A Riemann-geometria , a skalárgörbületét (vagy Ricci skalár ) egyike a szerszámok mérésére görbülete egy Riemann sokrétű . Ez a Riemann- invariáns olyan függvény, amely az elosztó minden m pontjához hozzárendel egy R (m) vagy s (m) jegyzett egyszerű valós számot , amely információt tartalmaz a sokaság belső görbületéről ezen a ponton. Így a skaláris görbület felhasználásával leírhatjuk az m-ben központosított gömbök és gömbök végtelen kis viselkedését .
Kétdimenziós térben a skaláris görbület teljesen jellemzi a sokaság görbületét. A 3-nál nagyobb dimenzióban azonban ez nem elég, és más invariánsokra van szükség. A skalárgörbületét úgy definiáljuk, mint a nyoma az a Ricci tenzor viszonyított metrikus (az alkalmazás helyétől m gyakran elhagyható)
Írhatunk helyi koordinátákban és Einstein konvencióival is ,
,val vel
A Ricci R vagy Ric skalár a Ricci tenzorból származik az általános összefüggés alapján, amelyet egy felületre alkalmaznak:
Segítségével a kapcsolatok közötti direkt és inverz komponenseket a metrikus, valamint a kapcsolatok között a Riemann tenzorok R xyxy és Ricci tenzor komponensek R xx és R yy amelyet azután írt, két dimenzióban:
megkapjuk a Ricci skalár és a Gauss görbület kapcsolatát:
Két dimenzióban, vagyis egy felületre a Ricci-skalár kétszerese a Gauss-féle K görbületnek ( kivéve a használt konvenció szerinti jelet).
Az n dimenziós , állandó görbületű (vagyis állandó keresztmetszeti görbületű ) K sokaság esetén a skaláris görbület is állandó, értékű . Így az euklideszi térnek nulla skaláris görbülete van, a kanonikus szerkezetével ellátott r sugarú gömb állandó pozitív görbületet enged meg .
A Riemann-sokaságok szorzatának görbületi tenzora a görbületi tenzorok összege, tehát a skaláris görbület a skaláris görbületek összege is.
Amikor egy g metrikáról konformális metrikára lépünk , egy bizonyos f függvény alakjához , az új skaláris görbületet
kifejezés, amely egyszerű, multiplikatív tényező esetén csökken a relációhoz .
Legyen M az n dimenzió Riemann-sokasága . A skalár egy pontjának görbületi m ad aszimptotikus mennyiségének becslésével a labdát középre m és sugarú r , úgy, hogy összehasonlítja a térfogatát V az egység labdát az azonos-dimenziós euklideszi tér: ha R hajlamos 0,
Így kellően kicsi gömböknél egy szigorúan pozitív skaláris görbület jellemzi azt a tendenciát, hogy kisebb térfogatú gömböket kapjanak, mint az euklideszi esetben, a negatív skaláris görbület pedig ennek fordítottját mutatja. A Bishop-Gromov (in) egyenlőtlensége érvényes összehasonlító tételt nyújt a minden méretű golyókra, de ez az eredmény nemcsak a skaláris görbületet foglalja magában, hanem kéri az összes Ricci görbület ellenőrzését.
Kompakt Riemann-féle M sokaságon a teljes S skaláris görbületet a sokszoros skaláris görbületének integráljának nevezzük, ahol a g metrikából eredő Riemann-mértéket jelöljük .
A 2. kompakt elosztók esetében a Gauss-Bonnet képlet azt mutatja, hogy a topológiát teljesen meghatározza az S mennyiség . Ezzel szemben az Euler-Poincaré jellemző részben meghatározza a skaláris görbületet: lehetetlen állandóan ellentétes előjelű skaláris görbületet kialakítani.
Szigorúan nagyobb dimenzióban az embert a teljes skaláris görbület is érdekli, de a helyzet kevésbé korlátozott. Pontosabban fontos figyelembe venni a méretváltozás fogalmát, vagy az 1 teljes volumen mutatóira szorítkozva, vagy az S
Ha figyelembe vesszük a Riemann-metrikák azon készletét, amellyel a sokaság felruházható, Y és S (az 1. kötet metrikáira korlátozódva) olyan funkciókká válnak, amelyeknek a kritikus pontjait tanulmányozhatjuk : megállapítjuk, hogy az Einstein-sokaságok valósítják meg ezeket a kritikus pontokat pontokat. Különösen az általános relativitáselméletben használt lorentzi fajták keretein belül a teljes skaláris görbület ráadásul Einstein-Hilbert hatásához közeli tényezőnek felel meg .
Az is érdekelheti ugyanazokat az Y vagy S függvényeket (amelyek az 1. kötet metrikáira korlátozódnak) azáltal, hogy az adott g mutatónak megfelelő metrikák halmazára korlátozódik . Ezúttal a kritikus pontok megfelelnek a g-nek megfelelő és állandó skaláris görbületű metrikáknak . Ezek a megfontolások származnak a Yamabe invariáns fogalmából és a Yamabe probléma helyzetéből : létezik-e egy kompakt elosztón egy g-nek megfelelő és állandó skaláris görbületű metrika ? A pozitív válasz 1984-ben született.
Ha egy kompakt differenciál elosztót adunk, jellemezhetjük az összes lehetséges skaláris görbületfüggvényt, amelyet az összes lehetséges Riemann-metrika esetében elértünk. A 2. dimenzió esetében azt láttuk, hogy a skaláris görbület ekvivalens a Gauss-görbülettel és összefügg a sokaság topológiájával. A 3-nál nagyobb dimenzióban háromféle helyzet van
- azok a fajták, amelyeknél létezik egy metrikus g 0 szigorúan pozitív skaláris görbület s 0 ; ebben az esetben bármely funkció megvalósítható egy bizonyos g metrika skaláris görbületeként ;
- azok a fajták, amelyeknél a skaláris görbület nem lehet minden pillanatban pozitív; ebben az esetben a lehetséges skaláris görbületfüggvények mind olyan funkciók , amelyek legalább egy szigorúan negatív értéket vesznek fel;
- a többi fajta az esetleges skaláris görbületi függvényeknél elismeri a null függvényt és az összes olyan funkciót , amelyek legalább egy szigorúan negatív értéket vesznek fel.