Taylor sorozat
A matematika , és pontosabban elemzés , a Taylor-sor ponton egy egy függvény F ( valós vagy komplex ) végtelenségig differenciálható ezen a ponton, vagy más néven a Taylor-sor bővítése az F at egy , egy egész sorozat : felépítve F és annak egymást követő származékok az egy . Egy függvény f azt mondják, hogy analitikai az egy , amikor a sorozatból egybeesik F a szomszédságában az egy .
∑vs.nem(x-nál nél)nem{\ textstyle \ sum c_ {n} (xa) ^ {n}}
Elv
Hagyja az f egy végtelenségig differenciálható függvény egy ponton egy . A Taylor expanziós ezen a ponton egy polinom P fokú kisebb vagy egyenlő a n jelentése:
P(x)=∑k=0nemP(k)(nál nél)k!(x-nál nél)k{\ displaystyle P (X) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {P ^ {(k)} (a)} {k!}} (Xa) ^ {k}}.
Az egyedülálló polinom foka kisebb, mint vagy egyenlő n , akinek származékok az egy legfeljebb érdekében n egybeesnek azon a függvény F tehát:
Pnem(x)=∑k=0nemf(k)(nál nél)k!(x-nál nél)k{\ displaystyle P_ {n} (X) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (Xa) ^ {k} }.
Ezt nevezik a Remete interpolációs polinom a f a a a sorrendben n . Ez a polinomiális P n is a fő része a korlátozott kiterjesztése az F a egy rendelésre n , adott Taylor-formula .
A Taylor sor f át egy fogják meghatározni ( lásd alább ), mint a egész sorozat, amelynek N- th részösszegként egyenlő P N , minden egész n . Ez a sorozat is használható „ elméleti demonstrációk ”, míg korlátozzuk magunkat a fejlődés érdekében n a numerikus felhasználásra .
Meghatározás
Hagyja az f függvény a valós vagy komplex változó, a végtelenségig differenciálható egy pontban egy . A Taylor f sorozat ebben a pillanatban a függvények sora :
f(nál nél)+f′(nál nél)1!(x-nál nél)+f″(nál nél)2!(x-nál nél)2+f(3)(nál nél)3!(x-nál nél)3+⋯{\ displaystyle f (a) + {\ frac {f '(a)} {1!}} (xa) + {\ frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + {\ frac {f ^ {(3)} (a)} {3!}} (xa) ^ {3} + \ cdots},
amely szintetikus formában van megírva:
∑nem=0∞f(nem)(nál nél)nem!(x-nál nél)nem{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}},
ahol n ! a faktoriális a N és F ( n ) jelöli a n -edik származékot az F .
Ez a sorozat a funkciók (konvergens vagy nem) egy egész szám sorozata a változó X - egy .
A jelölésnek továbbra is van jelentése a normalizált , valós vagy összetett algebrák funkcionális elemzésében ; de ezt az általánosítást nem tárgyaljuk ebben a cikkben.
Ha egy = 0 , a sorozat is nevezik Maclaurin sorozat az F .
A szokásos funkciók Maclaurin soros bővítése
Jelölések : az alábbi táblázatban a következő jelöléseket használtuk:
- A tan ( x ) és a th ( x ) kiterjesztésében megjelenő B 2 n számok a Bernoulli-számok ;
-
(αnem){\ displaystyle {\ alpha \ select n}}Megjelenő a fejlesztés (1+ x ) α , egy binomiális együttható (általános) ;(αnem)=α(α-1)...(α-nem+1)nem!{\ displaystyle {\ alpha \ select n} = {\ frac {\ alpha (\ alpha -1) \ pontok (\ alpha -n + 1)} {n!}}}
- A sec ( x ) kiterjesztésében az E k számok az Euler-számok .
