Magma (algebra)
A matematikában a magma az egyik algebrai struktúra, amelyet az általános algebrában használnak . A magma definíció szerint egy egész , amely belső összetételi törvényt tartalmaz .
Definíciók
Jelöljük a készlet és egy belső összetételét törvény az a pár jelölt egy magma. Ennél a meghatározásnál az egész nem azonos a magmával, de általában azonosítják őket.
M{\ displaystyle M}⋆{\ displaystyle \ csillag}M{\ displaystyle M}(M,⋆){\ displaystyle (M, \ csillag)}M{\ displaystyle M}
A belső összetételnek erre a törvényére, amelyet gyakran szorzóként jegyeznek, nincs axióma .
Azt mondjuk, hogy a magma :
(M,⋆){\ displaystyle (M, \ csillag)}
-
egyesül, ha van semleges eleme , vagyis ;e{\ displaystyle e}∀x∈M, e⋆x=x⋆e=x{\ displaystyle \ forall x \ M-ben, \ e \ csillag x = x \ csillag e = x}
- egy fél-csoport (vagy asszociatív), ha van asszociatív ;⋆{\ displaystyle \ csillag}
- egy monoid ha kielégíti mind a tulajdonságok (asszociativitás és létezik egy semleges elem ).
Ha és vannak magmák, magma morfizmus , vagy magma homomorfizmus , az a definíció szerint egy leképezés f L-től N, hogy, az összes elem x , y M, van
(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NEM,⋆){\ displaystyle (N, \ csillag)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NEM,⋆){\ displaystyle (N, \ csillag)}
f(x⋅y)=f(x)⋆f(y).{\ displaystyle \ qquad f (x \ cdot y) = f (x) \ csillag f (y).}Ezenfelül ha f egy bijekciót , reciproka f egy morfizmus a magmák származó in és azt mondjuk, hogy f egy izomorfizmus a magmák. A magma izomorfizmus reciproka egy magma izomorfizmus .
(NEM,⋆){\ displaystyle (N, \ csillag)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}
Ha a kontextus elég világos, akkor egyszerűen a „morfizmus” szót mondjuk a „magma morfizmus” helyett, de vannak esetek, amikor ez zavart okozhat. Például a mágusok morfizmusa a monoidok között nem feltétlenül a monoidok morfizmusa .
Példák a magmákra
- Az üres magma az egyetlen magma az üres halmazon .
-
(NEM,+){\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}egy kommutatív monoid . Ráadásul minden szabályos .
-
(NEM,×){\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ szor)}szintén kommutatív monoid , de a 0 nem szabályos.
-
(Z,-){\ displaystyle (\ mathbb {Z}, -)}nem asszociatív és nem kommutatív magma . Nem is egységesítő, hanem csak a jobboldalon egyesítő, mert ha egy (egyedi, ami nem automatikus) semleges elemet ismer be a jobb oldalon (0), akkor a baloldalon nem ismer be semmit. Másrészt ez a magma permutatív és szabályos.
- Hívjuk magma szemben a magma magma , ahol az összes .M=(E,⋆){\ displaystyle M = (E, \ csillag)}Moo=(E,⊞){\ displaystyle M ^ {op} = (E, \ boxplus)}x⊞y=y⋆x{\ displaystyle x \ boxplus y = y \ csillag x}(x,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ E ^ -ban {2}}
- Magma hányados
Magma {0,1,2} ⋆{\ displaystyle \ csillag}
⋆{\ displaystyle \ csillag}
|
0
|
1
|
2
|
---|
0
|
0
|
0
|
0
|
---|
1
|
0
|
0
|
1
|
---|
2
|
0
|
2
|
2
|
---|
Ingyenes magmák
Az egész számra történő indukcióval meghatározzuk a halmazok sorozatát az alábbiak szerint:
nem⩾1{\ displaystyle n \ geqslant 1}Mnem(x){\ displaystyle M_ {n} (X)}
Mi pózolunk ; for a halmazok összessége a .
M1(x)=x{\ displaystyle M_ {1} (X) = X}nem⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}
Mnem(x){\ displaystyle M_ {n} (X)}Mo(x)×Mnem-o(x){\ displaystyle M_ {p} (X) \ szor M_ {np} (X)}1⩽o⩽nem-1{\ displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant n-1}
A család összhalmazát jelöljük ; minden egyes készlet azonosítjuk annak kanonikus kép az .
