alkalmazás reprezentációjának hívjuk, φ ( x ) pedig az x ∈ X ábrázolását . A támogatható lakosztályok meghatározása a kép reprezentációk φ ( x ) az x ∈ X .Φ:x↪énNEM{\ displaystyle \ Phi: X \ hookrightarrow I ^ {\ mathbb {N}}}x↦(ϵnem(x))nem≥1{\ displaystyle x \ mapsto (\ epsilon _ {n} (x)) _ {n \ geq 1}}
  én={0,1,2,3,4,5.,6.,7,8.,9.}{\ displaystyle I = \ {0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9 \}}
  
  
• Georg Cantor meghatároz egy számozási rendszer, mint az adatok egy sor természetes számok egy n elrendezve növekvő sorrendben (abban az esetben a tizedes rendszer: egy n = 10 n ), és minden egyes egy, a maximális érték m n együttható által amelyet megengedünk magunknak, hogy megszorozzuk (a tizedesrendszer esetében: m n = 9). Az N természetes szám ábrázolását a c k együtthatók összes véges szekvenciájának nevezi , mindegyik c k természetes szám nem nagyobb, mint m k , úgy, hogy c k a k összege egyenlő N-vel . Bemutatja, hogy egy ilyen rendszer "egyszerű", azaz minden egyes N egész számot egyedileg képvisel , csak akkor, ha a 0 = 1 és minden n esetében a n +1 = (1 + m n ) a n , akkor ebben az esetben kiterjed az egész számok reprezentációi a ( pozitív ) valóságok reprezentációjába , hozzáadva hozzájuk a forma végtelen sorait∑k=1+∞dknál nélk,dk∈{0,1,...,mk-1}.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {d_ {k}} {a_ {k}}}, \ quad d_ {k} \ in {0,1, \ ldots , m_ {k-1} \}.}
• Aviezri S. Fraenkel általános meghatározást ad a számrendszerről, és leírja az egyediség és teljesség eseteit: a számrendszer akkor teljes, ha lehetővé teszi az egész számok ábrázolását.
• A szisztematikus tanulmányt a formális nyelvek és a kombinatorika összefüggésében Michel Rigo készítette.
• A halasztás terjedésének problémáját Valérie Berthé , Christiane Frougny, Michel Rigo és Jacques Sakarovitch tanulmányozta.

Példák

• A q -adikus ábrázolás , vagy írás a q alapba : bármely természetes egész számot egyedi módon írjuk fel , a számjegyekkel és hol van az n számjegyeinek száma a q alapban . Hasonlóképpen, bármely valós írható egyedi módon, ha a kiterjesztése megfelelő (nincs q -1 végtelen szekvencia, mint 0,999 ... = 1), hasonló .nem=∑én=0NEMϵén(nem)qén{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}0≤ϵén(nem)<q{\ displaystyle 0 \ leq \ epsilon _ {i} (n) <q}ϵNEM(nem)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}NEM=⌊napló⁡(nem)napló⁡(q)⌋+1{\ displaystyle N = \ bal \ lfloor {\ frac {\ log (n)} {\ log (q)}} \ right \ rfloor +1}nem=∑én=-∞NEMϵén(nem)qén{\ displaystyle n = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}
• A Zeckendorf reprezentáció  : a Fibonacci , számok , amelyeket minden természetes egészet olyan egyedileg írtak , hogy a számokkal és .F0=1{\ displaystyle F_ {0} = 1}F1=2{\ displaystyle F_ {1} = 2}Fnem+2=Fnem+1+Fnem{\ displaystyle F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n}}nem=∑én=0NEMϵén(nem)Fén{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) F_ {i}}ϵén(nem)∈{0,1}{\ displaystyle \ epsilon _ {i} (n) \ in \ {0,1 \}}ϵNEM(nem)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}
• A képviselet lánctörtek  : bármilyen valós szám felírható (egyedülálló módon, ha a tágulási megfelelő) a , és a k> 0 .x=nál nél0+1nál nél1+1nál nél2+1nál nél3+...{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ frac {1} {a_ {3} + \ dots}} }}}}}nál nél0∈Z{\ displaystyle a_ {0} \ in \ mathbb {Z}}nál nélk∈NEM∗{\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
• Nem egész alapszámú rendszerek  : példa az aranyalap .
• A prímszámokra bontás egy számozási rendszer, amelyet különösen kvantumszámítógépek használnak , ∀nem∈NEM∗,∃!(αo)o∈P∈NEM(P):nem=∏o∈Poαo{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ létezik! (\ alpha _ {p}) _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ in \ mathbb {N} ^ {({\ mathcal {P}})}: n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}.