Funkció neve
|
Maclaurin sorozat
|
Konvergencia sugár
|
Exponenciális
|
ex={\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} =}
|
∑nem=0∞xnemnem!{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}
|
Végtelen
|
Logaritmus
|
ln(1+x)={\ displaystyle \ ln (1 + x) =}
|
∑nem=1∞(-1)nem+1nemxnem{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n}}
|
1
|
Egy geometriai sorozat összege
|
11-x={\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} =}
|
∑nem=0∞xnem{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n}}
|
1
|
Páros sorozat
|
(1+x)α={\ displaystyle (1 + x) ^ {\ alpha} =}
|
1+∑nem=1∞(αnem)xnem{\ displaystyle 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ alpha \ select n} x ^ {n}}
|
1
|
Trigonometrikus függvények
|
bűn(x)={\ displaystyle \ sin (x) =}
|
∑nem=0∞(-1)nem(2nem+1)!x2nem+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1}}
|
Végtelen
|
kötözősaláta(x)={\ displaystyle \ cos (x) =}
|
∑nem=0∞(-1)nem(2nem)!x2nem{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n}}
|
Végtelen
|
Cser(x)={\ displaystyle \ tan (x) =}
|
∑nem=1∞|B2nem|4nem(4nem-1)(2nem)!x2nem-1{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n} | {\ frac {4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n-1}}
|
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
|
száraz(x)={\ displaystyle \ sec (x) =}
|
∑nem=0∞(-1)nemE2nem(2nem)!x2nem{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} E_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n}}
|
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
|
arcsin(x)={\ displaystyle \ arcsin (x) =}
|
∑nem=0∞(2nem)!4nem(nem!)2(2nem+1)x2nem+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n +1}}
|
1
|
arccos(x)={\ displaystyle \ arccos (x) =}
|
π2-∑nem=0∞(2nem)!4nem(nem!)2(2nem+1)x2nem+1{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2 } (2n + 1)}} x ^ {2n + 1}}
|
1
|
arctan(x)={\ displaystyle \ arctan (x) =}
|
∑nem=0∞(-1)nem2nem+1x2nem+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} x ^ {2n + 1}}
|
1
|
Hiperbolikus funkciók
|
sh(x)={\ displaystyle \ mathrm {sh} (x) =}
|
∑nem=0∞1(2nem+1)!x2nem+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1}}
|
Végtelen
|
vs.h(x)={\ displaystyle \ mathrm {ch} (x) =}
|
∑nem=0∞1(2nem)!x2nem{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n)!}} x ^ {2n}}
|
Végtelen
|
th(x)={\ displaystyle \ mathrm {th} (x) =}
|
∑nem=1∞B2nem4nem(4nem-1)(2nem)!x2nem-1{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n -1}}
|
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
|
nál nélrgsh(x)={\ displaystyle \ mathrm {argsh} (x) =}
|
∑nem=0∞(-1)nem(2nem)!4nem(nem!)2(2nem+1)x2nem+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1}}
|
1
|
nál nélrgth(x)={\ displaystyle \ mathrm {argth} (x) =}
|
∑nem=0∞12nem+1x2nem+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} x ^ {2n + 1}}
|
1
|
Lambert W funkciója
|
W0(x)={\ displaystyle W_ {0} (x) =}
|
∑nem=1∞(-nem)nem-1nem!xnem{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} x ^ {n}}
|
1e{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rm {e}}}}
|
Taylor sorozat konvergencia
A polinomfüggvény Taylor-sorozatának csak véges száma van nem nulla tag.
Taylor sorozata egy egész sorozat . Ezért elismeri a sugara konvergencia R , és a lemez középső egy és sugara R , a sorozat általában konvergál bármely kompakt. Azonban:
- a konvergencia sugara általában nem ad információt az f definíciós tartományának nagyságáról ;
- A funkciók valós változó, az összeget a Taylor sor f meg egy annak konvergencia lemez eltérhet a függvény f ;
- a valódi változó f függvényei esetében előfordulhat, hogy R nulla (a sorozat az origótól eltérő bármely ponton eltér), bár f bármely pontban határozatlanul differenciálható; ez utóbbi két jelenség nem fordulhat elő komplex változófüggvényeknél.