(Mnem(x))nem⩾1{\ displaystyle (M_ {n} (X)) _ {n \ geqslant 1}}M(x){\ displaystyle M (X)}Mnem(x){\ displaystyle M_ {n} (X)}M(x){\ displaystyle M (X)}
Minden eleme az , létezik egy egyedi egész szám úgy, hogy ; hosszának hívjuk , és lejegyezzük .
ω{\ displaystyle \ omega}M(x){\ displaystyle M (X)}nem{\ displaystyle n}ω∈Mnem(x){\ displaystyle \ omega \ M_-ben {n} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}l(ω){\ displaystyle l (\ omega)}
A készlet 1 hüvelyk hosszúságú elemekből áll .
x{\ displaystyle X}M(x){\ displaystyle M (X)}
Engedje be és be ; állítsuk be és . Az összegyűjtés kanonikus injektálásával kapott képet nevezzük a vegyületnek , és megjegyezzük, vagy . Ezért van , és minden eleme hosszúságú írva egyedülálló módon formájában a és a .
ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}M(x){\ displaystyle M (X)}o=l(ω){\ displaystyle p = l (\ omega)}q=l(ω′){\ displaystyle q = l (\ omega ')}(ω,ω′){\ displaystyle (\ omega, \ omega ')}Mo(x)×Mq(x){\ displaystyle M_ {p} (X) \ szor M_ {q} (X)}Mo+q(x){\ displaystyle M_ {p + q} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}ωω′{\ displaystyle \ omega \ omega '}ω∙ω′{\ displaystyle \ omega \ bullet \ omega '}l(ω∙ω′)=l(ω)+l(ω′){\ displaystyle l (\ omega \ bullet \ omega ') = l (\ omega) + l (\ omega')}M(x){\ displaystyle M (X)}⩾2{\ displaystyle \ geqslant 2}ω′ω″{\ displaystyle \ omega '\ omega' '}ω′{\ displaystyle \ omega '}ω″{\ displaystyle \ omega ''}M(x){\ displaystyle M (X)}
Hívjuk szabad magma épül X beállított látva a törvény készítmény .
M(x){\ displaystyle M (X)} ∙{\ displaystyle \ bullet}
Szokásos mágusok
A csoport olyan monoid, amelynek minden eleme megfordítható.
A gyűrűszerkezet két belső összetételi törvényt tartalmaz ugyanazon a halmazon, és ezért két mágmát, de a gyűrű nem szigorúan véve magma. Ugyanez vonatkozik más, még összetettebb algebrai struktúrákra is, például a gyűrű modulusára .
Történelmi
A magma kifejezést Nicolas Bourbaki vezette be először az általános algebra összefüggésében .
Bernard Hausmann és Øystein Ore által 1937-ben bevezetett és néha az 1960-as évekig használt régi „érc-csoportoid” elnevezést ma kerülni kell, a groupoid kifejezés használatát ma a kategóriák elméletének tartják fenn , ahol ez jelent valamit más.
Megjegyzések és hivatkozások
-
N. Bourbaki , Algebra I , 1-3. Fejezet, 1. o. I.12 2. cikk 1. pont, Semleges elem, 2. meghatározás.
-
N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
-
(in) VL Murskiǐ: „A létezés három értékes logika zárt osztály véges alapján, amely nem egy teljes, véges rendszerben identitás”, szovjet Math. Dokl. , repülés. 1965. 6., p. 1020-1021 .
-
Bourbaki, A I.77, §7, Ingyenes magmák.
-
Bourbaki, A I.15, 2.§ 3, Megfordítható elemek, 6. meghatározás.
-
(in) BA Hausmann és Øystein Ore, " A kvázi csoportok elmélete " , Amer. J. Math. , vol. 59, n o 4,1937, P. 983–1004 ( JSTOR 2371362 ).
-
Dov Tamari , „ A monoidok asszociativitásának problémái és a szavak problémái csoportok számára ”, Dubreil szeminárium , 1. évf . 16, n o 1, 1962-1963 ( olvasható online )Kitett n o 7, p. 1-29 .
-
(in) " groupoid " a Kristálytan Online Szótárában .
-
(in) Massimo Nespolo, " Nincs matematikai krisztallográfia még mindig van szerepe a XXI században? » , Acta Crystallographica, A. szakasz , vol. 64,2008, P. 97 ( DOI 10.1107 / S0108767307044625 ).
-
(a) L. Beklemishev , Mr. Pentus és N. Vereshchagin , bizonyíthatóság, bonyolultság, Nyelvtanok , al. " AMS Translations - 2. sorozat" ( n ° 192)1999, 172 p.(Három doktori disszertáció angol nyelvű fordítása orosz nyelven, amelyek közül az első: [ (ru) online olvasva ] , 1992).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">