• A moduláris rendszer ábrázolása (RNS) lehetővé teszi, egy bázis kölcsönösen elsődleges modulok , felsorolni minden egész akár a fennmaradó szekvencia a kínai maradéktétel .{m1,m2,...,mnem}{\ displaystyle \ {m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {n} \}}0≤x<M{\ displaystyle 0 \ leq x <M}M=∏én=1nemmén{\ displaystyle M = \ prod _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}(x(modmén))1≤én≤nem{\ displaystyle (x {\ pmod {m_ {i}}}) _ {1 \ leq i \ leq n}}
• A faktoriális száma  (a) , ahol egy véges sorozata egész számok és értéke egész szám, .(xnem,...,x1){\ displaystyle (x_ {n}, \ ldots, x_ {1})}0≤xk≤k{\ displaystyle 0 \ leq x_ {k} \ leq k}∑k=1nemxk.k!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} .k!}

Szálszámláló rendszer

A számok nem injektív transzformációból származnak T:x→x{\ displaystyle T: X \ - X}

• A q-adic ábrázolásban az "egység számjegyet" és a számok sorrendjét adja meg, ahol T a térkép .ϵ(nem)=nem(modq){\ displaystyle \ epsilon (n) = n \, ({\ text {mod}} \, q)}ϵk(nem)=ϵ(Tk(nem)){\ displaystyle \ epsilon _ {k} (n) = \ epsilon (T ^ {k} (n))}T(nem)=(nem-ϵ(nem))/q{\ displaystyle T (n) = ({n- \ epsilon (n)}) / q}
• Az ábrázolás ábráinak folytatása folytonos törtekben Gauss alkalmazásából származik .ϵ(x)=⌊1/x⌋{\ displaystyle \ epsilon (x) = \ lfloor 1 / x \ rfloor} T(x)=1/x-ϵ(x){\ displaystyle T (x) = 1 / x- \ epsilon (x)}

Megjegyzések és hivatkozások

1. "  Numbers in Wolof  " , www.omniglot.com (elérhető : 2020. január 10. )
2. Tuxy Varman | , "  Khmer figurák  " , a Srok Khmer - Tanulj Khmer ,2014. november 28(megtekintés : 2020. január 10. )
3. "  Numbers in Nahuatl  " , a www.omniglot.com címen (hozzáférés : 2020. január 10. )
4. "  Numbers in Lote  " , www.omniglot.com (hozzáférés : 2020. január 10. )
5. "  Numbers in Ngadha  " , a www.omniglot.com címen (hozzáférés : 2020. január 10. )
6. A. Cauty, A kolumbusz előtti maja számozás sajátosságai, A Párizsi Nyelvtudományi Társaság emlékezete, Új sorozat, XII. Kötet, 2002, Leuven (Belgium), Peters, 121–147.
7. A. Cauty, A maja terület numerációinak protraktív típusa , Tények a nyelvekről  , 2002. n. 20. o . : Mesoamerica, Karib-tenger, Amazonia, Vol. 1., Párizs, Ophrys, p. 85-93.
8. Michel Rigo, hivatalos nyelvek, automaták és számozási rendszerek , vol.  2: Alkalmazások a felismerhetőséghez és a határozhatósághoz , London / Hoboken, NJ, ISTE / John Wiley & Sons, Inc.,2014.
9. (De) Georg Cantor, "  Ueber die einfachen Zahlensysteme  " , Zeitschrift für Mathematik und Physik , vol.  14,1869, P.  121–128 ( online olvasás ).
10. (in) Aviezri S. Fraenkel, "  Számozási rendszerek  " , American Mathematical Monthly , vol.  92, n o  21985, P.  105-114.
11. Valérie Berthé , Christiane Frougny , Michel Rigo és Jacques Sakarovitch , „  Az utód funkció hordozása  ”, Advances in Applied Mathematics , vol.  120, 2020, Cikk n o  102.062 ( DOI  10.1016 / j.aam.2020.102062 , arXiv  1907,01464 ).
12. (in) AJ Kempner, "  Rendellenes számozási rendszerek  " , American Mathematical Monthly , vol.  43, n o  10,1936, P.  610-617 ( DOI  10.2307 / 2300532 ).
13. John Gribbin , Quantum fizika , 2 th ed., Pearson Education, 2007 ( ISBN  978-2-7440-7263-5 ) , p.  57 .
14. Charles-Ange Laisant , „ A faktorszámozásról ,  a permutációkra való alkalmazásról  ”, Bulletin of the Mathematical Society of France , vol.  16,1888, P.  176-183 ( online olvasás ).

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Digitális csatorna
• Számolás
• Római szám
• Erdők száma
• Ostrowski gróf
• Helyzeti jelölés
• Alap (számtani)
• Unáris rendszer
• Számok francia nyelven
• Arab számok
• Számok a világon
• Számok listája
• Vicesimal rendszer
• Rendes rendszer
• A szerzetesek ciferei
• Régi digitális rendszer története  (in)
  • Őskori szám  (in)
  • Ausztrál őslakosok digitális rendszere  (en)
  • Számláló bot

Külső linkek

• SZÁMOK: érdekességek, elmélet és felhasználások Gérard Villemin webhelyén (számolási alapok)
• Számolás
• Alapvető átalakító a Nice-Sophia-Antipolis Egyetem webhelyén
• Szoftver számozási rendszerek felfedezéséhez [1] a Michel Ramus oldalon