Például, ha f ( x ) = exp (–1 / x 2 ) , a folytonosság 0-ban meghosszabbítva f (0) = 0-val , akkor f bármely ponton határozatlanul differenciálható, és f összes deriváltja nulla x-nél = 0 , ezért az Tay Taylor sorozat f összege nulla (és konvergencia sugara végtelen), míg a függvény soha nem nulla, kivéve a 0. A jelenség abból fakad, hogy a függvény lapos (en) ( elhanyagolható 0 közelében az x bármely hatványa szempontjából . Ez egy példa egy nem analitikus reguláris funkcióra .
Ha a funkció f jelentése megegyezik az összeg a teljes sorozat szomszédságában egy , akkor azt mondjuk, hogy f az analitikus . Ez a meghatározás érvényes egy valós változó, valamint egy komplex változó függvényeire is. Azonban egy komplex analitikus változó függvényét gyakrabban holomorfnak mondják : ahhoz, hogy így legyen, elegendő azt feltételezni, hogy differenciálható. Ez az egyik első eredményei merevség a komplex elemzése . Egy teljes függvény , vagyis az egész komplex síkban holomorf, a Taylor-sorozat bármely ponton történő kiterjesztésének végtelen konvergencia-sugara van, és a sorozat összege egybeesik a függvénnyel.
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
A függvény közelítő értékeinek kiszámítására szolgál egy pont közelében, ebben az esetben kiszámítunk egy „ maradékot ”, amely határokat szab a hibának. A korlátozott fejlődést és a fennmaradó rész kiszámítását Taylor nem vizsgálta, de csaknem egy évszázaddal később, amikor Lagrange 1799-ben először hangsúlyozta a maradék szigorú meghatározásának szükségességét.
-
Be például Euler képletének bizonyítására használja .
-
Egy Meromorf funkciót , a sugár a konvergencia a közötti távolság egy , a pólus legközelebb egy .
Hivatkozások
-
Jean-Luc Chabert és társai. Algoritmusok története, kőről chipre , Belin, 1993, p. 455.
-
Joseph-Louis Lagrange, A funkciók számításának tanulságai , 1799, 1806-ban újraközölték, kilencedik lecke, p. 88: „Amíg ez a fejlődés csak a származtatott függvények létrehozását szolgálja, lényegtelen, hogy a sorozat a végtelenbe megy-e vagy sem; Így van ez akkor is, ha a fejlődést csak a függvény egyszerű elemző átalakításának tekintjük; de ha azt akarjuk használni, hogy adott esetben a függvény értéke legyen, egyszerűbb formájú kifejezést kínálva [...], akkor csak bizonyos számú plusz vagy kevesebb kifejezést vehetünk figyelembe, Fontos, hogy legyen módunk a sorozat többi részének elhanyagolására, vagy legalábbis megtalálni a hibahatárokat, amelyeket az ember elkövet azáltal, hogy elhanyagolja ezt a maradékot. "
-
Ez a függvény a helyzet (ez a példa Matyáš Lerchnek köszönhető ); sőt olyan funkciók is felépíthetők, amelyeknél a Taylor-sorozat bármely pontján a konvergencia nulla sugara van: lásd Walter Rudin , Real and Complex Analysis , McGraw-Hill, 3 e ., p. 384., 13. gyakorlat.x↦∑nem=0∞kötözősaláta(2nemx)nem!{\ displaystyle x \ mapsto \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (2 ^ {n} x)} {n!}}}
-
Példa Augustin Louis Cauchy miatt: Összefoglalások az Ecole Royale Polytechnique-on a végtelenül kis számításból, Imprimerie Royale, Párizs, 1823.
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">