Ostrowski gróf
A matematika, Ostrowski féle számozás elnevezett Alexander Ostrowski , egy számozási rendszer alapján folyamatos bővülése frakció ; ez egy nem szabványos helyzeti számozási rendszer egész számokra és valós számokra .
Jelölések
Hagy egy pozitív irracionális szám frakció továbbra is expanziós
α{\ displaystyle \ alpha}
α=nál nél0+1nál nél1+1nál nél2+1nál nél3+⋯{\ displaystyle \ alpha = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \ cdots} }}}}}}Hagyja a sorrend a nevezők a konvergens , hogy , adott
(qnem){\ displaystyle (q_ {n})}onem/qnem{\ displaystyle p_ {n} / q_ {n}}α{\ displaystyle \ alpha}
qnem=nál nélnemqnem-1+qnem-2{\ displaystyle q_ {n} = a_ {n} q_ {n-1} + q_ {n-2}}.
Mi meg , ahol a Gauss-Kuzmin-Wirsing üzemeltető által adott , és ; akkor megvan
αnem=Tnem(α){\ displaystyle \ alpha _ {n} = T ^ {n} (\ alpha)}T{\ displaystyle T}T(x)={1/x}{\ displaystyle T (x) = \ {1 / x \}}βnem=(-1)nem+1α0α1⋯αnem{\ displaystyle \ beta _ {n} = (- 1) ^ {n + 1} \ alpha _ {0} \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {n}}
\ .
βnem=nál nélnemβnem-1+βnem-2{\ displaystyle \ beta _ {n} = a_ {n} \ beta _ {n-1} + \ beta _ {n-2}}
Valós számok ábrázolása
Bármely pozitív valós szám felírható
x{\ displaystyle x}
x=∑nem=1∞bnemβnem {\ displaystyle x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ beta _ {n} \}ahol az együtthatók igazolják az egyenlőtlenséget, és ha van egyenlőség , akkor .
bnem{\ displaystyle b_ {n}}bnem≤nál nélnem{\ displaystyle b_ {n} \ leq a_ {n}}bnem=nál nélnem{\ displaystyle b_ {n} = a_ {n}}bnem-1=0{\ displaystyle b_ {n-1} = 0}
A természetes számok ábrázolása
Bármely pozitív egész szám egyedileg írható
NEM{\ displaystyle N}
NEM=∑nem=1kbnemqnem {\ displaystyle N = \ sum _ {n = 1} ^ {k} b_ {n} q_ {n} \}ahol az együtthatók ellenőrzi az egyenlőtlenséget , és ha majd .
0≤bnem≤nál nélnem{\ displaystyle 0 \ leq b_ {n} \ leq a_ {n}}bnem=nál nélnem{\ displaystyle b_ {n} = a_ {n}}bnem-1=0{\ displaystyle b_ {n-1} = 0}
Ha az aranymetszés , akkor a parciális hányadosok mindegyike megegyezik 1-vel, a q n nevezők nevezői a Fibonacci-számok, és a pozitív egész számok Fibonacci-kódolására vonatkozó Zeckendorf-tételt a különálló Fibonacci-számok összegének nem egymást követő összegeként találjuk meg .
α=φ{\ displaystyle \ alpha = \ varphi}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}qnem{\ displaystyle q_ {n}}
Kapcsolódó cikk
Megjegyzések és hivatkozások
-
Jean-Paul Allouche és Jeffrey Shallit , automatikus szekvenciák: elmélet, alkalmazások, általánosítások , Cambridge University Press ,2003, 571 p. ( ISBN 978-0-521-82332-6 , zbMATH 1086.11015 , online olvasás ).
- Chiara Epifanio, Christiane Frougny, Alessandra Gabriele, Filippo Mignosi és Jeffrey Shallit , „ Sturmian gráfok és egész ábrázolások a számozási rendszerek felett ”, Diszkrét alkalmazott matematika , vol. 160, n csont 4-5,2012, P. 536–547 ( DOI 10.1016 / j.dam.2011.10.029 , zbMATH 1237.68134 )
- Alexander Ostrowski , „ Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen ”, Hamb. Abh. , vol. 1,1921, P. 77–98
- (en) N. Pytheas Fogg (tollnév), Valérie Berthé , Sébastien Ferenczi, Christian Mauduit és Anne Siegel (szerkesztők), Helyettesítések a dinamikában, az aritmetikában és a kombinatorikában , Berlin / Heidelberg / New York, Springer-Verlag , koll. "Lecture Notes in Mathematics" ( n o 1794)2002, 402 p. ( ISBN 3-540-44141-7 , zbMATH 1014.11015 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">